复旦大学：《高等数学》课程精选教案_随机变量的数字特征.pdf_大学文库

教案随机变量的数字特征教学内容随机变量的分布函数全面地反映了随机变量的统计规律，利用分布函数可以很方便地计算各种事件的概率。但在实际应用中，常常并不需要全面了解随机变量的变化情况，只需要知道一些能反映随机变量的特征的指标就能解决问题，这些指标便是数字特征。本节主要讲解以下内容：（1）数学期望、方差、协方差和相关系数等概念和计算方法；（2）随机变量的函数的数学期望的计算方法；（3）一些常见分布的数字特征的计算。教学思路与要求（1）结合实际背景引出数学期望的概念，指出数学期望的性质，并结合实际例子讲解其计算方法，并进一步给出随机变量的函数的数学期望的计算方法；（2）结合实际背景引出方差与标准差的概念，指出方差的性质，并结合实际例子讲解其计算方法；（3）对几种常见分布计算它们的数学期望和方差；（4）结合实际背景引出协方差与相关系数的概念，指出它们的性质，并结合实际例子讲解其计算方法。（5）对于正态分布的数字特征，其重要性与常见性众所周知，计算也相对复杂，更需加以详细讲解。教学安排一．数学期望我们先看一个例子。检验员每天从生产线取出 n 件产品进行检验。记  为每天检验出的次品数。若检验员检查了 N 天，记这 N 天出现 0,1,  ,n 件次品的天数分别为 n x , x , , x 0 1  ，则 x0  x1  xn  N ，且 N 天出现的总次品数为         n k n k x x n x kx 0 0 0 1 1  。因此 N 天中平均每天出现的次品数为       n k k n k k N x k N kx 0 0 。注意 N xk 就是 N 天中每天出现 k 件次品的频率，即 {  k} 的频率。若记 k p 为每天出现 k 件次品的概率，即 P(  k) ，则由概率的统计意义，当 N 充分大时， N xk 会在 k p 附近摆动（ k  0,1,  ,n ），所以   n k k N x k 0 就会在   n k pk k 0 附近摆动。因此从

统计意义上可以认为，   n k pk k 0 就是平均每天出现的次品数。以此为背景，我们引入下面的定义。定义 11.5.1 设离散型随机变量  的可能取值为 x1 , x2 ,  , xn ,  ，且  取相应值的概率依次为 1 2 p , p , , pn ,  。若级数   i1 i pi x 绝对收敛，则称该级数的和为随机变量  的数学期望，简称期望，记为 E ，即 E     i 1 i pi x 。此时也称  的数学期望存在。若级数   1 | | i i pi x 发散，则称  的数学期望不存在。由数学期望的定义知，数学期望实质上是以概率为权的加权平均值，因此也常称为均值。我们在定义中需要级数绝对收敛，是因为数学期望应该与对随机变量取值的人为排序无关。只有当级数是绝对收敛时，才能保证收敛级数的和与求和次序无关。对于连续型随机变量  ，也应有数学期望的概念。如何得到呢？先做一个近似分析。设  的概率密度为 (x) （假设 x) 连续），在实轴上插入分点 n x  x  x 0 1 ，则  落在 [ , ] i i1 x x 中的概率为（记 i i i x  x  x 1 ） i i x x i i P x x x dx x x i i         ( [ , ]) ( ) ) 1  1   （ i  0,1,  ,n 1 ）。这时，如下分布的离散型随机变量  ~ 就可以看作  的一种近似  ~ 0 x 1 x … n x P 0 0 (x )x 1 1 (x )x … n n (x )x 其数学期望为     n i i i i E x x x 0 ) ~   ，它近似地可看作  的平均值。可以想象，当分点在实轴上越来越密时，上述和式就会以 x(x)dx    为极限。由此为背景，我们给出下面的定义。定义 11.5.2 设  是连续型随机变量，其概率密度为 (x) 。若 | x |(x)dx    收敛，则称 x(x)dx    的值为随机变量  的数学期望，简称期望，记为 E ，即 E x(x)dx     。此时也称  的数学期望存在。若 | x |(x)dx    发散，则称  的数学期望不存在。例 11.5.1 已知一箱中有产品 100 个，其中 10 个次品，90 个正品。从中任取 5 个，求这 5 个产品中次品数的期望值。解设  为任意取出 5 个产品中的次品数，则  可取值 0、1、2、3、4、5

