§2平面和直线 平面的点法式方程 立体几何知识告诉我们,给定了与平面垂直 的方向和平面上的任意一点,就可以唯一确定这 个平面。 定义(法向量): 与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的 法向量,记为n(A,B,C)
1 立体几何知识告诉我们，给定了与平面垂直 的方向和平面上的任意一点，就可以唯一确定这 个平面。 一、平面的点法式方程 定义(法向量): n A B C ( , , ) 与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的 法向量，记为 . §2 平面和直线
设f(x,y,x)为平面上的一个点, n(A,B,C)为平面的法向量 n 平面上任一点P(x,y,z), 则PP⊥n 即nBP=0 Bp A(x-x0)+B(y-yo+C(z-z0=0* 为平面的点法式方程。-(4x0+Bn+Cn) 式变形为Ax+B+Cz+D=0 为平面的一般式(普通)方程
2 x y z o P0 P n 0 0 0 0 设 P x y z ( , , ) 为平面上的一个点， n A B C ( , , ) 为平面的法向量。 平面上任一点 P x y z ( , , ) ， 则 P P n 0 0 即 n P P 0 ＊式变形为 Ax By Cz D 0 ( ) Ax0 By0 Cz0 0 0 0 即 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 ＊ 为 平面的点法式方程。 为 平面的一般式（普通）方程
说明: 若A,B,C有一个或两个为零,即此法向量n在 相应的一个坐标轴上的投影为零,则法向量 五=(A,B,C)垂直于相对应的一个或两个坐标轴。 例1、求过点M0(2,-1,4)和y轴的平面方程。 解:10建立所求平面的点法式方程 20建立平面的一般方程
3 说明： 若 A, B, C 有一个或两个为零，即此法向量 n 在 相应的一个坐标轴上的投影为零，则法向量 n A B C ( , , ) 垂直于相对应的一个或两个坐标轴。 例1、求过点 M0 (2, -1, 4) 和 y 轴的平面方程。 解：1 0 建立所求平面的点法式方程 2 0 建立平面的一般方程
确定平面的另一类条件 不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。 设平面所过的三个点为: P0(x0,y,x0),P1(x1,y1,x1),P(x2,V2,z2), 该平面的法向量n,n⊥P,n⊥PP ∴=1n×hP2 假设P(x,yz)为平面上任一点,则由点法式得 H·1P=(1P1×1P2)·BP=0 称为平面的三点式方程
4 二、确定平面的另一类条件 不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 P x y z P x y z P x y z ( , , ), ( , , ), ( , , ) , 0 1 n P P , 0 2 n P P , 设平面所过的三个点为： ∴该平面的法向量 n ， n P P P P 0 1 0 2 n P P0 0 0 2 0 1 ( ) 0 P P P P P P 假设 P x y z ( , , ) 为平面上任一点，则由点法式得 称为 平面的三点式方程
由混合积的定义、性质得 ox-x 0 四点共面的条件:y1-ynn2-yny-yn=0 0 2 0 展开后为Ax+By+Cz+D=0 说明:在实际计算时,可将已知点B,B1,P的 坐标代入平面的一般方程,用待定系数法 解出方程,比用三点式方程计算简便
5 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 z z z z z z y y y y y y x x x x x x 说明： 由混合积的定义、性质得 四点共面的条件： 展开后为 Ax By Cz D 0 在实际计算时，可将已知点 P P P 0 1 2 , , 的 坐标代入平面的一般方程，用待定系数法 解出方程，比用三点式方程计算简便
例2、求过点A(2,-1,4),B(-1,3,-2),C(0,2,3)的平 面方程。 解:10用平面的普通方程 20用平面的点法式方程
6 例2、求过点 A(2, -1, 4) , B (-1, 3, -2) , C (0, 2, 3) 的平 面方程。 解：1 0 用平面的普通方程 2 0 用平面的点法式方程
特殊情况: 当平面所过的三个点分别来自于三个坐标轴上的 点,设为P(a,0,0,P(,b,0),P2(0,0,c) 代入平面的一般式方程为 a4+D=0 bb+Dd=0 y cC+D=0 1)当a,b,c均不为零时,平面方程为: 平面截距式方程x+y+x=1
7 特殊情况: 0 0 0 cC D bB D aA D x y z o P0 P1 P2 1 c z b y a x 当平面所过的三个点分别来自于三个坐标轴上的 0 P a( , 0, 0), 1 2 点，设为 P b P c (0, , 0), (0, 0, ) , 代入平面的一般式方程为 1）当 a , b , c 均不为零时，平面方程为： 平面截距式方程
2)当a,b,c中只有一个为零时 (0,0,c) 所确定的平面为坐标平面 (0,b,0 当a=0零时,Oyz平面x=0 y xf(a,0,0 当b=0零时,Oxz平面y=0, 当c=0零时,Oxy平面z=0
8 x y z o ( ,0,0) P0 a (0, ,0) P1 b (0,0, ) 2 P c 2）当 a , b , c 中只有一个为零时， 所确定的平面为坐标平面 当 a = 0 零时，Oyz 平面 x = 0 ， 当 b = 0 零时，Oxz 平面 y = 0 ， 当 c = 0 零时，Oxy 平面 z = 0
三、直线方程的几种形式 确定空间中的一条直线主要条件有两类 确定直线的方向和直线上的一个点 2、确定直线上的两个点
9 三、直线方程的几种形式 确定空间中的一条直线主要条件有两类 1、确定直线的方向和直线上的一个点 2、确定直线上的两个点
设直线的方向向量为I(l,m,m), 直线所过的点为(x0,y,), ∴直线上任何一点P(x,y,z), 0 显然PP∥l即PP×l=0 即 x-x0y-y03-0 称为直线的对称式方程,或点向式方程。 说明:若Lm,m中有等于零的,如=M=2二 x-x=0 则将上述方程改写为 y=yo 4-20 如五=y=2型则改写为x-x=0 y-Jo=0毫0
10 x y z o P l P0 1、设直线的方向向量为 l l m n ( , , ) , 0 0 0 0 直线所过的点为 P x y z ( , , ) , ∴直线上任何一点 P x y z ( , , ) , 显然 P P l 0 ∥ 即 P P l 0 0 n z z m y y l x x0 0 0 即 称为 直线的对称式方程，或 点向式方程。 说明：若 l, m, n 中有等于零的，如 0 0 0 0 x x y y z z m n 则将上述方程改写为 n z z m y y x x 0 0 0 0 如 0 0 0 0 0 x x y y z z n 则改写为 0 0 0 0 y y x x
