§5方向导数、梯度 方向导数 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率,而许多实际问题 中常常还需要掌握函数在某点处沿某一指定方向的变化率。例如,为了预测某 地的风向和风力,必须掌握该地气压沿各个方向的变化率。这就引出了方向导 数的概念 定义75.1设∫是定义于R中某区域D上的函数,点P∈D,l为一给定 的非零向量,P为一动点,向量PP与l的方向始终一致。如果极限 f(P)-f(B0) 存在,则称此极限为函数∫在处沿l方向的方向导数,记作
§5 方向导数、梯度 方向导数 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率，而许多实际问题 中常常还需要掌握函数在某点处沿某一指定方向的变化率。例如，为了预测某 地的风向和风力，必须掌握该地气压沿各个方向的变化率。这就引出了方向导 数的概念。 定义 7.5.1 设 f 是定义于 n R 中某区域 D 上的函数，点 P0 D ，l 为一给定 的非零向量， P 为一动点，向量 P0P 与 l 的方向始终一致。如果极限 || || ( ) ( ) lim 0 0 || 0 || 0 P P f P f P P P 存在，则称此极限为函数 f 在P0 处沿l 方向的方向导数，记作 l f
对于可微函数而言,不仅有关于各个自变量的偏导数,而且有沿任何方向 的方向导数,这些方向导数还可以用偏导数来表示。下面我们就来证明这一结 论,并导出计算公式。 为了便于刻画方向,先介绍方向余弦的概念。设l是一个n维非零向量, 1=,即1是与同向的单位向量。取0≤a1≤,使D=(o5a1,cosa,)显然, cosa1+…+ cos a=l 称 os a1, cosa, 为向量l的方向余弦
对于可微函数而言，不仅有关于各个自变量的偏导数，而且有沿任何方向 的方向导数，这些方向导数还可以用偏导数来表示。下面我们就来证明这一结 论，并导出计算公式。 为了便于刻画方向，先介绍方向余弦的概念。设 l 是一个 n 维非零向量， || || 0 l l l ，即 0 l 是与 l 同向的单位向量。取 0 i ，使 (cos , ,cos ) 0 1 n l 。显然， cos cos 1 2 1 2 n 。称 n cos , cos , , cos 1 2 为向量 l 的方向余弦
例如,对R中向量a=3-4)+5k,有m√32+(-4)2+52=52。取单位向量 k la‖5√2 即得a的方向余弦为 coSa= 5v2·cos=-、4 √2 c0s=√2 定理7.51若函数∫在点P处可微,向量l的方向余弦为 cosa1,cosa2… cos a,则函数/在点P处沿l方向的方向导数存在,且 |_ af cosa, t cosa,+… cosa o
例如，对 3 R 中向量 a 3i 4 j 5k ，有 || || 3 ( 4) 5 5 2 2 2 2 a 。取单位向量 i j k a a a 2 1 5 2 4 5 2 3 || || 0 ， 即得 a 的方向余弦为 5 2 3 cos ， 5 2 4 cos ， 2 1 cos 。 定 理 7.5.1 若函数 f 在 点 P0 处 可 微 ， 向 量 l 的 方 向 余 弦 为 n cos ,cos , ,cos 1 2 ，则函数 f 在点 P0 处沿 l 方向的方向导数存在，且 n P P P n P x f x f x f l f cos cos cos 0 0 0 0 2 2 1 1
证因为/在P处可微,向量PP=(4x…,Ax)与l同向, f(P)-f() O( PP D 这样 f(P)-f(Po) O(ll PP ID 10150 POP oxPP‖ arpP‖‖PP cos a,+ cos an 因此存在,且 cos a, t cOsa,+…+ cos a 证毕
证 因为 f 在 P0 处可微，向量 ( , , ) 0 1 n P P x x 与 l 同向， ( ) ( ) (|| ||) 1 0 1 0 0 0 x o P P x f x x f f P f P n P n P 。 这样 || || (|| ||) || || || || lim || || ( ) ( ) lim 0 0 0 0 1 1 | | | | 0 0 0 | | | | 0 0 0 0 0 P P o P P P P x x f P P x x f P P f P f P n P n P P P P P n P n P x f x f cos cos 0 0 1 1 因此 P0 l f 存在，且 n P P P n P x f x f x f l f cos cos cos 0 0 0 0 2 2 1 1 。 证毕
例7.5.1设函数f(x,y,)=xy2+z,向量1=-4j+3k。求函数/在点P(1,0,1) 处沿l方向的方向导数。 解显然,∫是处处可微的,它在P处的三个偏导数为 0 又向量的三个方向余弦分别为 cosa=0, cos B=--,cosy==o 所以在P处沿方向的方向导数为 3 cos -+ B y (1,0,1) (1,0,1 1,0,1) 下例说明,一个函数即使在某一点处连续,可偏导,且沿所有方向的方向导 数都存在,也不一定在该点可微
