复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第四章 矩阵和线性方程组 线性方程组4.6

§6线性方程组 解线性方程组常用的三个方法: 1) Crammer法则; 2)消元法; 3)利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。 秩是求解线性方程组的核心概念! 2011/9/3

2011/9/3 1 §6 线性方程组 解线性方程组常用的三个方法： 1）Crammer 法则； 2）消元法； 3）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。 秩是求解线性方程组的核心概念！

、利用矩阵的秩讨论线性方程组 设线性方程组「an1x1+a12x2+…+amx a21x,+a22x2+.+a2mxm=b, +a.,x,+∴+a.x.=b 2 即:An数mXm=Bm1 我们已介绍过消元法解线性方程组实质是, 用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形 矩阵,因为行等价的矩阵对应的线性方程组是 同解的线性方程组。 2011/9/3

2011/9/3 2 一、利用矩阵的秩讨论线性方程组 设线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    即： A X B n m m n    1 1  我们已介绍过消元法解线性方程组实质是， 用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形 同解的线性方程组。 矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是

阶梯矩阵为 11 12 Ir r 0d. 0000000 1)若dr+1≠0,意味着r(4)≠r(A) 则方程组无解; 2011/9/3 3

2011/9/3 3 阶梯矩阵为： 11 12 1 1 1 22 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r m r m rr rm r r c c c c d c c c d c c d d        1）若 1 0 , r d   意味着 r A r A ( ) ( )  则方程组无解；

2)若dn1=0,且r(4)=m.即r(4)=r(A)=m 若干初等行变换 方程组未知个数 阶梯形矩阵/n0…04 再经有限次的: 初等行变换 00 则方程组有唯一解 2 写成矩阵形式x 2011/9/3

2011/9/3 4 2）若 1 0 , r d   且 r A m ( ) .  即 r A r A m ( ) ( )   方程组未知个数 A 若干初等行变换 阶梯形矩阵 再经有限次的 初等行变换 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m d d d        则方程组有唯一解 1 1 2 2 m m x d x d x d              写成矩阵形式 1 2 m x x x             1 2 m d d d              

3)若dn1=0,且r(A)<m.即r(4)=r(4)<m 方程组未知个数 0 0 0 2r+1 经有限次的 初等行变换 rr+1 有r个独立未知量,r个独立方程, m个自由未知量。 则此方程组有无穷多组解。 2011/9/3

2011/9/3 5 且 r A m ( ) .  即 r A r A m ( ) ( )   A 经有限次的 初等行变换 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 r m r m rr rm m c c d c c d c c d                   有r 个独立未知量，r 个独立方程， 则此方程组有无穷多组解。 1 0 , r d 3）若   方程组未知个数 m-r 个自由未知量

对应的线性方程组 十 r+1 十 nn 2r+1~r+1 n +cr+1r+1+ In 移项后得:[x1=- Cx +d 1 2r+1~r+1 r +d 2mm rr+1-r+1 十 rn 自由未知量的个数mr(4)个 若令x+1=k 2 2 2011/9/3

2011/9/3 6 对应的线性方程组 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 r r m m r r m m r rr r rm m r x c x c x d x c x c x d x c x c x d                                   移项后得： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 r r m m r r m m r rr r rm m r x c x c x d x c x c x d x c x c x d                                      自由未知量的个数 m-r (A) 个 若令 1 1 , r x k   2 2 , x k r  , x k m m r  

得: td 2 2r+11 2 十 +d rr+I rnn一r k2 1925 ,kmr为任意常数 2011/9/3

2011/9/3 7 得： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 r m m r r m m r r rr rm m r r r r m m r x c k c k d x c k c k d x c k c k d x k x k x k                                                  1 2 , , , m r k k k  为任意常数

定理: 对一般的m元非齐次线性方程组 B 1)当r(A)<r(A)时,方程组无解; 2)当r(4)=r(A)=m(未知量个数)时, 方程组有唯一解; 3)当r(A)=r(4)<m(未知量个数)时, 方程组有无穷多组解。 2011/9/3

2011/9/3 8 定理： 对一般的m 元非齐次线性方程组 A X B n m m n    1 1  1）当 r A r A ( ) ( )  时，方程组无解； 2）当 r A r A m ( ) ( )   （未知量个数）时， 方程组有唯一解； 3）当 r A r A m ( ) ( )   （未知量个数）时， 方程组有无穷多组解

相应的齐次线性方程组(1+a12+…+amxm=0 nx,+a1,X2+∴+a2x.=0 n×mx-mx1 a.,X,+aX,+…+ax=0 总是有解的,X=x2= 0(X=0 所以,齐次线性方程组只有两种情况 1)当r(4)=r=m(未知量个数)时, 方程组有唯一零解; 2)当r(A)=r<m(未知量个数)时, 方程组有无穷多组非零解。 此时,齐次线性方程组有r个独立未知量, r个独立方程,mr个自由未知量。 2011/9/3 9

2011/9/3 9 相应的齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 m m m m n n nm m a x a x a x a x a x a x a x a x a x                    即： 1 0 A X n m m    总是有解的， 1 2 0 ( 0 ) m x x x X      所以，齐次线性方程组只有两种情况 1）当 r A r m ( )   （未知量个数）时， 方程组有唯一零解； 2）当 r A r m ( )   （未知量个数）时， 方程组有无穷多组非零解。 r 个独立方程，m-r 个自由未知量。 此时，齐次线性方程组有r 个独立未知量

定理: 对一般的m元齐次线性方程组AmXm1=0 方程组有非零解分r(A)=r<m(未知量个数) 方程组只有零解r(A)=r=m(未知量个数) 推论1 如果齐次线性方程组AX=0的方程个数n<m 则方程组必有非零解。 未知量个数 推论2 n个方程n个未知量的齐次线性方程组 有非零解兮A=0,只有零解令→4≠0 2011/9/3 10

2011/9/3 10 定理： 对一般的m 元齐次线性方程组 1 0 A X n m m    方程组有非零解    r A r m ( ) （未知量个数） 方程组只有零解    r A r m ( ) （未知量个数） 推论1 如果齐次线性方程组 AX = 0 的方程个数n < m 则方程组必有非零解。 未知量个数 推论2 有非零解   A 0 ,   A 0 . n个方程n 个未知量的齐次线性方程组 只有零解