复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学B课程代码:MTH10004 1开课院系:数学科学学院考试形式:团卷 题号1 3 6 8总分 剑 得分 答题时请写明过程 计算和简答(6分×8=48分) ⌒迎长 设z=xyf(2x+3y),其中f()为一元二阶可导函数,求业和 补 2.求曲面z3=2xyz-a2和曲面x2=2(xy+yz)的交线在点A(a,a,a)处 的切线方程(a≠0为常数) 1/7
1 / 7 复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 课程名称： 高等数学 B 课程代码： MATH120004 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 答题时请写明过程 一. 计算和简答（6 分×8=48 分） 1. 设𝑧 = 𝑥𝑦𝑓(2𝑥 + 3𝑦), 其中𝑓(𝑡)为一元二阶可导函数，求 ∂z ∂x 和 ∂ 2z ∂x ∂y 2. 求曲面z 3 = 2xyz − 𝑎 3 和曲面x 2 = 1 2 (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧)的交线在点 A(𝑎，𝑎 ，𝑎 )处 的切线方程(𝑎 ≠ 0 为常数)。 姓名： 学号： 专业： （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
3.设(x)=2d,求hx)dx 4.求z=x3+2xy-y3的极大值和极小值 5.求⑩n(x+y) dady,其中n=(xy2)x2+y2+z2≤R2y≥0,z≥0 2/7
2 / 7 3. 设f(x) = ∫ 𝑒 −𝑦 𝑦−1 𝑑𝑦 𝑥 0 ，求∫ f(x)𝑑𝑥 1 0 4. 求𝑧 = 𝑥 3 + 2xy − 𝑦 3 的极大值和极小值。 5. 求∭ (x + y)dxdydz, 其中 Ω = *(x, y, z)|x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , y ≥ 0, z ≥ 0+ Ω
∑ n+(-3) 6.级数 是否收敛?如果收敛求其和 5 7.将函数fx)=8-2x(x≤x<2n)展开成周期为2的余弦级数, 并求 (2k-1) 3/7
3 / 7 6. 级数 1 5 ( 3) n n n n 是否收敛？如果收敛求其和。 7. 将函数 f(x) = 7 8 𝜋 − 1 2 𝑥 ( 𝜋 ≤ 𝑥 < 2𝜋 ) 展开成周期为2𝜋的余弦级数， 并求 1 2 (2 1) 1 k k
x2+y2≠0 8.函数f(x,y)= 在(0,0)是否可微? 0 0 (10分)求积分瓜(x+y)2dxdy,其中是直线y=xy=2x,x+y=1, 和x+y=3所围成的区域 4/7
4 / 7 8. 函数f(x, y) = { xy √x 2+y 2 x 2 + y 2 ≠ 0 0 x 2 + y 2 = 0 在(0,0 )是否可微？ 二. (10 分) 求积分∬ (x + y) 2dxdy Ω , 其中Ω 是直线𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, x + y = 1 ， 和 x + y = 3 所围成的区域
三.(10分)求级数∑(x-1)的收敛域与和函数。 四.(10分)设由函数y=f(x)(在(-∞,∞)上二阶连续可导)所确定的曲线在 0处的切线方程为y=x-1,且满足 df(r) -46f(t)d 求曲线的 方程 5/7
5 / 7 三. (10 分) 求级数 1 1 ( 1) 3 1 n n n x n 的收敛域与和函数。 四. (10 分) 设由函数y = f(x)（在(−∞, ∞)上二阶连续可导）所确定的曲线在 x = 0处的切线方程为y = x − 1, 且满足 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑒 2𝑥 , 求曲线的 方程
五.(10分)求曲面x2+(-x)2+z2=4离原点最远和最近的距离。 6/7
6 / 7 五. (10 分) 求曲面 𝑥 2 + (𝑦 − 𝑥) 2 + 𝑧 2 = 4 离原点最远和最近的距离
六.(12分)一蓄水池内有含盐100kg的200升盐水。如果从某时刻起,以 6升/分钟的速度向蓄水池中注入每升含盐2kg的盐水,同时以4升分钟的速度 从蓄水池流出浓度均匀的盐水。(假设在混合过程中盐水的体积不变) 1)求蓄水池中盐水的体积随时间变化的函数 2)求60分钟后蓄水池中盐的含量。 7/7
7 / 7 六. (12 分) 一蓄水池内有含盐 100kg 的 200 升盐水。 如果从某时刻起， 以 6 升/分钟的速度向蓄水池中注入每升含盐 2kg 的盐水, 同时以 4 升/分钟的速度 从蓄水池流出浓度均匀的盐水。（假设在混合过程中盐水的体积不变） 1）求蓄水池中盐水的体积随时间变化的函数； 2）求 60 分钟后蓄水池中盐的含量