习题7.1 1.用定义计算下列定积分 (1)L(ax+b)dx (2)a*dx(a>0) 2.证明,若对[a,b]的任意划分和任意5∈【x,x,极限m∑f()x都存在,则 f(x)必是[a,b]上的有界函数。 3.证明 Darboux定理的后半部分:对任意有界函数f(x),恒有 lim S(P)=l 4.证明定理713 5.讨论下列函数在[0,1]的可积性 1,x为有理数, (1)f(x)= ∫￥-H,x≠0, (2)f(x)= 0 1,x为无理数; 「0,x为有理数, (3)f(x)= x,x为无理数 (4)f( J sgn(sin),x≠0 x=0 6.设f(x)在[a,b]上可积,且在[a,b上满足|f(x)m>0(m为常数),证明一一在 [a,b上也可积。 7.设有界函数f(x)在[a,b]上的不连续点为{xn}m1,且 lim x存在,证明∫(x)在[a,b 上可积 8.设∫(x)是区间[a,b]上的有界函数。证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任 意给定的E>0与0>0,存在划分P,使得振幅O,≥E的那些小区间[x1,x]的长 度之和∑Ax<a(即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小) 42E 9.设f(x)在[a,b]上可积,A≤f(x)≤B,g(u)在[A,B上连续,证明复合函数g(f(x) 在[a,b上可积 习题7.2 设f(x)在[a,b上可积,g(x)在{a,b上定义,且在[a,b]中除了有限个点之外,都有 f(x)=g(x),证明g(x)在[a,b上也可积,并且有 ∫f(x)lx=」,g(x)dk。 2.设∫(x)和g(x)在[a,b]上都可积,请举例说明一般有 f(x)g(x)d≠f(x)d 8(x)a 证明:对任意实数a.c,只要f(x),fx和f(x)k女都存在,就成立 f()dx=f(r)dx+lf(x)dx 4.判断下列积分的大小 )xd和xdx (2)xdx和」x2dx (3)J,G)dx和2d (4)2 sin xdx和|2xdx
习 题 7.1 ⒈ 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈ [ , x x i−1 i] ，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f x( )，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0（ m 为常数），证明 ( ) 1 f x 在 [ , a b]上也可积。 7． 设有界函数 在[ , 上的不连续点为{ } ，且lim 存在，证明 在[ , 上可积。 f (x) a b] xn n= ∞ 1 n n x →∞ f x( ) a b] 8． 设 是区间 上的有界函数。证明 在 上可积的充分必要条件是对任 意给定的 f (x) [a,b] f (x) [a,b] ε > 0与σ > 0 ，存在划分 P ，使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间 的长 度之和 （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。 [ , ] i 1 i x x − ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x 9. 设 f (x)在[ , a b]上可积，A f ≤ ( ) x ≤ B , 在[ , 上连续，证明复合函数 在[ , 上可积。 g(u) A B] g f ( (x)) a b] 习 题 7.2 1． 设 在[ , 上可积， 在[ , 上定义，且在[ , 中除了有限个点之外，都有 ，证明 在[ , 上也可积，并且有 f x( ) a b] g x( ) a b] a b] f x( ) = g(x) g x( ) a b] f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 2．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 3． 证明：对任意实数 a,b, c ，只要 a f x dx ， 和 都存在，就成立 b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 1
5.设∫(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为0,证明 f(x )dx>0 6.设f(x)在[a,b上连续,且∫f2(x)x=0,证明f(x)在[a,b]上恒为0 7.设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且满足 b 证明:存在ξ∈(an,b),使得∫(5)=0 8.设q(1)在[0,a]上连续,f(x)在(-∞,+∞)上二阶可导,且∫"(x)≥0。证明 o Jo p( iro f(o()dr 9.设∫(x)在[0,1上连续,且单调减少,证明对任意a∈[0,1,成立 0.( Young不等式)设y=f(x)是[0,∞)上严格单调增加的连续函数,且f(0)=0,记 它的反函数为x=f-(y)。证明 f(x)dx+f-(y)dy2ab (a>0, b>0). 1l.证明定积分的连续性:设函数f(x)和f(x)=f(x+h)在a,b]上可积,则有 lim, (x)-f(x)ldx=0 12.设∫(x)和g(x)在[a,b]上都可积,证明不等式 (1)( Schwarz不等式)f(x)g(x)xsf(x)d:g2(x)x; 2)0mk+(0+8r+g(M 13.设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0,g(x)>0,证明 limT()]g(x)dx =maxf(x) 习题7.3 1.设函数∫(x)连续,求下列函数F(x)的导数: (1)F(x)=Jf(1)d )F(x)=f()d; 2.求下列极限: cos t 2 dt (1)l1m x (2)lim 1 (arc tan)dv (3)1im (4)lm
