复旦大学数学科学学院 2016~2017学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学B(下) 课程代码:MATH120004 1开课院系:数学科学学院 考试形式:闭卷 题号 三四五六 总分 得分 (48分,每小题6分共8小题) 图}1求(xy)=xy=在点(123)处的全微分 数1解d(123)=6(x-1)+3(-2)+2(-3) s2求f(x,y,z) 在点(1-1)处沿着方向(1)的方向导数 解-(-11 3交换二次积分的次序:4ff(xy 解4x+∫C(yM 14计算二重积分 ly-xdx do 解 x2dxdy= dx +d 10(610)6
1 复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 一 （48 分，每小题 6 分,共 8 小题） 1 求 f (x, y,z) xyz 在点 (1,2,3) 处的全微分。 解 df (1,2,3) 6x 13y 2 2z 3 2 求 x yz f x y z 1 1 ( , , ) 在点 (1,1,1) 处沿着方向 1,1,1 的方向导数。 解 ( 1,1,1) 3 1 3 交换二次积分的次序： x x dx f x y dy 1 2 0 ( , ) 解 y y dy f x y dx dy f x y dx 2 0 2 0 1 1 0 , , 2 4 计算二重积分： y x dxdy 0,1 0,1 2 。 解 6 1 10 1 6 1 10 1 1 0 1 2 0 2 1 0,1 0,1 0 2 2 2 x x y x dxdy dx x y dy dx y x dy （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
5求方程x3y”=(v)2+2xy的一个通解。 解令y=p,原方程变为 Bernoulli方程:x2"-2xp=p2。显然若p=0, 则y=C为一个常函数,是方程的一个解。当p≠0时,再令以(x)=p-,则 有一阶线性方程如+2n=-1,该方程有通解()=Cx,其中C为一个 任意常数。于是有 ￠x。得一通解 dr CI 2-C2hC1-x+ 其中C1,C2为独立常数 6求解y”-y= 解y=Ce-+C2e+lxe 7计算积分订(2+xbh,其中D是上半球体x2+y2+2sb,=20 解』∫=adh=」h∫=hh==r-2) 8求幂级数∑;x2的和函数。 n 解令7()=∑1x”,则70)=0.7-h=x-1x≠0 2
2 5 求方程 x y y 2xy 2 2 的一个通解。 解 令 y p ，原方程变为 Bernoulli 方程： 2 2 2xp p dx dp x 。显然若 p 0， 则 y C 为一个常函数，是方程的一个解。当 p 0 时，再令 1 u x p ，则 有一阶线性方程 2 2 1 x u dx x du ，该方程有通解 2 1 x C x u x ，其中 C1 为一个 任意常数。于是有 C x x dx dy 1 2 。得一通解 1 2 2 1 2 1 ln 2 1 y C x x C C x C ， 其中 1 2 C ,C 为独立常数。 6 求解 x y y x 1 e 2 。 解 3 2 1 2 1 2 y C e C e x e x x x x 。 7 计算积分 D z xy dxdydz 3 ，其中 D 是上半球体 1 0 2 2 2 x y z ，z 。 解 12 1 1 0 3 2 1 3 1 0 3 2 2 2 z dxdydz dz z dxdy z z dz D x y z 。 8 求幂级数 1 2 1 1 n n x n 的和函数。 解 令 1 2 1 1 n n x n T x ，则 T0 0。 1, 0 ln 1 2 2 x x x T x
二(11分)设(x,y,-)是抛物面z=1+x2+y2上的任意一点,求这个抛物 面在该点处的切平面与另一个抛物面z=x2+y2所围成的有界立体的体积 解抛物面z=1+x2+y2在(x,yn=0)处的切平面为 =1+2x0xX+2y0y-x0-y 它与抛物面z=x2+y2的交线所围成的区域在Oxy坐标平面上的投影是D: (x-x0)+(y-y)≤1,因此切平面与另一抛物面所围成的立体体积为 ∫+2x+2yy-x2-x2-x-yb=』(-x2-ydb= (11分)设f(x)=x-4,x∈(24)。 1)将f(x)延拓成(,+)上以4为最小周期的周期函数,且是奇函数; 2)给出f(x)的 Fourier展开式 3)证明 neI n 解f(x)的 Fourier展开式为∑ 4(-1)yna n=I n7 再由能量恒等式,有厂(:(,即5-∑ 四(10分)设pq是两个正实数参数,,试讨论幂级数∑。的收敛域 解幂级数的收敛半径为1。P1时,收敛域为[-1小];p<1时,收敛域为 );p=,q1时,收敛域为[-1];p=1,q≤1时,收敛域为[-l)
