§2条件概率与事件的独立性 一、条件概率 定义:设A与B是试验E的样本空间Ω的两个事件,且 P(4)>0,则称在事件A发生的条件下,事件B发生的 概率为条件概率,简称B对A的条件概率。记为 (B/4 P(AB P(A) 注意: 1)条件概率是一随机事件的概率,因此条件概率满足 概率公理化定义中的三个条件,具有概率的一般的性质; 2)条件概率P(4/B)与P(A)的区别
1 §2 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 定义： 设 A 与 B 是试验 E 的样本空间 的两个事件，且 P A( ) 0 , 则称在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 概率为条件概率，简称 B 对 A 的条件概率。记为 ( ) ( / ) ( ) P AB P B A P A 注意： 1）条件概率是一随机事件的概率，因此条件概率满足 概率公理化定义中的三个条件，具有概率的一般的性质； 2）条件概率 P A B ( / ) 与 P A( ) 的区别：
例1、市场上供应的灯泡中,甲产品占70%,乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%, 若用A、A分别表示甲、乙两厂的产品,B表示合格品。 试写出有关事件的概率;并求从市场上买到一个灯泡是甲 厂生产的合格灯泡的概率。 乘法公式设E是随机试验,Ω是它的样本空间,A,B A;(=1,2,…,n)是E的事件(或Ω的子集),且 P(4)>0,P(4142…A21)>0 则有:1)P(AB)=P(4P(B/A) 2)P(142…An) P(4)P(424)P(414).P(41442) 注意:乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式
2 例1、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%， 甲厂产品的合格率是 95%，乙厂产品的合格率是 80%， 若用 A A 、 分别表示甲、乙两厂的产品，B 表示合格品。 试写出有关事件的概率；并求从市场上买到一个灯泡是甲 乘法公式 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，A ，B ， Ai （i=1, 2， … ，n）是 E 的事件（或 的子集），且 P A( ) 0 1 2 1 , ( ) 0 P A A A n 则有：1） P AB P A P B A ( ) ( ) ( / ) 1 2 ( ) P A A A n 2） 1 2 1 3 1 2 P A P A A P A A A ( ) ( / ) ( / ) 1 2 1 ( / ) P A A A A n n 注意：乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式。 厂生产的合格灯泡的概率
求在例1中,从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格 灯泡的概率。 例2、10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回), 甲先乙次,丙最后,求甲抽到难签;甲乙都抽到难签; 甲没有抽到难签而乙抽到难签;甲乙丙都抽到难签的概率
3 求在例1 中，从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格 灯泡的概率。 例2、10 个考签中有4 个难签，3 人参加抽签（不放回）， 甲先乙次，丙最后，求甲抽到难签；甲乙都抽到难签； 甲没有抽到难签而乙抽到难签；甲乙丙都抽到难签的概率
例3、人活到不同年龄段的死亡率如下: 年龄段 ~10-20~30~40~50~60-70~8080合计 死亡率(%)3.230.651.211.844.319.6918.2127.2833581000 试求一个60岁的人在70岁死亡的概率
4 例3、人活到不同年龄段的死亡率如下： 年龄段 ～10 ～20 ～30 ～40 ～50 ～60 ～70 ～80 >80 合计 死亡率（%） 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58 100.00 试求一个60岁的人在70岁死亡的概率
二、全概率公式和逆概率公式 定义:设E是随机试验,Ω是它的样本空间,若A1,42,…An 是E的两两互不相容(互斥)事件,即A4=中(i≠j 且∪A=2(即n个事件A,4,…4中至少要发生 个,至多也只能发生一个),P(4)>0i,j=1,2,…,n 则对任一事件B(属于E)有 P(B)=∑P(4)P(B/4)称为全概率公式 i=1
5 二、全概率公式和逆概率公式 定义：设 E 是随机试验， 是它的样本空间，若 1 2 , , A A A n 是 E 的两两互不相容（互斥）事件，即 A Ai j （ i j ） 且 1 n i i A （即 n 个事件 A A A 1 2 , , n 中至少要发生一 个，至多也只能发生一个）， ( ) 0 i j n , 1, 2, , P Ai 则对任一事件 B （属于 E）有 1 ( ) ( ) ( / ) n i i i P B P A P B A 称为全概率公式
