复旦大学：《高等数学》课程精选教案_线性方程组

教案 线性方程组 教学内容 线性方程组是最简单、最常见的方程组,关于它的解法和理论是线性代数的 基础和基本工具,并广泛应用于生产实践之中。本节主要解答以下问题: (1)线性方程组何时有解,即有解的条件是什么? (2)如果线性方程组有解,会有多少解? (3)在线性方程组有解时,如何给出全部解? 教学思路与要求 (1)结合讲解齐次线性方程组的一般性解法,引入基础解系的概念,并指 出其次线性方程组的解的结构 (2)由于上一部分内容比较抽象,因此要用具体实例详细说明求齐次线性 方程组的基础解系的方法,以及通解的表示方法; (3)引入非齐次线性方程组的增广矩阵的概念,并证明非齐次线性方程组 有解的充要条件 (4)讲解非齐次线性方程组的解的结构,由此引出并重点讲解非齐次线性 方程组的解法; (5)结合实例讲解如何判断线性方程组有解、有唯一解及有无穷多解。 教学安排 齐次线性方程组 现在考虑线性方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=b a21x1+a22x2+…+a2nxn= b2 (46.1) mx1+am2x2+…+ a x 可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。上述方程组用矩阵表示为 Ax= b 其中 b A b b 可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。 先看齐次方程组Ax=0的情况。显然它至少有平凡解x=0,那么是否还有 其它的解呢?利用第4节的结论便得到: 定理4.6.1设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组

教 案 线性方程组 教学内容 线性方程组是最简单、最常见的方程组，关于它的解法和理论是线性代数的 基础和基本工具，并广泛应用于生产实践之中。本节主要解答以下问题： （1） 线性方程组何时有解，即有解的条件是什么？ （2） 如果线性方程组有解，会有多少解？ （3） 在线性方程组有解时，如何给出全部解？ 教学思路与要求 （1） 结合讲解齐次线性方程组的一般性解法，引入基础解系的概念，并指 出其次线性方程组的解的结构； （2） 由于上一部分内容比较抽象，因此要用具体实例详细说明求齐次线性 方程组的基础解系的方法，以及通解的表示方法； （3） 引入非齐次线性方程组的增广矩阵的概念，并证明非齐次线性方程组 有解的充要条件； （4） 讲解非齐次线性方程组的解的结构，由此引出并重点讲解非齐次线性 方程组的解法； （5） 结合实例讲解如何判断线性方程组有解、有唯一解及有无穷多解。 教学安排 一．齐次线性方程组 现在考虑线性方程组                    , , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     （4.6.1） 可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。上述方程组用矩阵表示为 Ax  b ， 其中                m m m n n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 A ， x                n x x x  2 1 ， b                bm b b  2 1 。 可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。 先看齐次方程组 Ax  0 的情况。显然它至少有平凡解 x  0 ，那么是否还有 其它的解呢？利用第 4 节的结论便得到： 定理 4.6.1 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组

Ax=0 的解存在且唯一(即只有零解)的充分必要条件是: 即A是列满秩的 推论4.6.1若齐次线性方程组Ax=0中的方程个数少于未知量个数(即 m<n),则其必有非零解 当A不是列满秩时,设rank(A)=r<n,由定理45.3,存在A的一个r阶 子式不等于零,不妨设 a a21a2 0 a 否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了(行交换相当于交换方程的次序 而列交换相当于交换变量的次序,这与原方程是同解的)。于是,A的前r行是 极大无关组,可以由它们的线性组合表出第r+1,r+2,…,m行,因此原方程组 (461)与其前r个方程构成的方程组 a21x1+a2x2+…+a2x,+a2+x,+…+a2nxn=0 (4.6.2) an1x+a2x2+…+a,x+an灬1x1+…+amxn=0 同解(请读者考虑为什么)。将其改写为 n1x1+a12x2 x =-aIr+X, a21x1+a22x2+…+a2xxr=-a2x+x+1-…-a2nxn (463) arIx,tar2x2t.+arrx, =-arr+rr+ a rr+2 则方程组(463)可以写成 ,= 因此得到 A,A 于是,只要确定了x2,就唯一确定了x

