§8函数方程的近似求解 、数值方法 求方程的解主要方法有两种 解析方法和数值方法。 数值方法是一种求近似解的方法。是设法构造 个可实际计算的过程,并通过运行这个过程产生 方程的精确解的一系列近似值。这些近似值(精 度较高)理论上将收敛(在一定的条件下)于方 程的精确解,称其为数值解或近似解。 数值方法是用数学工具解决实际问题过程中 的一个重要过程
1 §8 函数方程的近似求解 一、数值方法 1、求方程的解主要方法有两种： 解析方法和数值方法。 数值方法是一种求近似解的方法。是设法构造一 个可实际计算的过程，并通过运行这个过程产生 方程的精确解的一系列近似值。这些近似值（精 度较高）理论上将收敛（在一定的条件下）于方 程的精确解，称其为数值解或近似解。 数值方法是用数学工具解决实际问题过程中 的一个重要过程
2、迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。 f(x)=0化为等价形式x=F(x) 即x是方程∫(x)=0的解,则成立 x=F(x), 反之亦然。F(x)称为迭代函数。 取初始值x,按 k+1=F(xk)k=0,1 产生序列{xk}(设每个xk都属于F(x)的定义域), 上述的计算过程称为迭代
2 2、迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。 f x( ) 0 化为等价形式 x F x ( ) 即 x 是方程 f (x) = 0 的解，则成立 x F x( ) , 反之亦然。 F (x) 称为迭代函数。 取初始值 x0 ，按 1 ( ) 0,1, 2, k k x F x k 产生序列 {xk }（设每个 xk 都属于 F (x) 的定义域）， 上述的计算过程称为迭代
3、 Newton迭代法 求函数方程∫(x)=0的解: 是求曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标x, 若曲线在x=xk处的切线方程为个y=) y-f(k=f(x(x-xR 与x轴的交点的横坐标为 f(xk) +1 k+1-kk-1 即 Newton迭代法实质上是通过一系列的切线 与x轴的交点的横坐标,来逼近曲线与x轴的三 交点的横坐标,所以又称为 Newton切线法。 3
3 3、Newton 迭代法 求函数方程 f (x) = 0 的解： 是求曲线 y = f (x) 与 x 轴的交点的横坐标 xk ， 若曲线在 x = xk 处的切线方程为 ( ) ( )( ) k k k y f x f x x x 与 x 轴的交点的横坐标为 ( ) ( ) k k k f x x x f x k 1 x x y 0 y = f (x) x * xk+1 xk xk-1 即 Newton 迭代法实质上是通过一系列的切线 与 x 轴的交点的横坐标，来逼近曲线与 x 轴的 交点的横坐标，所以又称为 Newton 切线法
定理:设f(x)在a,b中有二阶连续导数,且满足 (1)f(x)∫(b0 的点,则以x为初值的 Newton迭代过程 ∫(x) k+1=k k=0,1,2, 产生序列{xk}单调收敛于方程∫(x)=0在{a,b 中的唯一解
4 定理：设 f (x) 在 [a, b] 中有二阶连续导数，且满足 (1) f (x) · f (b) < 0 ; (2) f x ( ) 在(a, b) 保号 ; (3) f x ( ) 在(a, b) 保号 ; 又设x0 是 a 和 b 中满足 0 0 f x f x ( ) ( ) 0 的点，则以 x0 为初值的 Newton 迭代过程 1 ( ) 0,1, 2, ( ) k k k k f x x x k f x 产生序列 {xk }单调收敛于方程 f (x) = 0 在 [a, b] 中的唯一解
例:解方程Ix=sinx 解:记f(x)=nx-sinx,考虑区间[,el, 则有∫6|=ln3-sin40, 2 2 而∫(x) 元 C0sx>0x∈[,引, 元 cte+sinx> sine 2>0x∈[,el, 元 2 所以符合定理的全部条件; 因为f(e)"(e)>0 所以初值取为x0=e,利用 +1 f(x)k=0,1,2 f(xk)
5 例：解方程 ln sin . x x 解：记 f x x x ( ) ln sin ，考虑区间 [ , ] ， 2 e 则有 ln sin 0 , 2 2 2 f f e e e ( ) ln sin 0 , 而 1 ( ) cos 0 [ , ] , 2 f x x x e x 2 1 f x x ( ) sin x 2 4 sin 0 [ , ] , 2 e x e 所以符合定理的全部条件； 因为 f e f e ( ) ( ) 0 , 所以初值取为 x0 = e , 利用 1 ( ) 0,1, 2, ( ) k k k k f x x x k f x
计算结果如下: k Jxk-x k1234 2.25781562063662289 3.87×102 2.21951249017300478 4.05×10-4 2.21910719517387323 4.63×108 2.21910714891374683 888×1016 取￡=x1=221910714891374683作为方程∫(x)=0 的x*的近似解
6 计算结果如下： k xk | xk – x * | 1 2 3 4 2.257 815 620 636 622 89 2.219 512 490 173 004 78 2.219 107 195 173 873 23 2.219 107 148 913 746 83 3.87 ×10-2 4.05 ×10-4 4.63 ×10-8 8.88 ×10-16 4 取 x x 2.219 107 148 913 746 83 作为方程 f (x) = 0 的 x 的近似解
说明: l、 Newton迭代法是求解函数方程最基本和最重要的 方程之一,它可推广到若干个方程构成的方程组的求 解上去,在理论研究上有着重要的意义。同时,在实 际求解方程中,它常常又是首选的方程。由于迭代函 数比较简单,除了一些导函数特别复杂的情况外,每 做一步迭代所化的运算量是比较小的,当初值选得好 时收敛速度相当快,编程也比较容易。 2、当函数f(x)的导函数不太容易计算时,可以用 f(x)-几(xk近似代替∫"(x), k k-1 这时的迭代公式为
7 1、Newton 迭代法是求解函数方程最基本和最重要的 方程之一，它可推广到若干个方程构成的方程组的求 解上去，在理论研究上有着重要的意义。同时，在实 际求解方程中，它常常又是首选的方程。由于迭代函 数比较简单，除了一些导函数特别复杂的情况外，每 做一步迭代所化的运算量是比较小的，当初值选得好 时收敛速度相当快，编程也比较容易。 说明： 2、当函数 f (x) 的导函数不太容易计算时，可以用 1 1 ( ) ( ) k k k k f x f x x x 近似代替 ( ) , k f x 这时的迭代公式为
取初值x0,x, k k-1 k+1 xr-f(xR)f(xx)- f(x1) 其几何意义是用过(xk1,f(xk-1)和(xk,f(x)的 割线代替过(xk,f(x)切线,将这条割线与x轴的 交点的横坐标作为新的近似值xk1,这种方法叫 割线法或弦割法。 J y=f(r) k+1k北k-1
8 0 1 1 1 1 , , ( ) , 1, 2, ( ) ( ) k k k k k k k x x x x x x f x k f x f x 取初值 其几何意义是用过 ( xk-1 , f (xk-1 )) 和 ( xk , f (xk )) 的 割线代替过( xk , f (xk )) 切线，将这条割线与 x 轴的 交点的横坐标作为新的近似值 xk+1 , 这种方法叫 割线法或弦割法。 x y 0 y = f (x) x * xk+1 xk xk-1