5．设 f x( )在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0 但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0 。 6．设 f x( )在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 7．设函数 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0 。 8．设ϕ(t) 在[0, a]上连续， f (x) 在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) ≥ 0 。证明 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f x( )在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 10．（Young 不等式）设 y f = (x) 是[ , 0 ∞) 上严格单调增加的连续函数，且 ，记 它的反函数为 f (0) = 0 x f = y −1( ) 。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) f y dy ab b − ∫ ≥ 1 0 ( ) （a > 0 0 , b > ）。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，则有 lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0 。 12．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ； ∫ ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 (2) （Minkowski 不等式）{ } { } { }2 1 2 2 1 2 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ≤ + b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 。 13．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上连续，且 f (x) ≥ 0 ， g(x) > 0，证明 lim{ [ ( )] ( ) } max ( ) 1 f x g x dx f x a x b n b a n n→∞ ≤ ≤ = ∫ 。 习 题 7.3 ⒈ 设函数 f x( )连续，求下列函数 F x( ) 的导数： ⑴ F x( ) = f t dt x b ( ) ∫ ; ⑵ F x( ) = f t dt a x ( ) ln ∫ ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . ⒉ 求下列极限： ⑴ lim cos x x t dt → x ∫ 0 2 0 ; ⑵ lim e cos x w x x dw → − ∫ 0 2 1 2 ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 2
f(rdn 3.设∫(x)是D0,+∞)上的连续函数且恒有f(x)>0,证明g(x)= 是定义在 ∫nf(n)dt [0,+∞)上的单调增加函数 4.求函数f(x)=(t-1)(-2)2d的极值。 5利用中值定理求下列极限 n+p sin x (1)lim dt dt(p∈N 6.求下列定积分 )x2(2-x2)dx (2x+3x)2ax; x(1-4x2)dx (x+D)dx (x2+2x+5)2 rcsin x CoS- x ex sinx dx (10)」sin(lnx)dx; (11)x2arc tanxdx (2)「x2lm(x-1)d (14)le d x (15) d x x (19) dx 7.求下列极限: (p>0) 丌 li (n-1) 8求下列定积分: (1) (a2-x2)" dx x2(1-4x2)0dx 6)1 9.设f(x)在[0,1上连续,证明: (1) Jf(cos x)dx=f(sin x)dx
⒊ 设 f x( )是[ , 0 + ∞) 上的连续函数且恒有 f x( ) > 0 ，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞) 上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 6. 求下列定积分： ⑴ x x 2 2 2 0 1 ∫ ( ) 2 − dx ; ⑵ ( ) x x( x ) x dx − − + ∫ 1 1 2 2 1 2 2 ; ⑶ ( ) 2 3 2 0 2 x x ∫ + dx ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ( ) ( ) x dx x x + + + −∫ 1 2 5 1 2 2 1 ; (6) arcsin x dx 0 1 ∫ ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) x x d 2 1 1 ln( 1) e − + ∫ x 。 (13) x d 3 x 0 2 2 e ln − ∫ x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) dx x 1 0 2 1 + ∫ e ; (16) dx ( ) 1 x 2 3 1 2 1 2 − −∫ ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) x x dx 2 0 4 1 1 1 + + ∫ ; (19) dx x x 1 1 2 2 + ∫ ; (20) x x x dx 2 0 1 − ∫ ; 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 8. 求下列定积分： ⑴ cosn xdx 0 π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 9. 设 f (x)在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; 3