例 7.5.1 设函数 f x y z x y z 3 2 ( , , ) ，向量 l 4 j 3k 。求函数 f 在点 (1, 0, 1) P0 处沿 l 方向的方向导数。 解 显然， f 是处处可微的，它在 P0 处的三个偏导数为 3 0 (1,0,1) 2 2 (1,0,1) x y x f ， 2 0 (1,0,1) 3 (1,0,1) x y y f ， 1 (1,0,1) z f 。 又向量 l 的三个方向余弦分别为 cos 0， 5 4 cos ， 5 3 cos 。 所以在 P0 处沿 l 方向的方向导数为 5 3 cos cos cos (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) z f y f x f l f 。 下例说明，一个函数即使在某一点处连续，可偏导，且沿所有方向的方向导 数都存在，也不一定在该点可微
例7.5.2设 2xy x2+y2≠0, 0 由于 2 If(x,y)l= 所以∫在(0,0)点连续(见图7.5.1)。 ∫在(00)点沿方向=l(cosa,sna)(a为l与x轴正向的夹角)的方向导数为 a=lin f(0+rl/ l cosa, 0+( I l sin ax)-f(0,0) t→0+ = lim 2 cos asina =2 asin a 且易知f()=f0)=0。注意,这个函数在(00点并不可微。否则的话,由 定理75.1,就得到∫在(0,0)点沿各方向的方向导数皆为零的谬误
例 7.5.2 设 0, 0 . , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 由于 | | 2 | ( , ) | 2 2 2 2 2 2 y y x y x y y x y xy f x y ， 所以 f 在 (0, 0) 点连续（见图 7.5.1）。 f 在 (0,0) 点沿方向 l || l || (cos,sin) （ 为 l 与 x 轴正向的夹角）的方向导数为 || || (0 || || cos , 0 || ||sin ) (0, 0) lim 0 l l l l t f f t t f t 2 2 2 2 0 2cos sin cos sin 2cos sin lim t 。 且易知 f x (0,0) f y (0,0) 0。 注意，这个函数在 (0, 0) 点并不可微。否则的话，由 定理 7.5.1，就得到 f 在(0, 0)点沿各方向的方向导数皆为零的谬误
0.5 -0.5 0.5 0.0 图7.5.1 图像全景
图 7.5.1 图像全景
数量场的梯度 如果在空间区域D内的每一点P,都对应着某物理量的一个确定的值v(P), 就称在这空间区域里确定了该物理量的场。如果所对应的是数量,就称这个场 为数量场;如果所对应的量是向量,就称这个场为向量场。 例如,在地球表面的每一个地点(xy,),每一个时刻,均有一个确定的温 度T,即 T=f(x,y,,) 这就形成了一个温度场,又如在空间某点处放置一个点电荷,它就在空间形成 一个电位场。温度场、电位场、以及密度场等等,都是数量场;而引力场、速 度场等都是向量场
数量场的梯度 如果在空间区域 D 内的每一点 P，都对应着某物理量的一个确定的值 u(P)， 就称在这空间区域里确定了该物理量的场。如果所对应的是数量，就称这个场 为数量场；如果所对应的量是向量，就称这个场为向量场。 例如，在地球表面的每一个地点 (x, y,z)，每一个时刻 t ，均有一个确定的温 度 T ，即 T f (x, y,z,t). 这就形成了一个温度场，又如在空间某点处放置一个点电荷，它就在空间形成 一个电位场。温度场、电位场、以及密度场等等，都是数量场；而引力场、速 度场等都是向量场
设函数/定义于R"的区域D上,或者说/是区域D上的一个数量场。我们 的问题是在点P∈D处/的方向导数沿哪个方向取得最大值,即沿哪个方向数量 场的变化率最大? 前面已经指出,如果向量1的方向余弦为cosa1…, cos a,那末/在点P处沿l 方向的方向导数为 =cosa1+… cos a al ax, 记n维向量 af 又记l方向的单位向量为l,则l=(csa1… cos a),于是
设函数 f 定义于 n R 的区域 D 上，或者说 f 是区域 D 上的一个数量场。我们 的问题是在点 P D 处 f 的方向导数沿哪个方向取得最大值，即沿哪个方向数量 场的变化率最大？ 前面已经指出，如果向量 l 的方向余弦为 n cos , , cos 1 ，那末 f 在点 P 处沿 l 方向的方向导数为 n n x f x f l f cos1 cos 1 。 记 n 维向量 n x f x f , , 1 g ， 又记 l 方向的单位向量为 0 l ，则 (cos , ,cos ) 0 1 n l ，于是
f (g,l) 上式右端表示向量g与l的内积。由 Schwarz不等式, (g,l0)图‖g‖llg‖ 另一方面,当且仅当g与l同向时 (g,b)=g‖l 所以,当且仅当与g同向时,9最大,而且 max ‖g f 这里的n维向量g实际上就是下面要讨论的梯度
( , ) 0 g l l f 。 上式右端表示向量 g 与 0 l 的内积。由 Schwarz 不等式， | ( , ) | || || || || || || g l 0 g l 0 g l f 。 另一方面，当且仅当 g 与 0 l 同向时 ( , ) || || g l 0 g 。 所以，当且仅当 0 l 与 g 同向时， l f 最大，而且 2 1 1 2 max || || n i i x f l f g ， 这里的 n 维向量 g 实际上就是下面要讨论的梯度
