复旦大学：《高等数学》课程学习园地_Γ函数与 Stirling 公式

r函数与 Stirling公式 函数定义为 i dx (s>0), 且利用等式 T(s) r(S+1) S 可以把r(s)的定义域延拓到(-,+∞){0,-1,-2,-3,…}上去,其图像如下图。 4r(s) 如何估计阶乘n的增长量级,这在理论与实际应用中是非常重要问题。T函 数与阶乘有着密切的关系,这就是 T(n+D=n 因此对I函数增长的估计也就蕴含了n!的增长估计,这就是下面的定理: 定理( Stirling公式)T函数有如下的渐进估计: e2s, s>0 这里0<6<1。特别地,当s=n为正整数时, n=√2mn 从这个定理立即得到无穷大量的等价关系: (n→∞)。 关于阶乘的 Stirling公式的意义在于,它可以将阶乘转化成幂函数,使 得阶乘的结果得以更好的估计,而且n越大,估计就越准确。 例求极限lim 解由n~√2zn

Γ函数与 Stirling 公式 Γ 函数定义为       0 1 (s) x e dx s x （ s  0 ）， 且利用等式 s s s ( 1) ( )     可以把 (s) 的定义域延拓到 (,  ) \{0, 1,  2, 3, } 上去，其图像如下图。 如何估计阶乘 n! 的增长量级，这在理论与实际应用中是非常重要问题。Γ 函 数与阶乘有着密切的关系，这就是 (n 1)  n!。 因此对Γ函数增长的估计也就蕴含了 n! 的增长估计，这就是下面的定理： 定理（Stirling 公式） Γ 函数有如下的渐进估计： s s s s s 12 e e ( 1) 2            ，s  0 ， 这里 0    1 。特别地，当 s  n 为正整数时， n n n n n 12 e e ! 2          。 从这个定理立即得到无穷大量的等价关系： n n n n       e !~ 2 （ n  ）。 关于阶乘的 Stirling 公式的意义在于，它可以将阶乘转化成幂函数，使 得阶乘的结果得以更好的估计，而且 n 越大，估计就越准确。 例 求极限 n lim n n n ! 。 解 由 n n n n       e !~ 2 （ n  ）知

√2n”em 2I n 2 e- 于是利用等价无穷大量代换的方法得 lim lim Vv2r n-e 例求极限lm1+ 解由nl-~√2n m=√2rlm1+ 2r lim e √ 因为 lim n nIn 1+ = lim n 2n 所以 n

n lim n n n n n n   2 e ! 2 1    n lim 1 2 e ! 2 1    n n n n n  。 于是利用等价无穷大量代换的方法得 n lim  n n n ! n lim e 2 e 2 1    n n n n n  。 例 求极限 n n n n n n n 1 ! lim 1 2         。 解 由 n n n n       e !~ 2 （ n  ）知                                          1 1 l n 1 1 e 2 lim e 1 2 lim 1 1 ! lim 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n   。 因为 , 2 1 (1) 2 1 lim 1 1 2 1 1 1 lim 1 lim ln 1 2 2                                                    o n o n n n n n n n n n n 所以 e 1 ! 2 lim 1 2           n n n n n n n