复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学B）2016级高数B（上）（A）试题解答

复旦大学数学科学学院 2016~2017学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称 高等数学B(上) 课程代码:MATH120003 1开课院系:数学科学学院 考试形式:闭卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 计算题 铷长 2n-1 令 令 3·2 12。提示:利用 Taylor展开即可 1首先,转化为求自然对数的极限 limIn e|1-x 所以,原极限=e2 +-In x+-In cos x -(sin x 2x 4x 8cosx

1 复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 一．计算题 1． 令 1 1 1 2 1 3 2 3 2 n n n u        ，则 1 1 3 3 1 1 4 2 2 2 n n n i i u u             ，令 lim n n u u   ， 3 3 3 2 4 2 2      u u u 。 2． 2。提示：利用 Taylor 展开即可。 3． 首先，转化为求自然对数的极限 2 3 1 3 1 3 1 lim ln e 1 2 x x x x                      。 所以，原极限 1 2 e   。 4． 1 1 1 ln ln ln cos 2 4 8 y x x x    ， 2 1 1 1 ( sin ) 2 4 8cos y x y x x x       ， （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

2 原式=∫0=…= caranx-uan2 r sec xx- secxdr, I+tan- 又[seod=1n-2→原式=1 2/secx tanx+In 令x=e,原式=m2m=(令n=sm1) 7. 原式= b2(b2+1)2 P:=(0,4,2),P:=(-1,10)位于直线上, PP:=(13,2),方向向量v:(12,4), 8i-2j-k 21 x=1为极小值点,极小值-9(6 x=-1为极大值点,极大值为0。 利用 Cauchy中值定理 2

2 2 1 1 1 tan 2 4 8 y y x x x            。 5. 原式 2 2 2 sin sec tan tan sec sec cos x dx x x x xdx xdx x         ， 又 1 tan 2 sec ln 1 tan 2 x xdx x      原式 1 tan 1 2 sec tan ln 2 1 tan 2 x x x C x                。 6. 令 e u x  ，原式 1 2 4 1 4 6 d 2d (1 ) 6 u t u u          （令 2 u t  sin ）。 7． 原式 1 2 2 2 1 b b( 1)   。 8． P： (0, 4, 2) ， P0 ：  ( 1,1,0) 位于直线上， PP0 ：  (1, 3, 2) ，方向向量 v ：(1, 2, 4)， 0P P v i j k     8 2 ， 0 69 21 P P v d v    。 二． 1 5 x  为极小值点，极小值 2 9 6 3 5 5        ， x 1 为极大值点，极大值为 0。 三． 利用 Cauchy 中值定理

直线方程为:x1=y x=1-二 所以,截面半径为F+y2=√-2+2=V=x(-2+2k=2z 五 A|=|AP,又A=4→|4|=±2 若|A|=2, A 若|A A 六 0x,0<mx<1,所以xmx<x (x tanx-otan x)x=-(e-x)tan xx+4(x-o)tan xdx 8 ≥tanx「4(,x dx=0。 故得证。 七 易见 I!2! (n+1) 分步消去第一列元素, n!(n+1)

3 四． 直线方程为： -1 1 , 1 1 1 . x y z x z y z           所以，截面半径为 1 2 2 2 2 2 0 2 (1 z) (1 2 2 ) 3 x y z V z z dz             。 五． * 1 | | A A A    * 2 | | | | A A  ，又 * | | 4 | | = 2 A A    。 若 | | =2 A ， 1 * 3 2 1 = 1 1 1 2 1 0 1 A A                   。 若 | | = 2 A  ， 3 2 1 1 1 1 1 0 1 A                    。 六． 1． 0 4 x    ，0 tan 1  x ，所以 2 4 4 0 0 tan 32 x xdx xdx        。 2． 4 8 4 0 0 8 ( tan tan ) ( ) tan ( ) tan 8 8 8 x x x dx x xdx x xdx                 4 0 tan ( ) 0 8 8 x dx        。 故得证。 七． 1．易见 , ( )! m j k j k   。 0! 1! 1 2! ( 1)! ! ( 1)! (2 ) n n n D n n n    ！ ！ 分步消去第一列元素 ！

0!1 01 01 D n =(依次消去对角线下方元素) n D=Ik! 2.Vx,0≤i≤k-1, moo mo q()x'e dx=--det -1.0mk-1 mio mi. 故得证

4 0! 1! 0! 1! 0 1! 1 ! 0 1! ! ! 0 ! 1 (2 1) 0 ! (2 1) n n n n n D n n n n n n         ！ ！ ！ ！ 。  ( ) 依次消去对角线下方元素 2 0 0 0! 1! 1! ! ! ( !) 0 n n k k n n D k k n       ！ ！ 。 2． i x ，0 1    i k ， 0,0 0,1 0,k 0 1 k 1,0 k 1,1 k 1,k i,0 i,1 i,k 1 ( ) det 0 i x k k m m m q x x e dx D m m m m m m                        。 故得证