复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第八章 多元函数积分学 8.2 二重积分的计算

§2二重积分的计算 重积分计算的基本思想: 化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值 二重积分计算: 化为二次定积分进行计算,具体如下:

1 §2 二重积分的计算 重积分计算的基本思想: 化为二次定积分进行计算,具体如下： 化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值。 二重积分计算:

直角坐标系下二重积分的计算 1、如果积分区域D:x一型区域 {(x,)a≤x≤b(x)sysq(x) y=(2(r) y=(p2(x) D D y=p,(x) y=p(r) g(x),q2(x)为区间[a,b上的连续函数

2 一、直角坐标系下二重积分的计算 1、如果积分区域 D：x — 型区域 ( , ) , ( ) ( ) x y a x b x y x       1 2  ( ) 2 y   x a b D ( ) 1 y   x D a b ( ) 2 y   x ( ) 1 y   x φ1 (x), φ2 (x) 为区间 [a, b] 上的连续函数

f(x,y)la的值等于以D为底,曲面z=∫(x,y) D 为高的曲顶柱体的体积, 用平行于Oyz的平面截曲顶柱体,应用“已知平行 截面面积,求空间区域体积”的方法求。 z=f(r,y) 截面A(x):是一个曲边梯形z q2(x) a(r) f∫(x,y)小 q1(x) V=lf(x, y)do a()d y=o(ry y=91(x) b「Pg2(x) b f(x, y)dy dx=dx q2(x) f(, y)dy q1(x) q1( 3

3 ( , ) D f x y d  的值等于以 D 为底，曲面 z = f (x, y) 为高的曲顶柱体的体积， 用平行于Oyz 的平面截曲顶柱体，应用“已知平行 截面面积，求空间区域体积”的方法求。 z y x A x( ) z f x y  ( , ) 1 y x   ( ) 2 y x   ( ) a x b 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy     ( , ) D   V f x y d  ( ) b a  A x dx  2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x f x y dy dx            2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy      截面 A (x) : 是一个曲边梯形

2、如果积分区域D:y-型区域 {(x,y) cssd()sx≤(y x=,(vyd f=d(y D x=p2) p(x),φ2(x)为区间le,上的连续函数, n2(y) f(x, y)do= dy,f(x, y)dx 内(y) 说明直角坐标系下:dq=小 面积元素

4 ( , ) , ( ) ( ) x y c y d y x y       1 2  ( ) 2 x  y ( ) 1 x  y D c d c d ( ) 2 x  y ( ) 1 x  y D ( , ) D f x y d  2 1 ( ) ( ) ( , ) d y c y dy f x y dx      说明 d dxdy   2、如果积分区域 D：y — 型区域 ϕ1 (x), ϕ2 (x) 为区间 [c, d] 上的连续函数， 直角坐标系下： 面积元素

例1、计算』,D由p=x,灯=1,y=2国成。 解:10x—型区域(先对y积分后对x积分) 2x do=dx i a dy+l dx dy 2 d x J 2 2 2x =(-+x3)dx+l,(-+x)x (2,2 2 2 27 64

5 D y x  y  2 xy  1 (1,1) , 2) 2 1 ( (2,2) D1 D2 2 2 D x d y   2 1 2 1 1 2 2 x x dx dy y    2 2 2 2 1 x x dx dy y   2 2 1 1 2 1 x x dx y         2 2 2 1 x x dx y         2 1 3 1 2 ( ) 2 x    x dx  2 2 1 ( ) 2 x    x dx  27 64  2 2 D x d y  例  1、计算 ，D 由 y = x , xy = 1 , y = 2 围成。 解：1 0 x — 型区域 （先对 y 积分后对 x 积分）

20 型区域(先对x积分后对y积分) y dyed y=x 2x 3 J=2 D 27 )dy= 1 33 64 说明1)积分次序选择得好,能化繁为简, 化难为易。 2)积分区域具有可加性

6 D y x  y  2 xy  1 (1,1) , 2) 2 1 ( (2,2) 2 2 D x d y   2 2 1 2 1 y y x dy dx y    3 2 2 1 3 1 y y x dy y             2 5 1 1 ( ) 3 3 y dy y    27 64  2 0 y — 型区域 （先对 x 积分后对 y 积分） 说明 1) 积分次序选择得好，能化繁为简， 化难为易。 2) 积分区域具有可加性

3、如果积分区域D:矩形域 er,D)asxsb, cssd 盯(x,y)dg=Jf(,y dy f(x,y)dx 表明:此时二重积分与积分的先后次序无关。 若∫(x,y)=f(x)(y)时, ∫(x,y)do=J,f(x)丁(y)d

7 ( , ) , x y a x b c y d      ( , ) D f x y d  ( , ) b d a c  dx f x y dy   ( , ) d b c a  dy f x y dx  1 2 ( ) ( ) b d a c  f x dx f y dy   3、如果积分区域 D： 矩形域 表明：此时二重积分与积分的先后次序无关。 1 2 若 f x y f x f y ( , ) ( ) ( )  时， ( , ) D f x y d 

二重积分计算步骤: 1)画草图 2)确定积分限 3)确定一种积分次序 4)计算

8 二重积分计算步骤: 1) 画草图 2) 确定积分限 3) 确定一种积分次序 4) 计算

例2、计算[p-x2,D={-1≤x≤1,0≤y≤县} X 1 例3、改变∫d「f(x,y)+」: (3-x) f(x,y)dy的 次序。 y=x (3-x) D 2012/6/4 0.5

9 例2、计算 2 , { 1 1, 0 1} . D y x d D x y          D1 D2 D3 2 y x  2012/6/4 例3、改变 的 次序。 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy       9 2 y x  1 (3 ) 2 y x   (1,1) D1 D2

e c2 Inx 2 nx 例4、计算积分Ⅰ= 0 小J +」d Iny e 解: mxdc无法用初等函数表示, y=e ∴积分时须考虑积分次序, :0≤y≤e1≤x≤2 elyse In y≤x≤2 er Inx dx 小y D 0 2 Inx In xdx =xInx-x.dx=21n 2-1

例4、计算积分 2 2 2 0 1 ln ln ln . e e x x e y x x I dy dx dy dx e e       解： ln x x dx e  无法用初等函数表示， ∴ 积分时须考虑积分次序， 1 D y e x : 0 1 2     2 2 D e y e y x : ln 2     0 x y 2 e D1 1 2 e D2 x y e  2 1 I dx   0 ln x e x x dy e  2 1 0 ln x e x x y dx e    2 1  ln xdx  2 1  x x ln 2 1 1 x dx x      2ln2 1 10