复旦大学：《高等数学》课程精选教案_教案（Taylor公式）

教案 元函数的 Taylor公式 教学内容 用简单的函数近似表示较复杂的函数是一种经常使用的数学方法, Taylor公 式提供了用多项式逼近函数的一条途径,是微积分的重要工具之一,也是后继课 程“函数的幂级数展开”一节的基础,它们在理论上和应用中都起着重要的作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 (1)带 Peano余项的 Taylor公式和带 Lagrange余项的 Taylor公式 (2) Maclaurin公式; (3)具体函数的 Taylor展开方法和用 Taylor公式作近似计算的方法。 教学思路和要求 (1) Taylor公式是一元微分学学习中的一个难点,初学者往往对于其“复 杂”形式产生畏惧,因而对这部分的内容只是死记硬背,不能达到深刻领会的效 果。因此要讲清楚这个问题的来龙去脉,使学生能从形式上的公式看清它的本质, 进而提高其领会能力。 (2) Taylor公式与基本初等函数e',snx,cosx,(1+x)“和n1+x)等 的 Taylor公式是本节内容的基础和重点 (3)虽然一些基本初等函数的 Taylor公式是从定义直接推导出来的,但 般来说直接利用定义计算具体函数的 Taylor公式往往很不方便,因此有必要向 学生介绍一些方便而实用的计算方法,提高他们的计算能力 (4)对于具体函数的 Taylor公式的计算到多少阶,学生们往往只能根据 习题要求来做,但在实际应用中,计算一个函数的 Taylor公式到多少阶是要灵活 掌握的。因此有必要在讲 Taylor公式的应用时,在这方面加以适当引导,发挥他 们的主观能动性。 教学安排 问题的引入 我们已经知道,如果∫在x处可微,那末在x邻近就有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0D 这意味着当我们用一次多项式∫(x)+∫'(x)(x-x)近似代替f(x)时,其精确度 对于x-x而言,只达到一阶,即误差为o(μx-xoD。为了提高精确度,必须考虑 用更高次数的多项式作逼近。由于多项式是一类比较简单的函数,借助于近似多 项式研究函数的性态无疑会带来很大的方便。而且,在实际计算中,由于多项式 只涉及加、减、乘三种运算,以它取代复杂的函数作运算也将有效地节约工作量。 二.问题的探索 我们的讨论从下面的问题开始:设函数∫在x处n阶可微,试找出一个关于 x-x0的n次多项式, ao+a1(x-x0)+……+an(x-x0)

1 教 案 一元函数的 Taylor 公式 教学内容 用简单的函数近似表示较复杂的函数是一种经常使用的数学方法，Taylor 公 式提供了用多项式逼近函数的一条途径，是微积分的重要工具之一，也是后继课 程“函数的幂级数展开”一节的基础，它们在理论上和应用中都起着重要的作用。 在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 带 Peano 余项的 Taylor 公式和带 Lagrange 余项的 Taylor 公式； （2） Maclaurin 公式； （3） 具体函数的 Taylor 展开方法和用 Taylor 公式作近似计算的方法。 教学思路和要求 （1） Taylor 公式是一元微分学学习中的一个难点，初学者往往对于其“复 杂”形式产生畏惧，因而对这部分的内容只是死记硬背，不能达到深刻领会的效 果。因此要讲清楚这个问题的来龙去脉，使学生能从形式上的公式看清它的本质， 进而提高其领会能力。 （2） Taylor 公式与基本初等函数 x e ，sin x ，cos x，  (1 x) 和 ln(1 x) 等 的 Taylor 公式是本节内容的基础和重点。 （3） 虽然一些基本初等函数的 Taylor 公式是从定义直接推导出来的，但 一般来说直接利用定义计算具体函数的 Taylor 公式往往很不方便，因此有必要向 学生介绍一些方便而实用的计算方法，提高他们的计算能力。 （4） 对于具体函数的 Taylor 公式的计算到多少阶，学生们往往只能根据 习题要求来做，但在实际应用中，计算一个函数的 Taylor 公式到多少阶是要灵活 掌握的。因此有必要在讲 Taylor 公式的应用时，在这方面加以适当引导，发挥他 们的主观能动性。 教学安排 一．问题的引入 我们已经知道，如果 f 在 0 x 处可微，那末在 0 x 邻近就有 f (x) = ( ) 0 f x + f  ( 0 x ) (x  x0 )  o(|x- 0 x |)。 这意味着当我们用一次多项式 ( ) 0 f x + f  ( 0 x ) ( ) 0 x  x 近似代替 f (x) 时，其精确度 对于 0 x  x 而言，只达到一阶，即误差为 o(|x- 0 x |)。为了提高精确度，必须考虑 用更高次数的多项式作逼近。由于多项式是一类比较简单的函数，借助于近似多 项式研究函数的性态无疑会带来很大的方便。而且，在实际计算中，由于多项式 只涉及加、减、乘三种运算，以它取代复杂的函数作运算也将有效地节约工作量。 二．问题的探索 我们的讨论从下面的问题开始：设函数 f 在 0 x 处 n 阶可微，试找出一个关于 0 x  x 的 n 次多项式， n n a a (x x ) a (x x ) 0  1  0   0

