复旦大学数学科学学院 2017~2018学年第一学期期末考试试卷 A卷(共八页) 课程名称:高等数学B(上)课程代码:MATH120003 开课院系 数学科学学院考试形式 闭卷 题号 二三四五六七八九总分 得分 (36分,每小题6分,共6小题) 1.求极限 lim In(+x)mn(1+-)的值。 A: lim In(1+x)In(1+-)=lim In(1+x)=limI X-)+o0 1+x 2.设常数a>0,a≠1,已知f(x)=am+(lmx)°,求导数f(x)。 N: f(x)=a. mo.1+a(nx)'X 3.求不定积分[(x )ax 解 )ax d x (1-x) -dx=arcsin(2x-1)+c 该题不定积分还可以是: arccos(1-2x)+c、2 arcsin,√x+c、 2 arcsin√1-x+C、2arcm +C、-2 arctan +C等
1 复旦大学数学科学学院 2017～2018 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 (共八页) 高等数学 B（上） MATH120003 一（ 36 分，每小题 6 分，共 6 小题 ） 1. 求极限 1 lim (1 ) (1 ) x ln x ln x 的值。 解： 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 0 1 lim lim lim x x x ln x ln ln x x x x 2. 设常数 a 0，a 1 ，已知 ( ) ( ) lnx a f x a lnx ，求导数 f x ( )。 解： 1 1 1 ( ) ( ) lnx a f x a lna a lnx x x 3. 求不定积分 1 1 ( ) x x dx x x 。 解： 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 (1 ) ( ) x x dx dx dx arcsin x x x x x x c 该题不定积分还可以是： arccos x 1 2 c、 2arcsin x c、 2 1 arcsin x c 、 2 1 x arctan x c 、 1 2 x arctan x c 等
4.求由方程y+xe"=1确定的隐函数y=1x)在x=1处的一阶导数迎。 解 y 0,由 +e+xe 0,得 d x dx d x 5.求形式为z=a+bx2+cy2的曲面方程,使该曲面过点M(1,-1,4)和曲线 ,并指出该曲面的名称。 解:点M6(1,-1,4)在曲面二=a+bx2+qy2上,代入得:4=a+b14c11) 曲线 在曲面z=a+bx2+qy2上,代入得:3-2x2=a+bx2+c·2 y=2 解得:a=7,b 1,所以曲面方程为 该曲面为椭圆抛物面。 6.计算行列式12x+22x2+4。 13x+33x2+9 11x2+1 解: (x+1)122x2+4=(x+1)1 13x+33x2+9 133 x 或|12x+22x2+4=|-102=(x+1)(-1) 13x+33x2+9-206 二(8分)求Oxy平面内曲线(x2+y2)=2xy3所围区域的面积A。 解:化(x2+y2)=2xy3为极坐标方程r2=2 cosSing,利用对称性求得所围区 域的面积A=2r(0)db=2.)∫2 cosOsin'0d 2
2 4. 求由方程 1 y y x e 确定的隐函数 y y x ( ) 在 x 1 处的一阶导数 dy dx 。 解： x 1 时 y 0，由 0 dy dy y y dx dx e x e ，得： 1 1 2 x dy dx 5. 求形式为 2 2 z a bx cy 的曲面方程，使该曲面过点 0 M (1, 1, 4) 和曲线 2 3 2 2 z x y ，并指出该曲面的名称 。 解：点 0 M (1, 1, 4) 在曲面 2 2 z a bx cy 上 ，代入得： 2 2 4 1 1 a b c 曲线 2 3 2 2 z x y 在曲面 2 2 z a bx cy 上 ，代入得： 2 2 2 3 2 2 x a bx c 解得： a 7，b 2 ，c 1 ，所以曲面方程为： 2 2 z x y 7 2 ， 该曲面为椭圆抛物面。 6. 计算行列式 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 1 3 3 3 9 x x x x x x 。 