复旦大学数学科学学院 2009~2010学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称 课程代码: 开课院系: 考试形式:闭卷 姓名 学号: 专业 3 得分15 8 10 题号1011总分 得分1011100 、求极限(15分) 1、 lim Sin(xy2) 2、lim dxle-o-xrdy 3、li 、(8分)设z=f(xy是由方程F(x,2=0所确定的隐函数,F(x,y)具有连 续偏导数,求d 三、(8分)求椭圆 1的内接等腰三角形,其底边平行于椭圆的长轴,且 124 使面积最大 四、(8分)计算I= (1+x2+y2)2 dc,其中D由y=,x≥0及y=1所围 五、(8分)试证:可”f(x)d≤(n-m)”f(x)(m、n均为常数) 六、(6分)判别级数∑ 的敛散性(a>0) 七、(8分)求幂级数∑x的和函数,并计算数项级数∑的和。 n(n+1)
复旦大学数学科学学院 2009～2010 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 ____________ _________ ____________________ ___________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8 8 8 8 6 8 8 10 10 11 10 11 100 一、求极限（15 分）： 1、 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y xy x y ； 2、 2 ( ) 2 0 0 1 lim t t y x t x dx e dy t ； 3、 4 lim 4 n n n 。 二、（8 分）设 z f x y ( , ) 是由方程 , 0 x y F z z 所确定的隐函数， F x y ( , ) 具有连 续偏导数，求 dz 。 三、（8 分）求椭圆 2 2 1 12 4 x y 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，且 使面积最大。 四、（8 分）计算 2 2 2 (1 ) D x I dxdy x y ，其中 D 由 2 2 x y ， x 0 及 y 1 所围。 五、（8 分）试证： 2 2 [ ( ) ] ( ) ( ) n n m m f x dx n m f x dx （ m、n 均为常数）。 六、（6 分）判别级数 2 1 n n n a a n 的敛散性（ a 0 ）。 七、（8 分）求幂级数 1 ( 1) n n n x n 的和函数，并计算数项级数 1 1 ( 1) ( 1)2 n n n n n 的和
八、(8分)设函数f(x)在(O,+∞)上连续,并满足 f()=2(x'+y2)(x2+y'ydxdy+t 求f() 九、(10分)设函数y=f(x)满足微分方程y"+y-sinx=0,其图形在点(0,1)处 的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合,求函数f(x)的解析表达式。 十、(10分)用X光透视诊断肺结核,患者被诊断为肺结核的概率为0.95,非 患者被诊断为肺结核的概率为0.02.某地肺结核发病率为0.001,求 (1)任意一人被诊断为肺结核的概率 (2)若某人经首次透视被诊断为肺结核,他确为该病患者的概率 (3)根据(2)的计算试判断该患者是否已患肺结核,说明理由 十一、(11分)已知某型号LED灯的使用寿命X为连续型随机变量,其密度函 数为 x>4000 p(x) 0 其它 (1)求常数C (2)计算P(X≤48004500<X<5000 (3)已知一设备装有3个这样的LED灯,每个LED灯能否正常工作相互独立, 求在使用的最初4500天只有一个损坏的概率
八、（8 分）设函数 f x( ) 在 (0, ) 上连续，并满足 2 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) x y t f t x y f x y dxdy t ， 求 f t()。 九、（10 分）设函数 y f x ( ) 满足微分方程 y y x sin 0 ，其图形在点 (0,1) 处 的切线与曲线 2 y x x 1 在该点处的切线重合，求函数 f x( ) 的解析表达式。 十、（10 分）用 X 光透视诊断肺结核，患者被诊断为肺结核的概率为 0.95，非 患者被诊断为肺结核的概率为 0.02.某地肺结核发病率为 0.001，求： （1）任意一人被诊断为肺结核的概率； （2）若某人经首次透视被诊断为肺结核，他确为该病患者的概率； （3）根据（2）的计算试判断该患者是否已患肺结核，说明理由。 十一、（11 分）已知某型号 LED 灯的使用寿命 X 为连续型随机变量，其密度函 数为 2 4000 ( ) 0 C x x x 其它 （1）求常数 C ； （2）计算 P X X ( 4800 4500 5000) ； （3）已知一设备装有 3 个这样的 LED 灯，每个 LED 灯能否正常工作相互独立， 求在使用的最初 4500 天只有一个损坏的概率