rx(sin x)x=f(sin 10.利用上题结果计算 x sin x (1)sinx dx 1+cos2 1+sin 2x 11.求下列定积分 (1) x2[x]dx (2)Jsgn(x-x3)dx (3)xIr-aldr 12.设f(x)在[a,b]上可积且关于x=T对称,这里a0有 g(x)=(=常数,x∈0+∞) 证明:/()C,x=+∞),其中c为常数。 20.设∫(x)在(0,+∞)上连续,证明 dx 21.设∫(x)在[a,b上连续。证明 max 1/(x)kI f(x)dx+I'(x)ldx 22.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,证明 23.设f(x)在[0,a]上二阶可导(a>0),且∫"(x)≥0,证明:
⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx x 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; ⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a 0 有 = ≡ ∫ ax x g(x) f (t)dt 常数， x ∈ (0,+∞) 。 证明： x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) ，其中c 为常数。 20. 设 f x( )在(0,+∞) 上连续，证明 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 21．设 f ′(x) 在[a,b]上连续。证明 ∫ ∫ + ′ − ≤ ≤ ≤ b a b a x b a f x dx f x dx b a f x ( ) | ( ) | 1 max | ( ) | 。 22．设 f x( )在(−∞,+∞) 上连续，证明 f u x u du x ( )( − ) ∫0 = ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) 。 23. 设 f (x)在[0, a]上二阶可导（ a > 0 ），且 f ′′(x) ≥ 0 ，证明： 4
(x)2d(5 24.设函数f(x)在[O,上二阶可导,且f"(x)≤0,x∈[0.1证明: f(x2)dx≤ (提示:考虑∫(x)在x=处的 Taylor公式,再将x换成x2。) 25.设f(x)为[0,2x]上的单调减少函数,证明:对任何正整数n成立 f(x) sin ndx≥0 26.设函数f(x)在[0,x]上连续,且f(x)dx=0,f(x) cos xdx=0.证明:在(0.,x) 内至少存在两个不同的点51,2,使得f(51)=f(2)=0。(提示:利用反证法。) 习题7.4 1.求下列曲线所围的图形面积: (1)y=-,y=x,x=2 (2)y2=4(x+1),y2=4(1-x); (3) y=x, y=x+sin x, x=0,x=T 4) x=1 (5)y=llnx,y=0,x=0,x=10; (6)叶形线 00) (11)r=3cos0,r=1+cos6(-≤b≤") (12)双纽线r2=a2cos20; (13)四叶玫瑰线r=acos20。 (14) Descartes叶形线x3+y3=3axy; (15) 2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值 3.求下列曲线的弧长: (1)y=x32,0≤x≤4 y2 In (3)y= In cos x,0sx≤a<n
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∫ 2 ( ) 0 a f x dx af a 。 24. 设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f ′′(x) ≤ 0 ， x ∈[0,1], 证明： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∫ 3 1 ( ) 1 0 2 f x dx f 。 (提示： 考虑 f (x) 在 3 1 x = 处的 Taylor 公式，再将 x 换成 。) 2 x 25．设 f x( )为[0,2π ]上的单调减少函数, 证明：对任何正整数n 成立 ( )sin 0 2 0 ≥ ∫ f x nxdx π 。 26. 设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 ( ) 0 ， 。证明：在 0 = ∫ π f x dx ( ) cos 0 0 = ∫ π f x xdx (0,π ) 内至少存在两个不同的点ξ 1，ξ 2 ，使得 ( ) ( ) 0 f ξ 1 = f ξ 2 = 。（提示：利用反证法。） 习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2 ； ⑵ y x 2 = 4 1 ( ) + ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0 ， x = π ； ⑷ y = ex ， y = e− x ， x = 1； ⑸ y x =|ln |， y = 0 ， x = 01. ， x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = + cosθ b （b a ≥ > 0 ）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ 。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . ⒉ 求由抛物线 y a 2 = 4 x 与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = 3 2/ ，0 4 ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； 5
