复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学C）医学院2005级高等数学期末试卷（A）答案

复旦大学数学科学学院 2005~2006学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学C 课程代码:218.103.2 开课院系:数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名 学号 专业:医学 题号1 3 5 6 8总分 得分 题号9 10 121314 16 得分 装订线内不要答题 求极限(2*7%) 1. lim(x"+y )e y→)+∞ 解答:=0 设f(x,y=)=0y+C03+2C0x求d(0,0,0)(8%) 解答:d(0,0,0)=(ax+d+d) 设u=/xy)有连续的一阶偏导数,又c”-=2,c=「 求 (8%) 四.平面上两定点4(1,3),B(4,2),试在椭圆 =1(x>0,y>0)的圆 装订线内不要

1 复旦大学数学科学学院 2005～2006 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 一． 求极限 （2*7%） 1. ( ) lim ( ) n n x y y x x y e      2. n n n n 2 n! lim  解答：  0  0 二． 设 x y z x y y z z x f x y z 1 cos cos cos cos cos cos ( , , )       求 df(0, 0, 0) （8%） 解答： ( ) 4 1 df (0, 0, 0)  dx  dy  dz 三． 设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又 e  xy  2 xy ，    x z x dt t t e 0 sin 求： dx du （8%） 解答： z x x y f x z e x z f x y f dx d u                sin( ) ( ) 1 四． 平面上两定点 A(1, 3), B(4, 2), 试在椭圆 1 ( 0, 0) 9 4 2 2   x  y  x y 的圆 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

周上求一点C,使△BC面积S、最小。(提示:S、=AB×AC(1)(8%) 解答:￥C(7,一=)时,使△ABC面积S△最小。 计算=jy-x21o其中D={-1≤xs10≤ysl}(8%) 解答: 设一元函数f(x)在[O,1上连续,证明 dy(x-y)"-f(rkr=I (x-x2)f(x)dx(8%) 证明:「小,”(x-y3(x=J(x-y2)“(x (x-y) dx=右式 判别级数 x>0的敛散性。(8%) 解答:∵lm <1(x≠1)收敛( Cauchy判别法) max(l x 时 发散 八 将函数f(x)=acan2x 展开成x的幂级数,并求 (-1) 的和。(8%) 2n+1 解答:f(x)= arctan 1-2xz_y(-1)"2x、,m1x∈(11 1+2x4 2 n 若常微分方程y"+qy+by=Be有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定

2 周上求一点 C ，使 ABC 面积 S 最小。（提示： S  AB AC 2 1 ）（8%） 解答： 当 )时， 5 4 , 5 3 C( 使 ABC 面积 S 最小。 五． 计算    D I y x d 2 其中 D  1 x 1, 0  y 1 （8%） 解答： 15 2 11     D I y x d 六． 设一元函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，证明 dy x y f x dx y y n    (  ) ( ) 2 1 0      1 0 2 1 ( ) ( ) 1 1 x x f x dx n n （8%） 证明： dy x y f x dx y y n    (  ) ( ) 2 1 0      x x n dx x y f x dy 2 ( ) ( ) 2 2 1 0       1 0 1 ) 1 ( ) ( )( 2 dx n x y f x x x n =右式 七． 判别级数 0 1 1 3      x x x n n n 的敛散性。 （8%） 解答： 1 1 max(1, ) lim 3 3     x x x x n n n n  (x 1) 收敛（ Cauchy 判别法） 当 x  1 时   1 2 1 n 发散 八． 将函数 x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan    展开成 x 的幂级数，并求      0 2 1 ( 1) n n n 的和。 （8%） 解答： x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan             0 2 1 2 1 2 1 ( 1) 2 4 n n n n x n  ] 2 1 , 2 1 x ( 2 1 4 ( 1) 0       n n n 九． 若常微分方程 x y   ay   by  e 有一个特解为 x x y e (1 x)e 2    ，试确定

常数a,b与β的取值,并求出该微分方程的通解。(8%) 解答:{b=2GS.y=Ce2+C2e2+xe B 设函数f(1)在[0,+∞)上具有连续导数,且满足 (=e"+J(x+y2)o求f()(%) 解答:f(1)=e(丌2+1) 一台电子设备内装有3个某种类型的电子管。已知这种电子管的寿命5(单位:小 时)服从如下的指数分布: f(x)=100 1000x>0 x≤0 如果有一个电子管损坏(即此电子管寿命小于电子管的平均寿命1000小时),设备 仍能正常工作的概率为0.80,若两个及两个以上电子管损坏,则设备不能正常工作。 (各电子管工作相互独立,e-1≈0.37)。 求:(1)电子管损坏的概率。 (2)求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率。(2*7%) 解答:5:“电子管的寿命”, 7:“3个电子管使用1000小时后损坏的个数,n~B(3,p)其中 p=P1<100 A:“这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作” (1)电子管损坏的概率p=P505 l000 (2)P(A)=P{=0P4=0}+P=lP{47=1 =C3(063)(037)31+C3(063)(0.37)20.80 0.258

3 常数 a, b 与  的取值，并求出该微分方程的通解。 （8%） 解答：           1 2 3  b a x x x GS y  C e C e  xe 2 1 2 . 十． 设函数 f (t) 在 [0, ) 上 具 有 连 续 导 数 ， 且 满 足       2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 x y t t f t e f x y d  求 f (t) （8%） 解答： ( ) ( 1) 2 2 f t  e t  t   十一． 一台电子设备内装有 3 个某种类型的电子管。已知这种电子管的寿命  （单位：小 时）服从如下的指数分布：          0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 如果有一个电子管损坏（即此电子管寿命小于电子管的平均寿命 1000 小时），设备 仍能正常工作的概率为 0.80，若两个及两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。 （各电子管工作相互独立， 0.37 1   e ）。 求：（1）电子管损坏的概率。 （2）求这台电子设备在正常工作 1000 小时后仍能正常工作的概率。（2*7%） 解答：  ：“电子管的寿命”，  ：“3 个电子管使用 1000 小时后损坏的个数，  ~ B(3, p) 其中 p  P{ 1000} A：“这台电子设备在正常工作 1000 小时后仍能正常工作” （1）电子管损坏的概率 p  P{ 1000}    1000 0 1000 1000 1 e dx x  0.63 （2） P(A)  P{  0}P{A  0}  P{  1}P{A  1} (0.63) (0.37) 1 0 0 3 3  C  (0.63) (0.37) 0.80 1 1 2 3  C   0.258