复旦大学数学科学学院 2005~2006学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学C 课程代码:218.103.2 开课院系:数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名 学号 专业:医学 题号1 3 5 6 8总分 得分 题号9 10 121314 16 得分 装订线内不要答题 求极限:(2*7%) 1. lim(x"+y )e y→)+∞ 设f(x1)xc0y+ycos=+2csx求d4(0.0.0)。(8%) 1+cosx+cosy+COS2
1 复旦大学数学科学学院 2005～2006 学年第二学期期末考试试卷 一． 求极限 ：（2*7%） 1. ( ) lim ( ) n n x y y x x y e ； 2. n n n n 2 n! lim 。 二． 设 x y z x y y z z x f x y z 1 cos cos cos cos cos cos ( , , ) 求 df(0, 0, 0)。 （8%） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又e-xy=2,e 求 (8%) 四.平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆 x+y=1(x>0,y>0)的圆 周上求一点C,使△ABC面积S、最小。(提示:S=AB×AC)。(8%) 计算=y-x2其中D=(-1≤x≤10≤y≤1(8%)
2 三． 设 u f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又 e xy 2 xy ， x z x dt t t e 0 sin 求： dx du 。 （8%） 四． 平面上两定点 A(1, 3), B(4, 2), 试在椭圆 1 ( 0, 0) 9 4 2 2 x y x y 的圆 周上求一点 C ，使 ABC 面积 S 最小。（提示： S AB AC 2 1 ）。（8%） 五． 计算 D I y x d 2 其中 D 1 x 1, 0 y 1。 （8%）
设一元函数f(x)在[O,1上连续,证明 ”(x-y)=2(xk=,.(x-x2y-(M (8%) 判别级数21+x3x>0的敛散性。(8%) 八 将函数f)=ap1+2展开成x的幂级数,并求>(= 的和。(8%)
3 六． 设一元函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，证明 dy x y f x dx y y n ( ) ( ) 2 1 0 1 0 2 1 ( ) ( ) 1 1 x x f x dx n n 。 （8%） 七． 判别级数 0 1 1 3 x x x n n n 的敛散性。 （8%） 八． 将函数 x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan 展开成 x 的幂级数，并求 0 2 1 ( 1) n n n 的和。 （8%）
若常微分方程y"+qy+by=βe有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定 常数a,b与β的取值,并求出该微分方程的通解。(8% 设函数f(1)在[0,+∞)上具有连续导数,且满足 ()=e"2+J/x+y2)do求f() (8%) 一台电子设备内装有3个某种类型的电子管。已知这种电子管的寿命ξ(单位:小 时)服从如下的指数分布: f(x)= x≤0 如果有一个电子管损坏(即此电子管寿命小于电子管的平均寿命1000小时),设备 仍能正常工作的概率为0.80,若两个及两个以上电子管损坏,则设备不能正常工作。 (各电子管工作相互独立,e-≈037)。 求:(1)电子管损坏的概率 (2)求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率。(2*7%)
4 九． 若常微分方程 x y ay by e 有一个特解为 x x y e (1 x)e 2 ，试确定 常数 a, b 与 的取值，并求出该微分方程的通解。 （8%） 十． 设函数 f (t) 在 [0, ) 上 具 有 连 续 导 数 ， 且 满 足 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 x y t t f t e f x y d 求 f (t) 。 （8%） 十一． 一台电子设备内装有 3 个某种类型的电子管。已知这种电子管的寿命 （单位：小 时）服从如下的指数分布： 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 如果有一个电子管损坏（即此电子管寿命小于电子管的平均寿命 1000 小时），设备 仍能正常工作的概率为 0.80，若两个及两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。 （各电子管工作相互独立， 0.37 1 e ）。 求：（1）电子管损坏的概率。 （2）求这台电子设备在正常工作 1000 小时后仍能正常工作的概率。（2*7%）