            n i i n i E i E 1 1   。例 11.5.3 假设机场送客班车每次开出时有 20 名乘客，沿途有 10 个下客站。若到站时无乘客下车，则班车不停。假设每位乘客在各车站下车的机会是等可能的，且是否下车互不影响，求每班次停车的平均数。解用  表示班车的停车数。记     0, , 1, , 在第个车站无乘客下车在第个车站有乘客下车 i i  i i 1,2,  ,10, 则   1   2   10 。由于每位乘客在各车站下车的机会是等可能的，所以每个乘客在每站下车的概率为 0.1 ，不下车的概率为 0.9 。而乘客是否下车是相互独立的，20 位乘客在第 i 站都不下车的概率就是 20 0.9 ，即 20 P( i  0)  0.9 ，所以 20 P( i 1) 1 0.9 。因此 2 0 2 0 2 0 E( i )  00.9 1(1 0.9 ) 1 0.9 ，i 1,2,  ,10。于是每班次停车的平均数，即  的数学期望为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 (1 0.9 ) 8.78 2 0 E   E  1  2  1 0  E  1  E  2  E  1 0     。二．随机变量的函数的数学期望对于一维随机变量的函数的数学期望，有以下的计算方法：定理 11.5.1 设  是随机变量， f 是一元连续函数或单调函数。（1）若  是离散型随机变量，其概率函数为 i pi P(  x )  （ i 1,2,  ），则当   1 | ( ) | i i pi f x 收敛时，随机变量   f () 的数学期望存在，且      1 ( ) ( ) i i pi E Ef  f x ；（2）若  是连续型随机变量，其概率密度为 (x) ，则当 f x x dx    | ( ) |( ) 收敛时，随机变量   f () 的数学期望存在，且    E  Ef ()  f (x)(x)dx 。此定理的证明从略。例 11.5.4 设随机变量  服从参数为 0.5 的 Poisson 分布，求     1 1 的数学期望 E 。解因为  服从参数为 0.5 的 Poisson 分布，所以 0.5 ! (0.5) ( )    e k P k k  ，k  0,1,2, 

由定理 11.5.1 得 . 1 ( 1) 2 1 2 1 ! (0.5) 0.5 1 ( 1)! (0.5) 0.5 1 ! (0.5) 1 1 1 1 0.5 0 0.5 0 1 0.5 0.5 0                                                  e e n e e k e e k k E E n n k k k  k  例 11.5.5 设随机变量  的概率密度为        0, 0. , 0, ( ) x e x x x  求   2  e 的数学期望 E 。解由定理 11.5.1 得      E  E e  e x dx x ( ) ( ) 2 2    3 1 0 3 0 2           e e dx e dx x x x 。三．方差和标准差在实际问题中，仅凭随机变量的数学期望（或平均值）常常并不能完全解决问题，还要考察随机变量的取值与其数学期望的之间的离散程度。例如，考察两个射击运动员的水平，自然会看他们的平均成绩，平均成绩好的，当然水平高些。但如果两个运动员的平均成绩相差无几，就要进一步看他们的成绩稳定性，即各次射击成绩与平均成绩的离散程度，离散程度越小，成绩越稳定。抽象地说就是，对于一个随机变量  ，我们不但要考察其数学期望 E ，还要考察   E 。我们称   E 为随机变量  的离差。显然，离差的数学期望为 0，即 E(  E)  0。因此，考虑离差的数学期望不能解决任何问题。我们自然会想到，这是由于   E 的符号变化造成的。为了消除符号变化的影响，若使用 E |   E | ，却带来不便于计算的困难，因此在实际应用中常使用的是 2 E(  E) ，它易计算、实用且有效。定义 11.5.3 设  是随机变量，若 2 E(  E) 存在，则称它为  的方差，记为 D 。即 2 D  E(  E) 。显然 D  0 。由定理 11.5.1 可知，关于方差有以下的计算公式：（1）若  是离散型随机变量，其分布律为 i pi P(  x )  （ i 1,2,  ），则 i i D  xi E p     1 2  ( ) 。（2）若  是连续型随机变量，其概率密度为 (x) ，则 D x E x dx     (  ) ( ) 2    。注意在实际应用中， D 与随机变量  的量纲并不一致，为了保持量纲的一致性，常考虑 D 的算术平方根，它称为  的均方差或标准差，记为   或  ，即    D