(4)星形线 0≤t≤2π; y=asin, x=a(cost+tsin t) (5)圆的渐开线 0≤t≤2π y=a(sin t-t cost), (6)心脏线r=a(1-cos0),0≤0≤2π; (7)阿基米德螺线r=a0,0≤θ≤2π; (8 r= asin 0≤6≤3m 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是长半轴为A、短半轴为 B的椭圆(A>a,B>b),高为h (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+22=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体。 6.证明以下旋转体的体积公式 (1)设∫(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤∫(x)所表示的区域绕y轴旋转 周所成的旋转体的体积为 V=2rxf(x)do (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 2 r(0)sin Ade 7.求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: (2)y=sinx,y=0,0≤x≤π, ①绕x轴,②绕y轴 a cost (3)星形线 0≤t≤π,绕x y=asin =a(t-sin t), (4)旋轮线 t∈[0,2r],y=0, y=a(l- cOs ①绕y轴,②绕直线y=2a; (5)x2+(y-b)2=a2,(0<a≤b),绕x轴 心脏线r=a(1-cos0),绕极轴; 对数螺线r=ae°,0≤0≤π,绕极轴 )2=a2(x2-y2),绕x轴 8.将抛物线y=x(x-a)与y=0所界区域在x∈[0,a]和x∈[a,c]的部分分别绕x轴旋 转一周后,所得到旋转体的体积相等,求c与a的关系 9.记()是曲线y=,x与y=0所界区域在x∈[0.1的部分绕x轴旋转一周所得 到的旋转体的体积,求常数a使得满足
⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆，下底是长半轴为 A 、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为 h ； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2 和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2 和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0 是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) 所表示的区域绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 y V xf x a b = 2π∫ ( )dx ； ⑵ 在极坐标下，由 0 ≤ ≤ α θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 V r = ∫ 2 3 3 d π θ θ α β ( )sin θ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： ⑴ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x 轴； ⑵ y x = sin ， y = 0 ，0 ≤ x ≤ π， ① 绕 x 轴， ② 绕 y 轴； ⑶ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； ⑷ 旋轮线 ， x a t t y a t t = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2π y = 0 ， ① 绕 y 轴， ② 绕直线 y a = 2 ； ⑸ x y 2 2 + − ( ) b = a2 ，（0 < a ≤ b ），绕 x 轴； ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑺ 对数螺线r a = e , θ 0 ≤ θ ≤ π ，绕极轴； ⑻ ( ) x y 2 2 + =2 a2 (x 2 − y 2 )，绕 x 轴。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 与 y = 0 所界区域在 x a ∈[ , 0 ]和 x a ∈[ , c]的部分分别绕 x 轴旋 转一周后，所得到旋转体的体积相等，求c 与a 的关系。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 与 y = 0 所界区域在 x ∈[ , 0 ξ] 的部分绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体的体积，求常数a 使得满足 6