使这个多项式与∫之差是比(x-x0)”高阶的无穷小。 首先,如果成立着 (*) f(x)=∑a(x-x0)+o(x-x0)”), 我们来讨论一下多项式各项的系数a1与∫的关系 在(*)式两边令x→x,利用∫在x0的连续性,得 f(x0) 把a代入(*)式,移项后得 ∑a(x-x0)-+o(x-x)y-) 在上式两边再令x→x0,由f(x0)的定义可得 把a,a1代入(*)式,移项后得 f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0) a,( (x-x0)2 在上式两边令x→x0,右边的极限为a2,左边的极限为 lim f(x)-f(xo)-f'(xo)(x-xo) (x-x0) f(x)-f(xo) f"(x0) (x-x) 因此,a2=2(x)依此类推,可得 (x0)k=0,12 其中,记fO(x)=f(x)。 三.定理的叙述和证明 定理1(带 Peano余项的 Taylor公式)设函数∫在x0处有n阶导数,则 f(x)=∑(xXx-x)y+o(x-x)”) 证记R(x)=f(x)-∑f(x0)(x-x),则有 R(x0)=R(x0)=R"(x) R 反复应用 L'Hospital法则,可得 RO R(x (x-x0)”xn(x-x0) = lim R"( x→0n(n-1)(x-x0) R lim n(x)-R(=1(x0) 0

2 使这个多项式与 f 之差是比 n (x x )  0 高阶的无穷小。 首先，如果成立着 （*） ( ) ( ) (( ) ) 0 0 0 n n i i i f x  a x  x  o x  x  ， 我们来讨论一下多项式各项的系数 i a 与 f 的关系。 在（*）式两边令 0 x  x ，利用 f 在 0 x 的连续性，得 ( ) 0 0 a  f x 。 把 0 a 代入（*）式，移项后得 0 0 ( ) ( ) x x f x f x   ( ) (( ) ) 1 0 1 1 0         n n i i i a x x o x x ， 在上式两边再令 0 x  x ，由 f  ( 0 x )的定义可得 0 1 f (x )  a 。 把 0 a ， 1 a 代入（*）式，移项后得 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x x x      = ( ) (( ) ) 2 0 2 2 0        n n i i i a x x o x x ， 在上式两边令 0 x  x ，右边的极限为 a2 ，左边的极限为 0 lim xx 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x x x      = 0 lim xx 2( ) ( ) ( ) 0 0 x x f x f x     = 2 1 ( ) 0 f  x 。 因此， 2 a = 2 1 ( ) 0 f  x 。依此类推，可得 ( ), ! 1 0 ( ) f x k a k k  k  0,1,2 ,n, 其中，记 ( ) ( ) (0) f x  f x 。 三．定理的叙述和证明 定理 1（带 Peano 余项的 Taylor 公式） 设函数 f 在 0 x 处有 n 阶导数，则 f (x)  f x x x o i n i i i    0 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ( n (x x )  0 )。 证 记 R(x)  f (x)    n i i i f x x x i 0 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ，则有 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0  R x0  R x0   R x   n 。 反复应用 L’Hospital 法则，可得 0 lim xx n x x R x ( ) ( )  0 = 0 lim xx 1 0 ( ) ( )    n n x x R x = 0 lim xx 2 0 ( 1)( ) ( )     n n n x x R x = „„ = 0 lim xx !( ) ( ) 0 ( 1) n x x R x n   = ! 1 n 0 lim xx 0 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) x x R x R x n n    