Ax  0 的解存在且唯一（即只有零解）的充分必要条件是： rank ( A )  n， 即 A 是列满秩的。 推论 4.6.1 若齐次线性方程组 Ax  0 中的方程个数少于未知量个数（即 m n ），则其必有非零解。 当 A 不是列满秩时，设 rank ( A )  r  n ，由定理 4.5.3，存在 A 的一个 r 阶 子式不等于零，不妨设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       ， 否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了（行交换相当于交换方程的次序， 而列交换相当于交换变量的次序，这与原方程是同解的）。于是， A 的前 r 行是 极大无关组，可以由它们的线性组合表出第 r 1, r  2,  ,m 行，因此原方程组 （4.6.1）与其前 r 个方程构成的方程组                                   0 0, 0, 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.2） 同解（请读者考虑为什么）。将其改写为                                   . , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.3） 记                r r r r r r a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A1 1 ， A12                      r r r r rn r r n r r n a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， x1                r x x x  2 1 ， x2                  n r r x x x  2 1 。 则方程组（4.6.3）可以写成 A11 x1  A12 2 x ， 因此得到          2 1 x x x           n r I A A12 1 11 2 x 。 于是，只要确定了 2 x ，就唯一确定了 x

记-A1A2=(B,B2…,Bn),这里B,(i=12,…,n-r)为r维列向量。 显然,x2可以是任意的n-r维向量,所以方程组的解x有无穷多个。如取x2分 别为n-F维向量e1,e2,…,en(e的第i个分量为1,其余为0,i=1,2,…n-F 由定理4.4.2,可得到一组线性无关的解 (4.64) 对方程组的任意一个解x= 记相应的x=5:,即x2=>5,于 A1A12 5e1 ∑ B 所以,x能够由(4.64)线性表示。 定义4.6.1若n维向量组x),x(2)…,xP满足 (1)每一个向量x都是齐次线性方程组Ax=0的解(i=1,2,…,p); (2)向量组x,x(2),…,x(P线性无关 (3)齐次线性方程组Ax=0的任意一个解都能够用x,x(2),…,xP线性表 示,则称x),x2)…,xP为方程组Ax=0的一个基础解系,而称 = C (c是任意常数,i=1,2…,p 为方程组Ax=0的通解。 显然,求出了基础解系,就完全清楚了解的结构(要注意的是,x2不一定 取为e1,e2,…,en,也就是说,基础解系的形式是不唯一的 综合以上推导便得到: 定理4.6.2设A是m×n矩阵,其秩为r(r<n)。那么齐次线性方程组 Ax=0 的每个基础解系中恰有n-r个解x"),x(2)…,x(mn),而且该方程组的任何一个解 x都可以表为 其中c;(i=1,2,…,n-r)是常数。 推论4.6.2设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组 Ar=0 当rank(A)=n时只有唯一解x=0;当rank(4)<n时有无穷多组解。 从以上推导中可以看出,当r=rank(4<n时,为求方程Ax=0的基础解系 可先用初等行变换将它的系数矩阵化为(必要时要交换列的位置)