3 二 （11 分）设 ( , , ) 0 0 0 x y z 是抛物面 2 2 z 1 x y 上的任意一点，求这个抛物 面在该点处的切平面与另一个抛物面 2 2 z x y 所围成的有界立体的体积。 解 抛物面 2 2 z 1 x y 在 ( , , ) 0 0 0 x y z 处的切平面为： 2 0 2 1 2 0 2 0 0 z x x y y x y 。 它与抛物面 2 2 z x y 的交线所围成的区域在 Oxy 坐标平面上的投影是 D： 1 2 0 2 x x0 y y ，因此切平面与另一抛物面所围成的立体体积为： 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 2 2 D x y x x y y x y x y dxdy x y dxdy 。 三 （11 分）设 f (x) x 4，x2,4。 1）将 f (x) 延拓成 -， 上以 4 为最小周期的周期函数，且是奇函数； 2）给出 f (x) 的 Fourier 展开式； 3）证明： 1 2 2 1 6 n n 。 解 f (x) 的 Fourier 展开式为 1 2 sin 4 1 n n n x n 。 再由能量恒等式，有 1 2 2 2 0 2 2 2 2 16 3 8 2 1 n n f x dx x dx ，即 1 2 2 1 6 n n 。 四 （10 分）设 p,q 是两个正实数参数，，试讨论幂级数 2 n ln p q n n n x 的收敛域。 解 幂级数的收敛半径为 1。 p 1 时，收敛域为 1,1 ； p 1 时，收敛域为 -1，1 ； p 1，q 1 时，收敛域为 1,1 ； p 1，q 1 时，收敛域为 -1，1
五(10分)求函数f(x,y)=4x-4y-x2-y2-2在区域Dx2+y2+2≤6上 的最大值和最小值 解区域内部无驻点,故函数的最大值最小值在边界上取到。作辅助函数 L(xy=,x)=4x-4y-6+1(2+y2+2-6),得两驻点P(3-3P(3,3.) 则∫()=8√3-6和∫(2)=-8√3-6分别为函数的最大值和最小值 六(10分)设[,+∞)上的连续函数f()满足下面的方程, f(1)=t°+13+1+ x2+y2+=2kxdyd: 4 x2+y2+-2st2 求f()的一个表达式 Nt f(0=16+/+1+dp de[f()yasin dr= 6+1+1+f()y2dr 对上式求导数,得f()=613+3r2+f(2。∫(o)是下面定解问题的解 d d t t2y=6r3+312,y(0)=1。解之得 f(t)= 312klat=22 6t3-21
4 五 （10 分）求函数 2 2 2 f (x, y) 4x 4y x y z 在区域 D: 6 2 2 2 x y z 上 的最大值和最小值。 解 区域内部无驻点，故函数的最大值最小值在边界上取到。作辅助函数 , , , 4 4 6 6 2 2 2 L x y z x y x y z ，得两驻点 3, 3,0, 3, 3,0 P1 P2 。 则 f P1 8 3 6 和 f P2 8 3 6 分别为函数的最大值和最小值。 六 （10 分）设 0， 上的连续函数 f (t) 满足下面的方程， 2 2 2 2 6 3 2 2 2 4 1 ( ) 1 x y z t f t t t f x y z dxdydz , 求 f (t) 的一个表达式。 解 t t f t t t d d f r r dr t t f r r dr 0 6 3 2 0 2 2 0 0 6 3 sin 1 4 1 ( ) 1 。 对上式求导数，得 5 2 2 f t 6t 3t f t t 。 f (t) 是下面定解问题的解： 6 3 , 0 1 2 5 2 t y t t y dt dy 。解之得 ( ) 1 6 3 22 6 21 3 3 1 0 5 2 3 0 2 0 2 f t e t t e dt e t t dt t t dt t t t
写长兴
5 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
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