R (xn)=0 Ro 因此,Rx)=o(x-x0) 定理2(带 Lagrange余项的 Taylor公式)设函数∫在点x的某邻域内n+1 阶可微,则在此邻域内成立 f(x)=∑:/(xx-x)+ f(m)(x0+O(x-x0)x-x0) (n+1) 其中0<b 证记R(x)=f()-S1r(xn)(x-x),则有 R(x0)=R(x0) 利用 Cauchy中值定理,可得 R(x) R(x)-R(xo) R(51) (x-x0)(x-x0)(n+1)(51-x0) 其中51介于x与x之间,从而 R(x)R(51)-R(x0) R"(2) (x-x0)(n+1)(51-x0)(n+1)m(2-x0) 其中52介于x0与51之间,从而介于x与x之间。依此类推,即得 R(x)R(n+(2)_fm+() (x-x0)(n+1)!(n+1) 其中ξ介于x与x之间。记5=x0+(x-x0),必有0<<1。这样 (n+)(x R(x) 6(x-x0)) X-x (n+1) 四.两点讨论 (1)带 Lagrange余项的 Taylor公式是 Lagrange中值定理的推广。 (2)如果函数∫的n+1阶导数在(a,b)中有界:|f(x)M, x∈(a,b),x∈(a,b)那末,在(a,b)中有如下的余项估计 R(x)、M (n+1)! 五.定理的一个常用形式: Maclaurin公式 如果x0=0,那末带有以上两种余项形式的Tayo公式又称为 Maclaurin公式, 此即 f(x)=f(0)+f(Ox+…+y"0 +o(x") 和 f(x)=f(0)+f(O)x+…+ f("(0)n,f(at) (0<b<1)。 由此得到近似公式:

3 = ! 1 n ( 0 ) 0 ( ) R x  n 。 因此， R(x)    n o (x x )  0 。 定理 2（带 Lagrange 余项的 Taylor 公式） 设函数 f 在点 0 x 的某邻域内 n 1 阶可微，则在此邻域内成立 f (x)  1 0 0 0 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ( ))( ) ( 1)! 1 ( )( ) ! 1           n n n i i i f x x x x x n f x x x i  ， 其中 0   1。 证 记 R(x)  f (x)    n i i i f x x x i 0 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ,则有 ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0  R x0   R x   n ， ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n  . 利用 Cauchy 中值定理，可得 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       n n x x R x R x x x R x = n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1      ， 其中 1  介于 0 x 与 x 之间，从而 n n n x R R x x x R x ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0           = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( )     n n n x R   ， 其中  2 介于 0 x 与 1  之间，从而介于 0 x 与 x 之间。依此类推，即得 1 0 ( ) ( )   n x x R x = ( 1)! ( ) ( 1)   n R n  = ( 1)! ( ) ( 1)   n f n  ， 其中  介于 0 x 与 x 之间。记 ( ) 0 0   x  x  x ，必有 0   1 。这样 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ( )) ( )        n n x x n f x x x R x  。 四．两点讨论 （1） 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式是 Lagrange 中值定理的推广。 （2） 如果函数 f 的 n 1 阶 导 数 在 (a,b) 中有界： f x M n   | ( ) | ( 1) , x(a,b) , 0 x (a,b) 那末，在 (a,b) 中有如下的余项估计： | R(x)| 1 0 | | ( 1)!    n x x n M 。 五．定理的一个常用形式：Maclaurin 公式 如果 0 x = 0，那末带有以上两种余项形式的 Taylor 公式又称为 Maclaurin 公式， 此即 f (x)  f (0)  f (0)x  ( ) ! (0) ( ) n n n x o x n f  和 f (x)  f (0)  f (0)x  n n x n f ! (0) ( ) + 1 ( 1) ( 1)! ( )    n n x n f x （ 0   1 ）。 由此得到近似公式：