记 ( , , , ) 12 1 2 1 11 nr   A A  β β  β ，这里 βi （ i 1, 2,  , n  r ）为 r 维列向量。 显然， 2 x 可以是任意的 nr 维向量，所以方程组的解 x 有无穷多个。如取 2 x 分 别为 nr 维向量 1 e ，2 e ，„， nr e （ i e 的第 i 个分量为 1，其余为 0，i 1, 2,  , n  r ）， 由定理 4.4.2，可得到一组线性无关的解  (1) x         1 1 e β ，  (2) x         2 2 e β ，„，  (nr) x           n r n r e β 。 （4.6.4） 对方程组的任意一个解          2 1 x x x ，记相应的 x2                 nr    2 1 ，即 x2     n r i i i 1  e ，于 是           n r I A A12 1 11          n r i i i 1  e     n r i i 1                    i n r e I A A12 1 11     n r i i 1          i i e β ( ) 1 i n r i  i x     ， 所以，x 能够由（4.6.4）线性表示。 定义 4.6.1 若 n 维向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 满足 （1）每一个向量 (i) x 都是齐次线性方程组 Ax  0 的解（ i 1, 2,  , p ）； （2）向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性无关； （3）齐次线性方程组 A x = 0 的任意一个解都能够用 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性表 示，则称 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 为方程组 A x = 0 的一个基础解系，而称   p i i i c 1 ( ) x x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , p ） 为方程组 A x = 0 的通解。 显然，求出了基础解系，就完全清楚了解的结构（要注意的是， 2 x 不一定 取为 1 e ， 2 e ，„， nr e ，也就是说，基础解系的形式是不唯一的）。 综合以上推导便得到： 定理 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，其秩为 r （ r  n ）。那么齐次线性方程组 Ax  0 的每个基础解系中恰有 nr 个解 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x ，而且该方程组的任何一个解 x 都可以表为     n r i i i c 1 ( ) x x ， 其中 i c （ i 1, 2,  , n  r ）是常数。 推论 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax  0 当 rank(A)  n 时只有唯一解 x  0；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。 从以上推导中可以看出，当 r  rank(A)  n 时，为求方程 A x = 0 的基础解系， 可先用初等行变换将它的系数矩阵化为（必要时要交换列的位置）

此时,由-B=(B1B2,…,Bn)的列向量B1与e1合并组成的向量 (i=1,2,…,n-r)就是齐次线性方程组 4x=0 的一个基础解系。注意,若有列交换时,相应的分量位置要作适当调整。 例4.6.1求齐次线性方程组 2x1-x2+3x3+2x4=0 x1-x2+11x3+2x4+4x5=0, 3x4+6xs=0, 11x +7x.-6x=0 的一个基础解系。 解由例4.5.2可知,可以通过初等行变换将系数矩阵 2-1320 5-11124 1-1117-6 转化为 19-1212 003215-14 再用初等行变换将此矩阵化为 0-书 010 9959 32 0000 于是可得方程组的一组基础解系 0 0 因此方程组的通解为x=cx+c2x2)(c1,c2是任意常数) 例46.2求齐次线性方程组

        O O Ir B 。 此 时 ， 由 ( , , , )  B  β1 β2  βnr 的列向量 βi 与 i e 合 并 组 成 的 向 量         i i e β （ i 1, 2,  , n  r ）就是齐次线性方程组 Ax  0 的一个基础解系。注意，若有列交换时，相应的分量位置要作适当调整。 例 4.6.1 求齐次线性方程组                           11 7 6 0 3 5 3 6 0, 5 11 2 4 0, 2 3 2 0, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系。 解 由例 4.5.2 可知，可以通过初等行变换将系数矩阵                       1 1 11 7 6 3 1 5 3 6 5 1 11 2 4 2 1 3 2 0 A 转化为                    0 0 0 0 0 0 0 32 15 14 0 1 19 12 12 1 1 11 7 6 ， 再用初等行变换将此矩阵化为                  0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 16 7 32 15 16 59 32 99 16 40 32 40 。 于是可得方程组的一组基础解系  (1) x                                    0 32 15 99 40 32 1 0 1 32 15 32 99 32 40 ，  (2) x                                      16 0 7 59 40 16 1 1 0 16 7 16 59 16 40 。 因此方程组的通解为 x  (2) 2 (1) c1 x  c x （ 1 c ， 2 c 是任意常数）。 例 4.6.2 求齐次线性方程组

2x2+3 2x1+4x2 x1-2x2+3x3+2x4=0 x1+2x2-9x3-5x4=0 的通解。 解通过初等行变换将系数矩阵 3039 转化为 001.0001000II17I 22000 0100 (4.6.5) 0 再交换2和3列将此矩阵化为 0 2000 0 因此方程组的一组基础解系为 注意:因为交换了2和3列的位置,因此x")和x(的2和3行的位置也相应于 矩阵进行了交换 因此方程组的通解为x=c1x+c2x2)(c1,c2是任意常数) 事实上,以矩阵(4.6.5)为系数矩阵的齐次方程为 0 (466) 0, 把方程组中含x2x4的项移到等号右边得 x1=-2x,+-x