注意: 全概率公式的作用在于,直接求一个较复杂的事件B的 概率比较困难,但在附加条件A下,求条件概率 P(B/A)却比较容易,所以说是一种“化整为零”的 方法,化复杂为简单的方法。 2)如何转化,关键是寻找A1,4,…A4n,使 B=BA1∪BA2∪…UBA4n,再利用一次加法公式 和一次乘法公式即可得到全概率公式。 3)寻找A1,4,…A,可供参考的方法: 全概率公式中的条件可以等价地写成 事件B能且仅能与A1,A2,…An之一同时发生”或 “把完备事件组A1,42,A,看成导致B发生的组 原因,而这些原因的概率是已知的或能求出的
6 2）如何转化，关键是寻找 A A A 1 2 , , n ，使 B BA BA BA 1 2 n ，再利用一次加法公式 和一次乘法公式即可得到全概率公式。 3）寻找 A A A 1 2 , , n 可供参考的方法： 全概率公式中的条件可以等价地写成 “ 事件 B 能且仅能与 之一同时发生 ” 或 1 2 , , A A A n “ 把完备事件组 A A A 1 2 , , n 看成导致 B 发生的一组 原因，而这些原因的概率是已知的或能求出的。” 注意： 1）全概率公式的作用在于，直接求一个较复杂的事件 B 的 概率比较困难，但在附加条件 Ai 下， 求条件概率 ( / ) P B Ai 却比较容易，所以说是一种“化整为零”的 方法，化复杂为简单的方法
例4、某地区统计,较胖体型者占10%,较瘦体型者占8% 中等体型者占82%,又知较胖体型者患高血压的概率为02, 较瘦体型者患高血压的概率为0.05,中等体型者患高血压的 概率为0.1.问该地区的居民患高血压的概率
7 例4、某地区统计，较胖体型者占 10% ，较瘦体型者占 8% ， 中等体型者占 82%，又知较胖体型者患高血压的概率为 0.2， 较瘦体型者患高血压的概率为 0.05，中等体型者患高血压的 概率为 0.1 . 问该地区的居民患高血压的概率
例5、某工厂有四条流水线,生产同一种产品,该四条流水线 的产量分别占总产量的15%、20%、30%35%,又这四条 流水线的次品率依次为005、0.04、0.03、0.02,现从出厂产 品中任取一件,问恰好取到次品的概率是多少?但该次品是 哪一条流水线生产的标志已经脱落,问厂方应如何处理这件 次品的经济责任才合理?
8 例5、某工厂有四条流水线，生产同一种产品，该四条流水线 的产量分别占总产量的 15%、20%、30%、35%，又这四条 流水线的次品率依次为 0.05、0.04、0.03、0.02，现从出厂产 品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？但该次品是 哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方应如何处理这件 次品的经济责任才合理？
Bayes公式(逆概公式) 设E是随机试验,是它的样本空间,若A1,A2,…An 是E的两两互不相容(互斥)事件,即AA=中(i≠j) 且∪4=P(4)>0i,j=1,2,…,n 则对任一事件B(P(B)>0)有 Bayes公式: P(A1/B)= P(41)P(B/A) ∑P(4)P(B/A) 例4中,如果已经知道一个居民患有高血压,问他是较胖 体型的概率是多少? 例5中,厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理
9 Bayes 公式（逆概公式） 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，若 1 2 , , A A A n 是 E 的两两互不相容（互斥）事件，即 A Ai j （ i j ） 且 ， 1 n i i A P A( ) 0 i i j n , 1, 2, , . 则对任一事件 B （ P B( ) 0 ）有 Bayes 公式： 1 ( ) ( / ) ( / ) 1, 2, , ( ) ( / ) i i i n j j j P A P B A P A B i n P A P B A 例 4 中，如果已经知道一个居民患有高血压，问他是较胖 体型的概率是多少？ 例 5 中，厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理？
注意: 1)在全概和逆概公式中的A1,A2…A,是导致试验结果 的各种原因。 i)P(A1)(i=1,2,…,n)是各种原因的概率,称为 先验概率,一般是由实际经验给出的,是已知的。 i)P(A1/B)称为后验概率,它反映了试验之后各种 原因A(i=1,2,…,n)发生的概率的新结果,是 P(A4)的修正值。 2)凡是已知试验结果,要找某种原因发生的可能性, 已知信息,问信息来自何方的问题,可用 Bayes(逆概) 公式解决
10 注意： 1）在全概和逆概公式中的 A A A 1 2 , , n 是导致试验结果 的各种原因。 ⅰ） P A i n ( ) ( 1, 2, , ) i 是各种原因的概率，称为 先验概率，一般是由实际经验给出的，是已知的。 ⅱ） P A B ( / ) i 称为后验概率，它反映了试验之后各种 原因 A i n i ( 1, 2, , ) 发生的概率的新结果，是 ( ) P Ai 的修正值。 2）凡是已知试验结果，要找某种原因发生的可能性，即 已知信息，问信息来自何方的问题，可用Bayes（逆概） 公式解决