V(a)=n lim v(s) 10.将椭圆 1绕x轴旋转一周围成一个旋转椭球体,再沿x轴方向用半径为 (r0),在t=7/2对应的点 17.求下列曲线的曲率和曲率半径 (1)抛物线y2=2px(p>0) (2)双曲线
V a( ) = lim V( ) →+∞ 1 2 ξ ξ 。 10. 将椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕 x 轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿 x 轴方向用半径为 r （r 0 ），在t = π / 2 对应的点。 17. 求下列曲线的曲率和曲率半径。 （1） 抛物线 y 2 px （ ）； 2 = p > 0 （2） 双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x ； 7
(3)星形线x3+y3=a3(a>0); (4)圆的渐开线x=a(cost+tsin),y=a(sint- t cos t)(a>0)。 18.求曲线y=lnx在点(1,0)处的曲率圆方程 19.设曲线的极坐标方程为r=r(0),b∈[a,(c[0,2z]),且r()二阶可导。证明它 在点(r,)处的曲率为 习题7.5 1.一根10米长的轴,密度分布为p(x)=03x+6千克/米(0≤x≤10),求轴的质量 2.已知抛物线状电缆y=x2(-1≤x≤1)上的任一点处的电荷线密度与该点到y轴的 距离成正比,在(11)处的密度为q,求此电缆上的总电量。 3.水库的闸门是一个等腰梯形,上底36米,下底24米,高16米,水平面距上底4米, 求闸门所受到的水压力(水的比重为1000千克/米3)。 个弹簧满足圆柱螺线方程 x= a cos t y=asin, t>0(a>0, b>0), z=b1, 其上任一点处的密度与它到Oy平面的距离成正比,试求其第一圈的质量。 5.一个圆柱形水池半径10米,高30米,内有一半的水,求将水全部抽干所要做的功 6.半径为r的球恰好没于水中,球的比重为p,现在要将球吊出水面,最少要做多少功? 7.半径为r密度为p的球壳以角速度O绕其直径旋转,求它的动能。 8.使某个自由长度为1米的弹簧伸长2.5厘米需费力15牛顿,现将它从1.1米拉至1.2 米,问要做多少功? 9.一物体的运动规律为s=3t3-t,介质的阻力与速度的平方成正比,求物体从t=1运 动至t=T时阻力所做的功。 10.半径为1米,高为2米的直立的圆柱形容器中充满水,拔去底部的一个半径为1厘米的 塞子后水开始流出,试导出水面高度h随时间变化的规律,并求水完全流空所需的时间。 (水面比出水口高h时,出水速度v=06×√2gh。) l.上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器,才能使水流出时水面高度下降是匀速的 12.镭的衰变速度与它的现存量成正比,设l0时有镭Q克,经1600年它的量减少了一半, 求镭的衰变规律 13.将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比,设反应开始时有B物 质20%,半小时后有B物质25%,求B物质的浓度的变化规律。 14.设[,+d中的人口增长量与Pnmx-p(1)成正比,试导出相应的人口模型,画出人口 变化情况的草图并与 Malthus和 Verhulst人口模型加以比较。 I5.核反应堆中,t时刻中子的增加速度与当时的数量N(n)成正比。设N(0)=No,证明 16.一个1000米的大厅中的空气内含有a%的废气,现以1米/分钟注入新鲜空气,混合 后的空气又以同样的速率排出,求I时刻空气内含有的废气浓度,并求使废气浓度减少 半所需的时间。 计算实习题
（3） 星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a （ a > 0 ）； （4） 圆的渐开线 x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost) （ a > 0 ）。 18. 求曲线 y = ln x 在点(1,0) 处的曲率圆方程。 19. 设曲线的极坐标方程为 r = r(θ ) ，θ ∈[α, β ] (⊂ [0,2π ]) ，且 r(θ ) 二阶可导。证明它 在点(r,θ )处的曲率为 2 2 3 / 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr K + ′ + ′ − ′′ = . 习 题 7.5 ⒈ 一根 10 米长的轴，密度分布为ρ( ) x = 0 3. x + 6 千克/米（0 ≤ x ≤ 10 ），求轴的质量。 ⒉ 已知抛物线状电缆 y = x 2 （ −1 ≤ x ≤ 1）上的任一点处的电荷线密度与该点到 轴的 距离成正比，在 处的密度为 q，求此电缆上的总电量。 y ( , 11) ⒊ 水库的闸门是一个等腰梯形，上底 36 米，下底 24 米，高 16 米，水平面距上底 4 米， 求闸门所受到的水压力（水的比重为 1000 千克/米3 ）。 ⒋ 一个弹簧满足圆柱螺线方程 x a t y a t z bt = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ cos , sin , , t > 0 （ a > 0,b > 0）， 其上任一点处的密度与它到 Oxy 平面的距离成正比，试求其第一圈的质量。 ⒌ 一个圆柱形水池半径 10 米，高 30 米，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。 ⒍ 半径为r 的球恰好没于水中，球的比重为ρ ，现在要将球吊出水面，最少要做多少功？ ⒎ 半径为r 密度为ρ 的球壳以角速度ω 绕其直径旋转，求它的动能。 ⒏ 使某个自由长度为 1 米的弹簧伸长 2.5 厘米需费力 15 牛顿，现将它从 1.1 米拉至 1.2 米，问要做多少功？ ⒐ 一物体的运动规律为 ，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体从t 运 动至t s t = 3 −3 t = 1 = T 时阻力所做的功。 ⒑ 半径为 1 米，高为 2 米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为 1 厘米的 塞子后水开始流出，试导出水面高度 随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间。 （水面比出水口高 时，出水速度 h h v g = × 0 6. 2 h 。） ⒒ 上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器，才能使水流出时水面高度下降是匀速的。 ⒓ 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 时有镭Q 克，经 1600 年它的量减少了一半， 求镭的衰变规律。 t0 0 ⒔ 将 A 物质转化为 B 物质的化学反应速度与 B 物质的浓度成反比，设反应开始时有 B 物 质 20%，半小时后有 B 物质 25%，求 B 物质的浓度的变化规律。 ⒕ 设[t,t + dt]中的人口增长量与 pmax − p t( ) 成正比，试导出相应的人口模型，画出人口 变化情况的草图并与 Malthus 和 Verhulst 人口模型加以比较。 ⒖ 核反应堆中，t 时刻中子的增加速度与当时的数量 N t( ) 成正比。设 N( ) 0 = N0 ，证明 [ ] 1 0 2 ( ) t N N t [ ] 2 0 1 ( ) t N N t = 。 ⒗ 一个 1000 米3 的大厅中的空气内含有a %的废气，现以 1 米3 ／分钟注入新鲜空气，混合 后的空气又以同样的速率排出，求 t 时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少 一半所需的时间。 计 算 实 习 题 8
(在教师的指导下,编制程序在电子计算机上实际计算) 1.利用π= (1)用普通的梯形公式、 Simpson公式和 Cotes公式,计算圆周率π的近似值并与精确 值加以比较 (2)将区间[01分成4、8等份,用复化梯形公式和复化 Simpson公式计算π的近似值, 并与精确值加以比较 (3)用 Romberg方法计算π的近似值,使它的精度达到O(103) (4)分别用n=1,2,4的 Gauss-Legendre公式计算π的近似值,并与前面的计算结果加 以比较。 2.设河面宽20米,从河的一岸向另一岸每隔2米测得的水深如下:(单位:米) 10 0061.4|2.0[2.32.1|2.51.91.20.70 求河流的横断面积(图763)。 3 6.3 3.分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式计算下列积分: e 上-.x≠0 dx,m=8(可看成连续函数f(x) 的积分;) 8 4.用 Romberg方法计算 精确到小数点后第8位 5.用一般的积分区间上的 Gauss-Legendre公式(取n=4)计算积分Ⅳ(N)=e-r (1)N=1; (2)N=3 并与 lim dx 的结果相比较
（在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算） ⒈ 利用 π = + 4∫ 10 2 1 dx x ， ⑴ 用普通的梯形公式、Simpson 公式和 Cotes 公式，计算圆周率 π 的近似值并与精确 值加以比较； ⑵ 将区间[ , 分成 4、8 等份，用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算 的近似值， 并与精确值加以比较； 0 1] π ⑶ 用 Romberg 方法计算 π 的近似值，使它的精度达到 (10 ) ； −8 O ⑷ 分别用 n = 1 2, , 4 的 Gauss-Legendre 公式计算 π 的近似值，并与前面的计算结果加 以比较。 ⒉ 设河面宽 20 米，从河的一岸向另一岸每隔 2 米测得的水深如下：（单位：米） x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 0 0.6 1.4 2.0 2.3 2.1 2.5 1.9 1.2 0.7 0 求河流的横断面积(图 7.6.3)。 ⒊ 分别用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算下列积分： 0 4 8 12 16 20 x 1 2 3 y 图 7.6.3 ⑴ ex dx 2 0 1 ∫ ， m = 16 ; ⑵ 1 0 − ∫ cos x x dx π ， m = 8 （可看成连续函数 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = − 0, 0 , 0, ( ) 1 cos x x f x x x 的积分；） ⑶ 1 3 0 1 ∫ − x dx ， m = 8 ; ⑷ e− + ∫ x x dx 1 0 2 2 ， m = 8 。 ⒋ 用 Romberg 方法计算 dx x 1 2 ∫ ，精确到小数点后第 8 位。 ⒌ 用一般的积分区间上的 Gauss-Legendre 公式（取 n = 4 ）计算积分 I N x dx ： N ( ) = e− ∫ 2 0 ⑴ N = 1; ⑵ N = 3 ; ⑶ N = 10 。 并与 lim e N x N dx →∞ − ∫ = 2 0 2 π 的结果相比较。 9
6.按第3题同样的观点,计算(x2=b(x=3,k=12…6),并作出() 的大致图形
⒍ 按第 3 题⑵同样的观点，计算 , 1,2, 6) 3 ( sin ( ) 0 = ∫ = k = " k dt x t t f x x π ，并作出 的大致图形。 f x( ) 10