复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 Taylor 公式2.6

§6 Taylor公式 、问题的提出 1、设∫(x)在x处连续,则limf(x)=∫(x) 即f(x)=f(x)+a∫(x)≈f(x) 设f(x)在x处可微,则 f(x)=f(x0)+∫(x0)(x-x)+0(x-x 即f(x)≈∫(x0)+f(x0)(x-x0)

1 §6 Taylor 公式 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   一、问题的提出 ( ) ( ) 0 f x  f x 0 0 0 0 f x f x f x x x x x ( ) ( ) ( )( ) 0( )       1、设 f (x) 在 x0 处连续，则 0 即 f x f x ( ) ( )   2、设 f (x) 在 x0 处可微，则 0 0 0 即 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )    

例如,当x很小时,e≈1+xm(1+x)≈x y=In(1+x) 和=1+x 精确度不高误差不能估计

2 x y  e y  1 x o x y  e o y  x y  ln(1 x) 精确度不高 误差不能估计 例如，当 x 很小时， 1 x e x   ln(1 )   x x

寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 且误差R(x)=f(x)-P(x)可估计。 由于多项式是一类比较简单的函数,故往往 用其近似代替复杂的函数作运算。 带Peno余项的 Taylor公式 函数∫在x处n阶可微,试找出一个关于 x-x0的n阶多项式 ao+a1(x-x)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 使此多项式与∫之差是比(x-x0y高阶的 无穷小

3 寻找函数 P (x) ，使得 f x P x ( ) ( )  且误差 R (x) = f (x) – P (x) 可估计。 由于多项式是一类比较简单的函数，故往往 用其近似代替复杂的函数作运算。 二、带 Peano 余项的 Taylor 公式 函数 f 在 x0 处 n 阶可微，试找出一个关于 x - x0 的 n 阶多项式 n a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 0  1  0  2  0   使此多项式与 f 之差是比 ( x - x0 ) n 高阶的 无穷小

假设成立着: ∫(x)=∑a1(x-x)+0(x-x0)(*) i=0 讨论多项式∫(x)各项的系数a1与f(x)的关系 lim f(x)=lim i>a, (x-xo)'+o((x-xo)") x→x f(x)=a0代入(*)式,移项后得 ∫(x)-f(x0) ∑a(x-x0)24+0(x n X-x f(x)-∫(x 02= limda(x +0(x-x0 x→>ro x-x x→x i=1 →f(x)=a1

4 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ) ( ) n i n i i f x a x x o x x        lim ( ) lim[ ( ) (( ) )] 0 0 0 0 0 i n n i i x x x x f x  a x  x  o x  x    ( ) x0 f ( ) (( ) ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 0           i n n i i a x x o x x x x f x f x  a0 lim [ ( ) (( ) )] ( ) ( ) lim 1 0 1 0 0 1 0 0 0             i n n i i x x x x a x x o x x x x f x f x 假设成立着： 讨论多项式 f (x) 各项的系数 ai与 f (x) 的关系 代入 （ ） 式，移项后得 0 1  f (x )  a

把a、a1代入(*)式,移项后得 ∫(x)-f(x0)-f(x)(x-x0) ∑n(x-xn)2+0(x-x)"2 C-d 2 f(x)-∫(x lir n)-f(xn(x=x)=lm∑1(x-x)y2+0(x-xn)"2 x-x (x-x0) L Hospital lim f(x)-f'(ro)1 X→x02(x-x0) f"(x0)=a2 依此类推可得 ∫(x)k=0, !

5 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0              i n n i i a x x o x x x x f x f x f x x x lim [ ( ) ( ( ) ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0                i n n i i x x x x a x x o x x x x f x f x f x x x LHospital 2( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 x x f x f x x x      ( ) 2 1 x0  f   a2 f x k n k a k k ( ) 0,1, , ! 1 0  ( )   0 1 把 a a 、 代入 （ ） 式，移项后得 依此类推可得

定理:设函数f在x0处n阶可导,则 Taylor系数 f(x)=∑!(x0 0)x-x)+0((x 称为∫(x)在x=x处带Pemo余项的 Taylor公式。 证:记R(x)=f(x)-2;(x)(x-x)→R(x)=0 R()=f(r) ∑ (i-1)! f(x0)(x-x)→R(x0)=0 同理可得R(x0)=R(x)=R"(x1)=…=R(x1)=0 R(x) R'(x) R"(x) m →X0(x-x0)”x→>xn(x-x0)”x→xn(n-1)(x-x0) R R((x)-R(x0) im x→>0n(x一x 少x nl(x-xo) n! R(x)=0→R(x)=0(x-x0”)