(x)=f(0)+r(ox+…+"0 六.具体函数的 Taylor公式及其应用 (1)根据定义求e,sinx,cosx,(1+x)"和血(1+x)的 Taylor公式。 x x 0(x"); l!2 2n-I sinx=x-+--…+(-1)-1 (2n-1)! o(x") 2!4 (2m)! a(a-1)…(a-n+1) + x +o(x"); 2l ! In(1+x) (-1)+o(x") (2)利用上述公式求简单的初等函数 Taylor公式。 例1求f(x)=Ⅵ1-3x+x2的带 Peano余项的3阶 Maclaurin近似。 解/1 3(3-人3 (x2-3x)3+o(x3) x3+o(x3) 例2把函数h5x在x=0处展开至x的项。 解利用 +o(x3) 35!7 l In(1+u)=u +o(u 3) 得到 SIn x xx x =hn1+( 3!5!7 +o(x3) +o(x +0(x 61802835

4 f (x)  f (0)  f (0)x  n n x n f ! (0) ( ) 。 六．具体函数的 Taylor 公式及其应用 （1）根据定义求 x e ，sin x ，cos x，  (1 x) 和 ln(1 x) 的 Taylor 公式。 ( ); 1! 2! ! 1 2 n n x o x n x x x e      ( ); (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 1 1 3 5 n n n o x n x x x x x            ( ); (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 1 2 4 2         n n n o x n x x x x  ( ); ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n x o x n n x x x                     ( 1) ( ) 2 3 4 ln(1 ) 1 2 3 4 n n n o x n x x x x  x  x          。 （2）利用上述公式求简单的初等函数 Taylor 公式。 例 1 求 3 2 f (x)  13x  x 的带 Peano 余项的 3 阶 Maclaurin 近似。 解 3 2 1 3x  x = 3 1 2 1 (x  3x) = ( 3 ) ( ) 3! 2 3 1 1 3 1 3 1 ( 3 ) 2! 1 3 1 3 1 ( 3 ) 3 1 1 2 2 2 2 3 3 x x x x x  x  o x                           = 1- ( ) 3 2 2 3 3 x  x  x  o x 。 例 2 把函数 x sin x ln 在 0 x = 0 处展开至 6 x 的项。 解 利用 ( ), 3! 5! 7! sin 8 3 5 7 o x x x x x  x     ( ), 2 3 ln(1 ) 3 2 3 o u u u  u  u    得到 x sin x ln = ( ))] 3! 5! 7! ln[1 ( 7 2 4 6 o x x x x      = 2 5 2 4 7 2 4 6 ( ) 2 3! 5! 1 ( ) 3! 5! 7!                         o x x x o x x x x + ( ) ( ) 3 3! 1 6 3 3 2 o x o x x            = ( ) 6 180 2835 6 2 4 6 o x x x x    

