§3曲面、曲线和二次曲面 曲面 在空间解析几何中,任何曲面∑都可看作点 P(x,y,a)的几何轨迹。在这样的意义下,如果曲面 ∑与方程F(x,y,z)=0有下述关系: 1)曲面Σ上任一点的坐标(x,y,z)都满足方程, F(x,y,x)=0; 2)不在曲面∑上点的坐标都不满足方程, 则称F(x,y,z)=0为曲面∑的曲面方程
1 一、曲面 在空间解析几何中，任何曲面 都可看作点 P(x, y, z) 的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面 与方程 F (x, y, z) = 0 有下述关系： F x y z ( , , ) 0 ; 1）曲面 上任一点的坐标 (x, y, z) 都满足方程， 2）不在曲面 上点的坐标 都不满足方程， 则称 F (x, y, z) = 0 为曲面 的曲面方程。 §3 曲面、曲线和二次曲面
空间曲面的研究有两个基本问题 1)已知曲面上点的轨迹变化规律,求相应的轨迹 方程(曲面方程) 2)已知方程F(x,y,z)=0,求相应曲面的几何 图形。 10几个常见曲面方程的建立 1、球面方程 到球心距离等于定值的动点的轨迹。 PP=r 即(x-xn)2+(y-y)2+(x-)2=r 0(x 005 特别当球心在原点时, 球面的方程为x2+y2+z2=r2
2 空间曲面的研究有两个基本问题 1）已知曲面上点的轨迹变化规律，求相应的轨迹 方程（曲面方程）； 2）已知方程 ，求相应曲面的几何 图形。 F x y z ( , , ) 0 1 0 几个常见曲面方程的建立 1、球面方程 到球心距离等于定值的动点的轨迹。 P P r 0 即 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z r 特别当球心在原点时， 2 2 2 2 球面的方程为 x y z r 0 0 0 0 P x y z ( , , ) P x y z ( , , )
例1、求与点A(3,7,6)的距离为2个单位,而与点 B(2,5,4)的距离为4个单位的点的轨迹方程。 解:设P(x,y,a)为所求轨迹的任一点, AP=2.BP=4 x-3)2+(y-7)2+(z-6)2=2 (x-2)2+(y-5)2+(z-4 4 (x-3)2+(y-7)2+(x-6)2=4 (x-2+(y-52+(z-42=16 所求点的轨迹方程为:两球面的交线
3 AP 2 , BP 4 , ( 2) ( 5) ( 4) 16 ( 3) ( 7) ( 6) 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 例1、求与点 A(3, 7, 6) 的距离为 2 个单位，而与点 B(2, 5, 4) 的距离为 4 个单位的点的轨迹方程。 解：设P (x, y, z) 为所求轨迹的任一点， 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 7) ( 6) 2 ( 2) ( 5) ( 4) 4 x y z x y z 即 ∴所求点的轨迹方程为：两球面的交线
2、在Oyz平面上有一条曲线∫(,z)=0, 求它绕z轴旋转一周生成曲面的方程。 点P0(0,y,z)在Oyz平面 的这条曲线上, O 09 f(y,x)=0 P( y, 2) 当曲线绕z轴旋转一周得左图 f(y,x)=0 显然of=op J 即|Jn 2 2 2 =√x+y+(z-x0)x =±√x2+y2 代入曲线方程得∫(±x2+y2,x)=0 为曲线∫(,z)=0绕z轴旋转一周生成的曲面方程
4 x o z y f ( y,z) 0 0 0 0 P y z (0, , ) P x y z ( , , ) o d f ( y0 , z0 ) 0 2 2 f x y z ( , ) 0 2 2 0 y x y 2、在 Oyz 平面上有一条曲线 f (y, z) = 0 , 求它绕 z 轴旋转一周生成曲面的方程。 点P0 (0, y, z) 在 Oyz 平面 的这条曲线 上, 当曲线绕 z 轴旋转一周得左图 O P O P 0 显然 2 2 2 0 0 即 y x y z z ( ) 代入曲线方程得 为曲线 f (y, z) = 0 绕 z 轴旋转一周生成的曲面方程
同理可导出∫(y,z)=0绕y轴旋转一周生成的曲面方程 f(y,±√x2+x2)=0 旋转曲面的定义: 平面的一条定曲线绕其平面上的一条定直线旋转 周所成的曲面,称为旋转曲面 同理:在Oxy平面上的曲线g(x,y)=0分别 绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程:g(x,±√y2+z2)=0 绕y轴旋转一周生成的旋转曲面方程:(±x2+z2,y)=0 在Oxz平面上的曲线h(x,z)=0分别 绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程:M(x,±√y2+=0 绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程:h(±x2+y2,)=0
