2xs4定积分的应用 在自然科学等各个领域中应用定积分来度量是 相当的多,如几何、概率和物理等方面。为了便于 各类定积分应用问题的分析和计算,先介绍微元法 的概念。 、微元法 面积元 lA素 曲边梯形面积 微元:dx △Af(x) y=(x) 微面积∫(x) 曲边梯形总面积 a xx+25x b A=lim2/()dx= da=f(x)dx 2011/9/3
2011/9/3 1 §4 定积分的应用 在自然科学等各个领域中应用定积分来度量是 相当的多，如几何、概率和物理等方面。为了便于 各类定积分应用问题的分析和计算，先介绍微元法 的概念。 a b x y o y f (x) x x dx 面 积 元 dA 素 A f (x)dx A lim f (x)dx b a f (x)dx 一、微元法 f x dx ( ) b a dA 曲边梯形面积 微元：dx 微面积 曲边梯形总面积
若某个量Ⅰ与变量x的变化区间a,b有关,且符合 1)满足关于区间的可加性,即整体等于局部之和; I=∑△1 2)它在[x,x+x]上的部分量△近似于ax的一个 线性函数,即△-dI=0(tx), 其中征=∫(x)a称之为量/的微元; b 则总量是微元的积分。即I=f(x) 在应用问题中往往略去M-d=0(x)的验证 2011/9/3
2011/9/3 2 若某个量I 与变量x 的变化区间[a, b]有关，且符合 1）满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和； i I I 2）它在 [x, x+dx] 上的部分量 近似于 dx 的一个 线性函数，即 I I dI o dx ( ) , 其中 dI f x dx ( ) 称之为量 I 的微元； ( ) b a I f x dx 在应用问题中往往略去 I dI o dx ( ) 的验证。 则总量I 是微元的积分。即
微元法的一般步骤: 1)根据具体问题,选取积分变量x,并确定其积分 区间[a,b; 2)设想把区间Ia,b分成n个小区间, 取其中任一小区间,记为[x,x+dx, 求出相应于此小区间的部分量△的近似值, 微元d=∫(x)db 3)以微元Ⅲ=f(x)dt为积分表达式, b 在{a,b上作定积分,得I=f(x)d 2011/9/3 3
2011/9/3 3 微元法的一般步骤： ( ) . b a I f x dx 1）根据具体问题，选取积分变量 x ，并确定其积分 区间 [a, b] ； 2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间，记为 [x, x+dx] , 求出相应于此小区间的部分量 I 的近似值 , 微元 dI f x dx ( ) 3）以微元 dI f x dx ( ) 为积分表达式， 在 [a, b] 上作定积分，得
二、面积问题 直角坐标下的区域 曲线y=f(x),y=f2(x),直线x=a,x=b, 求其所围区域的面积 面积微元为 y=2(x) dA=2(x)-f(x)d 目yf(x) A=12(x)f(x)ld 2011/9/3
2011/9/3 4 二、面积问题 b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 x y o ( ) y f 1 x ( ) y f 2 x a xx b 2 1 dA f x f x dx [ ( ) ( )] 1、直角坐标下的区域 1 2 曲线 y f x y f x ( ), ( ) , 直线 x = a ，x = b ， 求其所围区域的面积。 面积微元为
例1、求曲线y=x2,y=x3-6x所围成的区域的面积 y=r-6x y=x 例2、求曲线y2=2x,y=x-4所围成的区域的面积 y=x-4 2011/9/3 2x 2=2x
2011/9/3 5 2 y x y x 6x 3 A1 A2 例1、求曲线 y x y x x 2 3 , 6 所围成的区域的面积 2 例2、求曲线 y x y x 2 , 4 所围成的区域的面积 y 2x 2 y x 4 A1 A2 y 2x 2 y x 4
2、参数方程形式下的面积问题 如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=x(t) t∈Ia,月x(t)严格单调, y=y(t) x(),y()具有连续导数,y()≥0 则曲边梯形的面积为A=py()x()d 例3、求旋转曲线{x=a(-sn)r∈0,2zl y=a(1-cost) 与x轴围成的面积。 2011/9/3
2011/9/3 6 y t( ) 0 ( ) ( ) y y t x x t t [ , ] A y(t)x (t)dt 2、参数方程形式下的面积问题 如果曲边梯形的曲边为参数方程 x (t) 严格单调， x (t) ，y (t) 具有连续导数， 则曲边梯形的面积为 例3、求旋转曲线 (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t t [0, 2 ] 与x 轴围成的面积
3、极坐标下的面积问题 6+d 由曲线r=r(),及射线b=a,O=B 围成的曲边扇形面积。 0Bh=r(e) r()在[a,月连续, de 面积元dA=[r(O)d 2 曲边扇形的面积为 0 B1 6 =a rolde a 2 例4求双纽线p2=a2cos20所围成的区域的面积 y y=r 2011/9/3 p =a cos28
2011/9/3 7 o x d d r r() dA r d 2 [ ( )] 2 1 A r d 2 [ ( )] 2 1 3、极坐标下的面积问题 由曲线 r r ( ) ， 及射线 , 围成的曲边扇形面积。 r( ) [ , ] 在 连续， 面积元 ∴曲边扇形的面积为 2 2 例4、求双纽线 a cos2 所围成的区域的面积。 y x cos2 2 2 a A1
心脏线 r=a(1+c0s6) 星形线 x=acos t ly=aint Orx°+y°=a Archimedes螺线 r=ae 2011/9/3
2011/9/3 8 a a o y x r a(1 cos ) r a y a t x a t 3 3 sin cos 3 2 3 2 3 2 or x y a 心脏线 星形线 Archimedes 螺线
思考题 设曲线y=f(x)过原点及点(2,3),且∫(x) 为单调函数,并且是连续可导函数,现在曲 线上任取一点,作两坐标轴的平行线,其中 条平行线、x轴及∫(x)围成的面积是另 条平行线、y轴及∫(x)围成的面积的两倍。 求曲线f(x)的方程 2011/9/3 9
2011/9/3 9 思考题 设曲线 y = f (x) 过原点及点(2, 3)，且 f (x) 为单调函数，并且是连续可导函数，现在曲 线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中 一条平行线、 x 轴及 f (x) 围成的面积是另一 条平行线、 y 轴及 f (x) 围成的面积的两倍。 求曲线 f (x) 的方程
、已知平行截面面积求体积 设空间体9介于平面x=a和x=b之间, 被垂直于x轴的平面截出的面积为A(x), 所以,相应于[x,x+dx上的体积微元为: 母线与x轴平行,高为d,底面积为A(x) 的柱体体积,即 V=A()dx b A(c)a 0 r xtd 2011/9/3 10
2011/9/3 10 三、已知平行截面面积求体积 o x a b x x dx dV A x dx ( ) b a V A(x)dx A(x) 设空间体 介于平面 x = a 和 x = b 之间， 被垂直于 x 轴的平面截出的面积为 A (x) ， 所以，相应于[x, x+dx] 上的体积微元为： 母线与 x 轴平行，高为 dx ，底面积为 A (x) 的柱体体积，即