均方差的量纲与随机变量  的量纲是一致的。可以证明随机变量的方差如下性质（假设以下涉及到的方差均存在）： (1) 设 c 是常数，则 D(c)  0 ；反之，若随机变量  满足 D  0 ，则 P(  E) 1。 (2) 设  是随机变量， k 是常数，则 ( ) ( ) 2 D k  k D  。 (3) 设  是随机变量， c 是常数，则 D(  c)  D()。 (4) 若  和  为相互独立的随机变量，则 D( )  D  D 。因此，用归纳法可以得出，若随机变量    n , , , 1 2  相互独立，则            n i i n i D i D 1 1   。注意，若  和  为相互独立的随机变量时，它们的差的方差为 D    D      D  D    D   D  D  D 2 ( ) [ ( 1) ] [( 1) ] ( 1) 。在实际计算方差时，常常用到下面的公式： 2 2 D  E( )  (E) 。事实上， ( ) ( 2 ( ) ) 2 2 2 D  E   E  E   E  E 2 2 2 2  E( )  2E  E  (E)  E( )  (E) 。例 11.5.6 设随机变量  服从参数为 1 的指数分布，随机变量           1, 1, 0, 1, 1, 1,     求 E 和 D 。解因为  服从参数为 1 的指数分布，则  的概率密度为        0, 0. , 0, ( ) x e x x x  所以 1 1 0 ( 1) ( 1) 1           P P e dx e x   ， P(  0)  P( 1)  0 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 (1 )   P    P     P      e  e 。于是 ( 1) ( 1) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 1 1               E P  P  P  e 。又因为 ( ) ( 1) ( 1) 0 ( 0) 1 ( 1) 1 2 2 2 2 E     P      P     P    ，所以 ( ) ( ) 1 (2 1) 4( ) 2 2 1 2 1 2 D  E   E   e   e  e 。例 11.5.7 设随机变量  服从        2 1 , 2 1 上的均匀分布，函数       0, 0. ln , 0, ( ) x x x f x

求   f () 的数学期望与方差。解由于  服从        2 1 , 2 1 上的均匀分布，所以其概率密度为          0, . , 2 1 2 1 1, ( ) 其他 x  x 因此   (1 ln 2). 2 1 ln ln 1 [ ( )] ( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 1 0 0              xdx x x dx E E f  f x  x dx 以及 (ln 2) ln 2 1. 2 1 (ln ) [ (ln ) ] 2 ln ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 0 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 1 2 1              x dx x x xdx E  E f  f x  x dx 因此 4 3 ln 2 2 1 (ln 2) 4 1 ( ) ( ) 2 2 2 D  E   E    。四．几种常见分布的数学期望和方差。（一）0-1 分布设随机变量  服从 0-1 分布，且概率函数为 k k P k p p     1 ( ) (1 ) ， k  0, 1。由定义 E  0(1 p) 1 p  p 。且由定理 11.5.1 知 E    p   p  p 2 2 2 ( ) 0 (1 ) 1 。于是 ( ) ( ) (1 ) 2 2 2 D  E   E  p  p  p  p 。这说明，若  服从参数 p 的 0-1 分布，则 E  p ， D  p(1 p)。（二）二项分布设随机变量  服从参数为 n, p 的二项分布，即  ~ B(n, p) 。首先说明服从二项分布的随机变量  可以看作是 n 个相互独立的 0 1 分布的随机变量的和。事实上，设在某个试验中事件 A 发生或着不发生，且 A 发生的概率为 p ，将这个实验独立地重复 n 次，构成一个 n 重 Bernoulli 试验。随机变量  就可以看作这个 n 重 Bernoulli 试验中事件 A 出现的次数，因此它服从二项分布 B(n, p) 。设随机变量 i  （ i 1,2,  ,n ）为     0, , 1, , 第次试验不发生第次试验发生 i A i A  i 则 i  服从参数 p 的 0 1 分布，且    n , , , 1 2  相互独立。因此   n i i 1   ，即  是 n 个相互独立的 0 1 分布的随机变量的和