复旦大学：《高等数学》课程精选教案_线性方程组.pdf_大学文库

教案线性方程组教学内容线性方程组是最简单、最常见的方程组，关于它的解法和理论是线性代数的基础和基本工具，并广泛应用于生产实践之中。本节主要解答以下问题：（1）线性方程组何时有解，即有解的条件是什么？（2）如果线性方程组有解，会有多少解？（3）在线性方程组有解时，如何给出全部解？教学思路与要求（1）结合讲解齐次线性方程组的一般性解法，引入基础解系的概念，并指出其次线性方程组的解的结构；（2）由于上一部分内容比较抽象，因此要用具体实例详细说明求齐次线性方程组的基础解系的方法，以及通解的表示方法；（3）引入非齐次线性方程组的增广矩阵的概念，并证明非齐次线性方程组有解的充要条件；（4）讲解非齐次线性方程组的解的结构，由此引出并重点讲解非齐次线性方程组的解法；（5）结合实例讲解如何判断线性方程组有解、有唯一解及有无穷多解。教学安排一．齐次线性方程组现在考虑线性方程组                    , , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     （4.6.1）可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。上述方程组用矩阵表示为 Ax  b ，其中                m m m n n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 A ， x                n x x x  2 1 ， b                bm b b  2 1 。可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。先看齐次方程组 Ax  0 的情况。显然它至少有平凡解 x  0 ，那么是否还有其它的解呢？利用第 4 节的结论便得到：定理 4.6.1 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组

Ax  0 的解存在且唯一（即只有零解）的充分必要条件是： rank ( A )  n，即 A 是列满秩的。推论 4.6.1 若齐次线性方程组 Ax  0 中的方程个数少于未知量个数（即 m n ），则其必有非零解。当 A 不是列满秩时，设 rank ( A )  r  n ，由定理 4.5.3，存在 A 的一个 r 阶子式不等于零，不妨设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       ，否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了（行交换相当于交换方程的次序，而列交换相当于交换变量的次序，这与原方程是同解的）。于是， A 的前 r 行是极大无关组，可以由它们的线性组合表出第 r 1, r  2,  ,m 行，因此原方程组（4.6.1）与其前 r 个方程构成的方程组                                   0 0, 0, 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.2）同解（请读者考虑为什么）。将其改写为                                   . , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.3）记                r r r r r r a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A1 1 ， A12                      r r r r rn r r n r r n a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， x1                r x x x  2 1 ， x2                  n r r x x x  2 1 。则方程组（4.6.3）可以写成 A11 x1  A12 2 x ，因此得到          2 1 x x x           n r I A A12 1 11 2 x 。于是，只要确定了 2 x ，就唯一确定了 x

记 ( , , , ) 12 1 2 1 11 nr   A A  β β  β ，这里 βi （ i 1, 2,  , n  r ）为 r 维列向量。显然， 2 x 可以是任意的 nr 维向量，所以方程组的解 x 有无穷多个。如取 2 x 分别为 nr 维向量 1 e ，2 e ，„， nr e （ i e 的第 i 个分量为 1，其余为 0，i 1, 2,  , n  r ），由定理 4.4.2，可得到一组线性无关的解  (1) x         1 1 e β ，  (2) x         2 2 e β ，„，  (nr) x           n r n r e β 。（4.6.4）对方程组的任意一个解          2 1 x x x ，记相应的 x2                 nr    2 1 ，即 x2     n r i i i 1  e ，于是           n r I A A12 1 11          n r i i i 1  e     n r i i 1                    i n r e I A A12 1 11     n r i i 1          i i e β ( ) 1 i n r i  i x     ，所以，x 能够由（4.6.4）线性表示。定义 4.6.1 若 n 维向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 满足（1）每一个向量 (i) x 都是齐次线性方程组 Ax  0 的解（ i 1, 2,  , p ）；（2）向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性无关；（3）齐次线性方程组 A x = 0 的任意一个解都能够用 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性表示，则称 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 为方程组 A x = 0 的一个基础解系，而称   p i i i c 1 ( ) x x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , p ）为方程组 A x = 0 的通解。显然，求出了基础解系，就完全清楚了解的结构（要注意的是， 2 x 不一定取为 1 e ， 2 e ，„， nr e ，也就是说，基础解系的形式是不唯一的）。综合以上推导便得到：定理 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，其秩为 r （ r  n ）。那么齐次线性方程组 Ax  0 的每个基础解系中恰有 nr 个解 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x ，而且该方程组的任何一个解 x 都可以表为     n r i i i c 1 ( ) x x ，其中 i c （ i 1, 2,  , n  r ）是常数。推论 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax  0 当 rank(A)  n 时只有唯一解 x  0；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。从以上推导中可以看出，当 r  rank(A)  n 时，为求方程 A x = 0 的基础解系，可先用初等行变换将它的系数矩阵化为（必要时要交换列的位置）

因此，齐次方程组的通解为                                                                         1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 2 1 2 2 4 4 4 2 2 4 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x ，其中 2 x ， 4 x 为任意常数。分别给 2 4 x , x 以值 1，0 和 0，1，又得到了基础解系  (1) x               0 0 1 2 ，  (2) x                  1 2 1 0 2 1 。这也是求基础解系和方程组通解的一种方法。二．非齐次线性方程组设 A 是 mn 矩阵，rank ( A )  r ，b 为 m 维列向量。定义 4.6.2 矩阵（ A ┆b）称为线性方程组 Ax  b 的增广矩阵。下面的定理说明，方程组 Ax  b 的可解性，是与其增广矩阵密切相关的。定理 4.6.2 线性方程组 Ax  b 的解存在的充分必要条件是：其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。证线性方程组 Ax  b 的解存在等价于 b 可以用 A 的列向量线性表示，这又等价于 A 的列向量组的极大无关组就是增广矩阵( A ┆b)的列向量组的极大无关组，因此 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。证毕设 0 x 是一个固定的向量，满足 Ax0  b ，我们称其为线性方程组 Ax  b 的一个特解。当 r  n 时，对于 Ax  b 的任意一个解 x，由于 A(x  x0 )  Ax  Ax0  b  b  0 ，因此 x  x0 是齐次方程组的解，由前面的叙述，它必可表示为 x  x0     n r i i i c 1 ( ) x ，其中 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x 为齐次线性方程组 Ax  0 的一个基础解系。于是      n r i i i c 1 ( ) x x0 x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ），它称为非齐次线性方程组的通解。这说明，非齐次线性方程组的通解等于其相应

的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。推论 4.6.3 设 A 是 mn 矩阵，则非齐次线性方程组 Ax  b 当 rank(A)  rank ( A ┆b)时有解。此时，当 rank(A)  n 时只有唯一解；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿，只是多求一步特解而已。设 rank ( A ┆b) = rank ( A ) = r，并设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       。将原方程组 Ax  b 转化为同解方程组                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b        （4.6.7）将其改写为                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x        利用前面的记号，并记                br b b  2 1 b1 ，便得到 A11x1  b1 12 2  A x ，令 b1  0，就得到类似（4.6.4）的齐次线性方程组的一组基础解系 (1) x ， (2) x ， „， (nr) x 。为求特解，可令 x2  0，得到非齐次线性方程组的一个特解           0 1 1 11 0 A b x 。从而得到非齐次线性方程组的通解      n r i i c 1 x x0 (i) x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）。从以上推导中可以看出，在求方程 Ax  b 的解时，先用初等行变换将它的增广矩阵 ( A ┆b)，化为（必要时要交换列的位置，这时变量也要作相应交换，但常数列 b 不能与其它列交换）