                       2 9 5 0 2 3 2 0, 2 4 0, 2 3 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 通过初等行变换将系数矩阵                     1 2 9 5 1 2 3 2 2 4 0 1 1 2 3 1 A 转化为                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 2 1 2 1 ， （4.6.5） 再交换 2 和 3 列将此矩阵化为                0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 1 2 1 。 因此方程组的一组基础解系为  (1) x               0 0 1 2 ，  (2) x                1 0 2 1 2 1 。 注意：因为交换了 2 和 3 列的位置，因此 (1) x 和 (2) x 的 2 和 3 行的位置也相应于 矩阵进行了交换。 因此方程组的通解为 x  (2) 2 (1) c1 x  c x （ 1 c ， 2 c 是任意常数）。 事实上，以矩阵（4.6.5）为系数矩阵的齐次方程为             0, 2 1 0, 2 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x （4.6.6） 把方程组中含 2 4 x , x 的项移到等号右边得             . 2 1 , 2 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x

因此,齐次方程组的通解为 0 0 4 其中x2,x4为任意常数。 分别给x,,x以值1,0和0,1,又得到了基础解系 0 0 这也是求基础解系和方程组通解的一种方法 非齐次线性方程组 设A是m×n矩阵,rank(A)=r,b为m维列向量。 定义4.6.2矩阵(A;b)称为线性方程组 Ax= b 的增广矩阵 下面的定理说明,方程组Ax=b的可解性,是与其增广矩阵密切相关的。 定理4.6.2线性方程组 Ax= b 的解存在的充分必要条件是:其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩,即 rank(A)=rank(A}b)。 证线性方程组 Ax= b 的解存在等价于b可以用A的列向量线性表示,这又等价于A的列向量组的极 大无关组就是增广矩阵(A}b)的列向量组的极大无关组,因此 ank(A)=rank(A:b)。 证毕 设x是一个固定的向量,满足Ax0=b,我们称其为线性方程组Ax=b的 个特解。当r<n时,对于Ax=b的任意一个解x,由于 A(x-x0)=4x-Ax0=b-b=0, 因此x-x0是齐次方程组的解,由前面的叙述,它必可表示为 其中x,x(2)…,x(m-)为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系。于是 x=xn+cx(c,是任意常数,1=1,2…,n-r), 它称为非齐次线性方程组的通解。这说明,非齐次线性方程组的通解等于其相应

因此，齐次方程组的通解为                                                                         1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 2 1 2 2 4 4 4 2 2 4 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x ， 其中 2 x ， 4 x 为任意常数。 分别给 2 4 x , x 以值 1，0 和 0，1，又得到了基础解系  (1) x               0 0 1 2 ，  (2) x                  1 2 1 0 2 1 。 这也是求基础解系和方程组通解的一种方法。 二．非齐次线性方程组 设 A 是 mn 矩阵，rank ( A )  r ，b 为 m 维列向量。 定义 4.6.2 矩阵（ A ┆b）称为线性方程组 Ax  b 的增广矩阵。 下面的定理说明，方程组 Ax  b 的可解性，是与其增广矩阵密切相关的。 定理 4.6.2 线性方程组 Ax  b 的解存在的充分必要条件是：其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。 证 线性方程组 Ax  b 的解存在等价于 b 可以用 A 的列向量线性表示，这又等价于 A 的列向量组的极 大无关组就是增广矩阵( A ┆b)的列向量组的极大无关组，因此 rank ( A ) = rank ( A ┆b)。 证毕 设 0 x 是一个固定的向量，满足 Ax0  b ，我们称其为线性方程组 Ax  b 的一 个特解。当 r  n 时，对于 Ax  b 的任意一个解 x，由于 A(x  x0 )  Ax  Ax0  b  b  0 ， 因此 x  x0 是齐次方程组的解，由前面的叙述，它必可表示为 x  x0     n r i i i c 1 ( ) x ， 其中 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x 为齐次线性方程组 Ax  0 的一个基础解系。于是      n r i i i c 1 ( ) x x0 x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）， 它称为非齐次线性方程组的通解。这说明，非齐次线性方程组的通解等于其相应