(3)利用 Taylor公式计算极限 例3求 m cosx-e 解这是个待定型的极限问题。如果用 L'Hospital法则,则分子分母需 要求导4次 lim x2 -sinx+x e li 4x3 (仍为一型) lim cosx +e -x e (仍为一型) 12 x2 x-3xe 2+xe li (仍为型) 24 cosx-3e 2+6xe x e 但若采用 Taylor公式,则 cosx-e lin xx 2 x +o(x 12 计算过程就简洁得多了 (4)利用 Taylor公式作近似估计和计算 例4在区间0,上用一个四次多项式作为函数 +x的近似,并估计误 差 解对(1+x)3写出其三阶 Maclaurin公式:

5 （3）利用 Taylor 公式计算极限 例 3 求 lim cos e x x x  x   0 2 4 2 。 解 这是个 0 0 待定型的极限问题。如果用 L'Hospital 法则，则分子分母需 要求导 4 次， lim cos e x x x  x   0 2 4 2      lim sin e x x x x 0 x 2 3 2 4 （仍为 0 0 型）        lim cos e e x x x x x 0 x 2 2 2 2 2 2 12 （仍为 0 0 型）       lim sin e e x x x x x x 0 x 2 3 2 3 24 2 2 （仍为 0 0 型）           lim cos e e e x x x x x x x 0 2 2 2 4 2 3 6 24 1 12 2 2 2 。 但若采用 Taylor 公式，则 . 12 1 ( ) 12 1 lim ( ) 2! 2 1 2 ( ) 1 2! 4! 1 lim cos e lim 4 4 4 0 4 4 2 2 2 4 2 4 0 4 2 0 2                                                   x x o x x o x x x o x x x x x x x x x 计算过程就简洁得多了。 （4）利用 Taylor 公式作近似估计和计算 例 4 在区间       2 1 0, 上用一个四次多项式作为函数 3 1 x x  的近似，并估计误 差。 解 对 3 1 (1 )   x 写出其三阶 Maclaurin 公式：

33+R(x) 其中R(x)= 1.4·7.10 0<5<。由此可得 14 0, 81 其误差可估计为 xR, (x) 10x 4·7.10 ≈0.0045。 434(2)6 注意,若在0,0运用上述四阶 Maclaurin公式,则其误差可估计为 4710(1 (12)35-0.00014 例5求√37的近似值,要求精确到小数点后第五位 解√37=√36+1=61+。如果用(+x)2的2阶 Maclaurin公式 (1+x) 来计算,其误差不会超过 0.5×10 它保证了小数点后面的5位有效数字。因此 6.08275。 36836 七.习题 1.(1),(2) 6. 8.(提示:将型不定式中分子与分母按 Taylor公式展开至适当阶数。)

6 3 1 (1 )   x = 2 2 2!3 1 4 3 1 1 x x    - 3 3!3 1 4  7 ( ) 3 3 x  R x ， 其中 1 3/ 3 4 3 4 4!3 (1 ) 1 4 7 10 ( )      x R x ， 2 1 0    。由此可得 2 3 4 3 81 14 9 2 3 1 1 x x x x x x      ，        2 1 x 0, ， 其误差可估计为       4 13 / 3 5 3 4!3 (1 ) 1 4 7 10 ( )  x xR x 0.0045 6 35 2 1 4!3 4 7 10 5 5 4           。 注意，若在       4 1 0, 运用上述四阶 Maclaurin 公式，则其误差可估计为 xR3 (x)  0.00014 (12) 35 4 1 4!3 4 7 10 5 5 4           。 例 5 求 37 的近似值，要求精确到小数点后第五位。 解 37 = 2 1 36 1 36 1 6 1          。如果用 2 1 (1 x) 的 2 阶 Maclaurin 公式 2 1 (1 x) = 2 3 5 2 (1 ) 16 1 8 1 2 1 1 x x x x      来计算，其误差不会超过 5 3 0.5 10 36 1 16 1 6      。 它保证了小数点后面的 5 位有效数字。因此            2 36 1 8 1 36 1 2 1 37 6 1  6.08275 。 七．习 题 1．（1），（2） 2．（2），（4） 3． 6． 8．（提示：将 0 0 型不定式中分子与分母按 Taylor 公式展开至适当阶数。）