6 定理： ( )( ) (( ) ) ! 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 i i n n i f x x x o x x i f x       i i n i f x x x i R x f x ( )( ) ! 1 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0     ( ) 0  R x0   R(x0 )  0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n R x R x R x R x         n x x x x R x ( ) ( ) lim 0  0  0 1 0 ( ) lim ( ) L n x x R x n x x       0 2 0 ( ) lim ( 1)( ) L n x x R x n n x x        0 ( 1) 0 ( ) lim !( ) L n x x R x n x x       !( ) ( ) ( ) lim 0 0 ( 1) ( 1) 0 n x x R x R x n n x x       ( ) 0 1 ()0 ! n R x n   ( ) (( ) ) 0 n  R x  o x  x 设函数 Taylor 系数 f 在 x0 处 n 阶可导，则 称为 f (x) 在 x = x0 处带 Peano 余项的 Taylor 公式。 证：记 同理可得 ( ) 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( 1)! n i i i R x f x f x x x i         

三、带 lagrange余项的 Taylor公式 定理: 设函数∫在含x的开区间(a,b)内有n+1阶导数, 则ⅵx∈(u,b),35∈(x0,x),成立 f(x)=2l ju(okcx-xo)+R, (x) Tqlr系数 R, (x) f(4)(x-x1) n+1) 用来估计绝对误差 称为带f(x)在x=xo处 lagrange余项的 Taylor公式

7 三、带 Lagrange 余项的 Taylor 公式 ( )( ) ( ) ! 1 ( ) 0 0 ( ) 0 f x x x R x i f x n i i n i      1 0 ( 1) ( )( ) ( 1)! 1 ( )      n n n f x x n R x  Taylor 系数 用来估计绝对误差 定理： 设函数 f 在含 x0 的开区间(a, b)内有 n+1 阶导数， 0 则     x a b x x ( , ) ( , ) ，  ，成立 称为带 f (x) 在 x = x0 处Lagrange 余项的 Taylor 公式

四、 Maclaurin公式 f(x)=∫(0)+f(0)x+…+ f"(0 x"+0(x) f(x)=f(0)+f' (O)x+. flm 0r"(nt(5x"+ (n+1) 近似公式: 0<5<x ∫(x)≈∫(0)+f'(0)x+…+

8 四、Maclaurin 公式 ( ) ! (0) ( ) (0) (0) ( ) n n n x o x n f f x  f  f  x   1 ( ) ( 1) ( 1)! ( ) ! (0) ( ) (0) (0)          n n n n x n f x n f f x f f x   0    x n n x n f f x f f x ! (0) ( ) (0) (0) ( )     近似公式：

常用的 Maclaurin公式(带Pem余项) 2 =1+++…+,+0(x")= ∑ 0(x i=0 3 5 SIn= ,+…+(-1)士2n1 +0(x 3!5 (2n-1) 2 cos r =l.t 2 +,+…+(-1) 2n+1 0(x 2!4! (2n)! a(a-1) (1+x)=1+ax+ a(a-1)…(a-n+1) 2,-+…+ r folx 2 In(1+x)=x-+ +…+(-1)”1x+0(x") 234 9

9 ( ) 1! 2! ! 1 2 n n x o x n x x x e      ( ) ! 0 n n i i o x i x     3 5 2 1 2 sin ( 1) ( ) 3! 5! (2 1)! n x x x n n x x o x n          2 4 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ) 2! 4! (2 )! n x x x n n x o x n         ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n x o x n n x x x                     ( 1) ( ) 2 3 4! ln(1 ) 1 2 3 4 n n n o x n x x x x  x  x          常用的 Maclaurin 公式（带 Peana 余项）

例1、求∫(x)=lnx在x=e点处的Tgr公式 结合 Taylor公式求极限 例2、求lm e sinr-x(+x x→0 x tanx 例3、求 li e sinx-x cosx x tanx 10

10 例1、求 f (x) = lnx 在x = e 点处的 Taylor 公式。 2 0 sin (1 ) lim tan x x e x x x  x x   例2、求 结合 Taylor 公式求极限 2 2 2 0 sin cos lim tan x x e x x x x x    例3、求