的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论46.3设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组 dx= b 当rank(A)=rank(A:b)时有解。此时,当rank(A4)=n时只有唯一解;当 rank(A)<n时有无穷多组解 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿,只是多求一步特解而已。设 nk(A}b)=rank(A)=r,并设 将原方程组Ax=b转化为同解方程组 a1x1+a12x2+…+a1x+a1n+x+1+…+anxn=b1, a2x2+…+a2,x1+a21x,++…+a2nxn=b2 (4.6.7) la,tar22 +…+ax+a-r+1xr++…+ arnt b 将其改写为 +aix,=6, a21x1+a2x2+…+a2x=b2-a2x+1-…-a2nxn +ax2+…+a,,x=b-a, 利用前面的记号,并记b b,便得到 b A1x1=b1-A12x2 令b=0,就得到类似(4.64)的齐次线性方程组的一组基础解系 为求特解,可令x2=0,得到非齐次线性方程组的一个特解 A, b 0 从而得到非齐次线性方程组的通解 x=x+∑cx0(c是任意常数,i=1,2,…,n-r) 从以上推导中可以看出,在求方程Ax=b的解时,先用初等行变换将它的 增广矩阵 (A:b), 化为(必要时要交换列的位置,这时变量也要作相应交换,但常数列b不能与其 它列交换)

的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论 4.6.3 设 A 是 mn 矩阵，则非齐次线性方程组 Ax  b 当 rank(A)  rank ( A ┆b)时有解。此时，当 rank(A)  n 时只有唯一解；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿，只是多求一步特解而已。设 rank ( A ┆b) = rank ( A ) = r，并设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       。 将原方程组 Ax  b 转化为同解方程组                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b        （4.6.7） 将其改写为                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x        利用前面的记号，并记                br b b  2 1 b1 ，便得到 A11x1  b1 12 2  A x ， 令 b1  0，就得到类似（4.6.4）的齐次线性方程组的一组基础解系 (1) x ， (2) x ， „， (nr) x 。 为求特解，可令 x2  0，得到非齐次线性方程组的一个特解           0 1 1 11 0 A b x 。 从而得到非齐次线性方程组的通解      n r i i c 1 x x0 (i) x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）。 从以上推导中可以看出，在求方程 Ax  b 的解时，先用初等行变换将它的 增广矩阵 ( A ┆b)， 化为（必要时要交换列的位置，这时变量也要作相应交换，但常数列 b 不能与其 它列交换）

b * 如果矩阵中*位置的元素不全为零,那么方程组无解。如果*位置的元素都为 零,那么一B=(B1,B2…Bn)的列向量B,与e合并组成的向量 (1=1,2…,n-r)就是齐次线性方程组4x=0的一个基础解系,而。就是方 0 程组Ax=b的一个特解。注意,若有列交换时,相应的分量位置要作适当调整。 例4.6.3求非齐次线性方程组 + x2 x1-x2+11x3+7x4=-6 的通解 解由例4.5.2,已知可以通过初等行变换将增广矩阵 32:0 (A b) 1111 5-3:6 作初等行变换得到 书 0100 0010 扣292530 因此齐次线性方程组的一个基础解系为 913 952 非齐次线性方程组的一个特解为 40 从而非齐次线性方程组的通解为 970 (c是任意常数)