解: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 1 1 2 2 4 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3 9 1 3 3 9 1 3 3 x x x x x x x x x x x x 或 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 4 1 0 2 1 1 2 1 2 6 1 3 3 3 9 2 0 6 x x x x x x x x x x 二（8 分）求 Oxy 平面内曲线 2 2 3 3 ( ) x y x y 2 所围区域的面积 A。 解：化 2 2 3 3 ( ) x y x y 2 为极坐标方程 2 3 r cos sin 2 ，利用对称性求得所围区 域的面积 2 3 2 2 0 0 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 A r 2 2 d cos sin d
三(8分)已知f(x)=「-x,求曲线y=1(x)在x=3处的切线方程 xdt x≤0 解:f()-}-=8=(-0)+(-)0xx4 ∫n(x-)d 4 4x+8 x≤0 x2-4x+804 得:∫⑧书,f(3)=2,所以切线方程为:y-5=2(x-3),即y=2x-1。 四(8分)水平安置半径为R的半球形水池中盛满了水,水池球形底部中心有一个半 径为的圆孔,按流速公式"=√2gh(h为池中水深),计算池中的水全部流 完所需的时间T。 解:(F-x)=()√2(2 35|2R g 十1= 五(8分)求过直线L 且与点M0(1,-1,0)距离最远的平面∏的 x+y-二-1=0 一般方程。 解:方法一: 建立过直线L的平面束方程:Q+)x+(1+儿H(1-)-)=0, 代入点M的坐标(1,-1,0),得:=4,所以过直线L和点M的平面I 的方程是:6x+3y-52-3=0,平面束中与平面∏垂直的平面∏的法向量 须满足:6(2+λ)+3(-1+4)-5(-1-1)=0,得:A=-1,所以平面∏的方 3
3 三（8 分）已知 4 0 f x t x dt ( ) ，求曲线 y f x ( ) 在 x 3 处的切线方程 。 解： 4 0 4 4 0 0 4 0 0 ( ) 0 4 4 x x t x dt x f x t x dt x t dt t x dt x x t dt x 2 4 8 0 4 8 0 4 4 8 4 x x x x x x x ， 得： f (3) 5 ，f (3) 2 ，所以切线方程为： y x 5 2 3 ，即 y x 2 1。 四（8 分）水平安置半径为 R 的半球形水池中盛满了水，水池球形底部中心有一个半 径为 5 R 的圆孔，按流速公式 v gh 2 ( h 为池中水深 )，计算池中的水全部流 完所需的时间 T 。 解： 2 2 2 5 2 R R R x dx g x dt 2 2 0 2 25 35 2 2 3 R R R R R x dx g x g T 。 五（8 分）求过直线 L : 2 1 0 1 0 x y z x y z 且与点 0 M (1, 1,0) 距离最远的平面 的 一般方程 。 解：方法一： 建立过直线 L 的平面束方程： (2 ) (1 ) (1 ) (1 ) x y z 0， 代入点 M0 的坐标 (1, 1, 0 ) ，得： 4 ，所以过直线 L 和点 M0 的平面 0 的方程是： 6 3 5 3 x y z 0，平面束中与平面 0 垂直的平面 的法向量 须满足： 6(2 ) 3( 1 ) 5( 1 ) 0 ，得： 1 ，所以平面 的方
程是:x-2y+2=0,点M到此平面∏的距离最远。 方法二:点M到平面束中平面的距离是 D()=1(2+4)x1+(-1+1)×(-1)+(-1-1)×0+(1-) (2+)2+(-1+x)+(-1-x) 3x2+4A+6 dD(4)28(2+1)(-4) d (32+42+6) =-1时,D(4)最大,λ=4时,D(A)最小 所以,取λ=-1,得平面∏的方程为:x-2y+2=0,点M0到此平面∏的 距离最远 六(8分)证明:当x<1时,xh1+x +COsx≥1+-x2。 解:令f(x)=xl 1+x cOsx 2 f(x)=lm,“+,x-sinx3 x)= coS*3(,所以∫(x)单调递增, 因为∫'O,所以∫(x)在x=0处取得最小值, 又因为fO4,所以在x<1时,xh+cosx21+1x2。 七(8分)已知矩阵X满足2X=ⅨB,且A=121,B=20,求X。 解:(2-A)X=B,X=(2-A)B 2/-4=|-10-1|,121-41-=-1,(