5 ( , ) 0 2 2 f y x z ( , ) 0 2 2 g x y z ( , ) 0 2 2 g x z y ( , ) 0 2 2 h x y z ( , ) 0 2 2 h x y z 同理可导出 f (y, z) = 0 绕 y 轴旋转一周生成的曲面方程 旋转曲面的定义： 平面的一条定曲线绕其平面上的一条定直线旋转 一周所成的曲面，称为旋转曲面。 同理：在 Oxy平面上的曲线 g (x, y) = 0 分别 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 在 Oxz 平面上的曲线 h (x, z) = 0 分别 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程：
例2、在Oxz坐标面上的双曲线x-=1分别绕x轴 2 和z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方程。 解:绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 旋转双曲面 2 绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 2 2
6 1 2 2 2 2 2 c y z a x 1 2 2 2 2 2 c z a x y 旋 转 双 曲 面 2 2 2 2 1 x z a c 例2、在 Oxz 坐标面上的双曲线 分别绕 x 轴 和 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 解： 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
例3、试写出在Oyz平面上的曲线z=1+y2以z轴为 旋转的旋转曲面方程,并作图 解:平面曲线f(yz)=1+y2-z 绕z轴旋转的曲面方程为 f(±√x2+y2,z)=1+x2+y2-z=0 z=1+x2+y 图形:z=1+y2为Oyz平面 上的抛物线, 顶点在z轴上为(0,0,1), 对称轴为z轴
7 ( , ) 2 2 f x y z x y z 2 2 1 0 x y z 0 2 例3、试写出在 Oyz 平面上的曲线 z y 1 以 z 轴为 旋转的旋转曲面方程，并作图。 解： 2 平面曲线 f y z y z ( , ) 1 绕 z 轴旋转的曲面方程为 2 2 即 z x y 1 2 图形： z y 1 为 Oyz 平面 上的抛物线， 顶点在 z 轴上为 (0, 0, 1) , 对称轴为 z 轴
20已知方程F(x,y,z)=0求相应曲面的几何图形 1、x2+y2+z2-2x+4jy=0的曲面 配方(x-1)2+(y+2)2+z2=5 表示:球心为P(1,-2,0), 半径为√5的球面
8 2 0 已知方程 F (x, y, z) = 0 求相应曲面的几何图形 2 2 2 1、 x y z x y 2 4 0 的曲面。 ( 1) ( 2) 5 2 2 2 配方 x y z 0 表示：球心为 P (1, 2, 0), 半径为 5 的球面
2、柱面方程 平行于定直线,并沿定曲线C移动的直线L 形成的轨迹(曲面)称为柱面 1)圆柱面x2+y2=R 2)抛物柱面y2=Bxx2=Ay 3)椭圆柱面 C 2 2 2 ro,vo, z 0 4)双曲柱面 =士1 b y=x 抛物柱面 9
9 2、柱面方程 平行于定直线，并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹（曲面）称为柱面。 M0 M x y z o C L 2 2 2 x y R 2 2 2 2 1 x y a b 2 2 2 2 1 x y a b 2 x Ay 2 y Bx 1）圆柱面 3）椭圆柱面 2）抛物柱面 4）双曲柱面 x o z y 抛物柱面 0 0 P x y z ( , , ) 0 0 0 P x y ( , , 0) 2 C y x L
说明: 1)平面是一种特殊的柱面, 它的准线是一条直线; 平面 2)对于方程∫(x,y)=0(不含z的方程 表示以∫(x,y)=0为准线, 母线平行于z轴的柱面。类似地有 3)对于方程∫(x,z)=0(不含y的方程) 表示以f(x,z)=0为准线,母线平行于y轴的柱面 如 是以Oxz平面上的双曲线-5=1为准线,看 C 母线平行于y轴的双曲柱面
10 说明: x o z y y x 平面 1）平面是一种特殊的柱面， 它的准线是一条直线； 2）对于方程 f (x, y) = 0 (不含 z 的方程) 表示以 f (x, y) = 0 为准线， 母线平行于 z 轴的柱面。 类似地有 3）对于方程 f (x, z) = 0 (不含 y 的方程) 表示以 f (x, z) = 0 为准线，母线平行于 y 轴的柱面。 如 2 2 2 2 1 x z a c 是以 Oxz 平面上的双曲线 为准线， 2 2 2 2 1 x z a c 母线平行于 y 轴的双曲柱面