        * ~ O O Ir B b 。 如果矩阵中*位置的元素不全为零，那么方程组无解。如果*位置的元素都为 零 ， 那 么  B  ( , , , ) β1 β2  βnr 的列向量 βi 与 i e 合 并 组 成 的 向 量         i i e β （ i 1, 2,  , n  r ）就是齐次线性方程组 Ax  0 的一个基础解系，而         0 b ~ 就是方 程组 Ax  b 的一个特解。注意，若有列交换时，相应的分量位置要作适当调整。 例 4.6.3 求非齐次线性方程组                         11 7 6 3 5 3 6, 5 11 2 4, 2 3 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 由例 4.5.2，已知可以通过初等行变换将增广矩阵 ( A ┆b) =                      1 1 11 7 6 3 1 5 3 6 5 1 11 2 4 2 1 3 2 0 作初等行变换得到                  0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 16 7 32 15 16 59 32 99 16 40 32 40 。 因此齐次线性方程组的一个基础解系为  (1) x 32 1                32 15 99 40 ； 非齐次线性方程组的一个特解为 x0                 0 7 59 40 16 1 ， 从而非齐次线性方程组的通解为                  0 7 59 40 16 1 x                32 15 99 40 c （c 是任意常数）

例4.6.4求非齐次线性方程组 x1+2x,+3x3+x 2x1+4x2 x1-2x2+3x3+2x4=8, x1+2x2=9x3 的通解 解通过初等行变换将增广矩阵 24222 303 2:8 转化为 001 (4.6.8) 0000:0 0000:0 再交换2和3列将此矩阵化为 1000 2000 0:0 因此方程组的一组基础解系为 个特解为 0360 注意,因为交换了2和3列的位置,因此x,x和x2的2和3行的位置 也相应于矩阵进行了交换 因此方程组的通解为x=x0+c1x0+c2x2)(c1,c2是任意常数)。 事实上,以(4.6.8)确定的方程组为

例 4.6.4 求非齐次线性方程组                          2 9 5 21 2 3 2 8, 2 4 3, 2 3 5, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 通过初等行变换将增广矩阵                      1 2 9 5 21 1 2 3 2 8 2 4 0 1 3 1 2 3 1 5 转化为                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 6 13 2 1 2 3 2 1 ， （4.6.8） 再交换 2 和 3 列将此矩阵化为                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 6 13 2 1 2 3 2 1 。 因此方程组的一组基础解系为 (1) x                0 0 1 2 ， (2) x                 1 0 2 1 2 1 。 一个特解为                0 0 6 13 2 3 0 x 。 注意，因为交换了 2 和 3 列的位置，因此 x0， (1) x 和 (2) x 的 2 和 3 行的位置 也相应于矩阵进行了交换。 因此方程组的通解为 x  x0  1 c  (1) x 2 c (2) x （ 1 c ， 2 c 是任意常数）。 事实上，以（4.6.8）确定的方程组为

X2 13 x2+-x 6 把方程组中含x2x4的项移到等号右边得 XI 2x 131 所以方程组的通解为 3 2x,+-x 2 x. +x 131 0 62 360 其中x2,x4是任意常数。 这也是求方程组通解的一种方法 例4.6.5讨论非齐次线性方程组 x1+Ax2+x3+x4=, x,tx2tAr3 + xa x,+x2+x3+/x,=1 的解的情况(λ是常数)。 解其系数矩阵是方阵,先求它的行列式。可以算出 111 11 111元 +3)(-1) 所以,当λ≠-3和1的时候,方程组有唯一解 111 当λ=-3时考虑增广矩阵 (A:b) 111 311-3 通过行变换将其转化为

             , 6 13 2 1 , 2 3 2 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x 把方程组中含 2 4 x , x 的项移到等号右边得              , 2 1 6 13 , 2 1 2 2 3 3 4 1 2 4 x x x x x 所以方程组的通解为                                                                                              1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 6 13 0 2 3 2 1 6 13 2 1 2 2 3 2 4 4 4 2 2 4 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x ， 其中 2 x ， 4 x 是任意常数。 这也是求方程组通解的一种方法。 例 4.6.5 讨论非齐次线性方程组                                1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , x x x x x x x x x x x x x x x x 的解的情况（  是常数）。 解 其系数矩阵是方阵，先求它的行列式。可以算出      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 (  3)( 1) 。 所以，当   3 和 1 的时候，方程组有唯一解                               1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     x  。 当   3 时考虑增广矩阵 ( A ┆b)                        1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 1 3 ， 通过行变换将其转化为