4 程是： x y 2 2 0 ，点 M0 到此平面 的距离最远。 方法二： 点 M0 到平面束中平面的距离是： 2 2 2 2 4 (2 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 4 6 (2 ) 1 ( 1 ) ( 1) ( 1 ) 0 (1 ) D( ) 2 2 2 28( 1)( 4) 3 4 6 d ( ) d D ， 1 时， D( ) 最大， 4 时， D( ) 最小， 所以，取 1 ，得平面 的方程为： x y 2 2 0 ，点 M0 到此平面 的 距离最远。 六（8 分）证明：当 x 1 时 ， 1 3 2 1 1 2 x xln cosx x x 。 解：令 1 3 2 ( ) 1 1 2 x f x xln cosx x x ， x 1 2 1 2 ( ) 3 1 1 x x f x ln sinx x x x 2 2 4 ( ) 3 0 1 f x cosx x ，所以 f x ( ) 单调递增， 因为 f (0) 0 ，所以 f x( ) 在 x 0 处取得最小值， 又因为 f (0) 0 ，所以在 x 1 时， 1 3 2 1 1 2 x xln cosx x x 。 七（8 分）已知矩阵 X 满足 2X AX B ，且 110 1 2 1 2 0 3 A ， 1 3 2 0 1 1 B ，求 X 。 解： 2I A X B ， 1 X I A B 2 1 1 0 2 1 0 1 2 0 1 I A ， 2 1 I A ， 1 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 I A
得:X 八(8分)设p为常数,讨论反积分。(+x1+x)的敛散性,若收敛,求 该反常积分的值。 解:因为limx 0或 < (1+x2)(1+ 所以反常积分。(1+x)(+x) ax收敛。 d x+ dx x2)(1+ 0(1+x2)(1+ 1+x2)(1+ (1+x2)(1 dx dt dx= arctan= 1+x2)(1+x 1+t2)(1+t 01+X 九(8分)已知an=1+1=+ 2√n,n=1,2,…,讨论数列{an 的敛散性。 解: 2 < n+1+√n 所以数列{an}单调递减, √3 2√n 5
5 得： 1 1 0 4 3 1 X 八（8 分）设 p 为常数，讨论反常积分 0 2 1 1 1 p dx x x 的敛散性，若收敛，求 该反常积分的值 。 解：因为 3 2 2 1 0 1 1 x lim p x x x 或 2 2 1 1 1 1 1 p x x x ， 所以反常积分 0 2 1 1 1 p dx x x 收敛 。 1 0 1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p dx dx dx x x x x x x 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p dx dt x x t t t 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 4 p p p t dx dt dx arctanx x x t t x 。 九（8 分）已知 1 1 1 1 2 2 3 a n n n ，n 1,2, ，讨论数列 an 的敛散性 。 解： 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 a a n n n n n n n n ， 所以数列 an 单调递减 ， 1 1 1 1 2 2 3 a n n n 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 n n n
2(2-√)+(3-√2)+(4-√3)++(m+-√m-√ 2(m+-√)-2√n=2(Vm+1-√m)-2>-2 所以数列{an}有下界, 数列{an}单调递减且有下界,所以收敛
6 1 1 1 1 2 2 2 1 3 2 4 3 1 n n n 2 2 1 3 2 4 3 1 2 n n n 2 1 1 2 2 1 2 2 n n n n 所以数列 an 有下界 ， 数列 an 单调递减且有下界，所以收敛