复旦大学：《高等数学》课程精选教案_函数的极限

教案 函数的极限 教学内容 极限理论是微积分学的基础,极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之 中,是研究函数变化特征的一个重要工具。对于自变量的变化过程中相应函数值 变化趋势的讨论,引出了函数极限的概念。由于自变量变化过程不同,函数的极 限表现为不同的形式,而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无 穷大时的极限。在这节中主要讲解以下几方面的内容 (1)自变量分别趋于有限值和趋于无限时,函数的极限的概念。单侧极限 的概念 (2)函数极限的性质,函数极限的计算; (3)函数极限与数列极限的关系; (4)两个重要极限:msmx=1和lm1+1 教学思路和要求 (1)极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点,学生们往往对极 限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从,更谈不 上如何去灵活运用。继数列极限之后,这部分内容还是要进一步引导 学生理解极限概念的深刻含义,看清它的本质,掌握运用他们处理问 题的能力 (2)极限的概念、极限的性质、函数极限与数列极限的关系以及两个重要 极限是本节内容的重点 (3)要使学生理解函数极限与数列极限的关系,并能运用它说明某些函数 极限不存在 (4)运用极限的性质,计算一些函数的极限,加深对这些性质的理解; (5)利用两个重要极限Imsx=1和lm1+=c来处理其他相关极 限的技巧也是一个必须要掌握的内容 教学安排 自变量趋于有限值时函数的极限 首先考虑自变量x趋向x0的过程中函数值的变化趋势。设函数∫在x附近 有定义,如果在x趋于x0的过程中,函数值f(x)无限地接近于常数A,即f(x)-A 趋于0,就称A是∫(x)当x→>x时的极限,它的精确数学描述如以下定义。 定义1.3.1如果对任意给定的E>0,总存在δ>0,使得0x-x0k<δ时 成立 lf(x)-A卜 则称∫(x)在x→x时以A为极限,记作 lim f(x)=A

教 案 函数的极限 教学内容 极限理论是微积分学的基础，极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之 中，是研究函数变化特征的一个重要工具。对于自变量的变化过程中相应函数值 变化趋势的讨论，引出了函数极限的概念。由于自变量变化过程不同，函数的极 限表现为不同的形式，而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无 穷大时的极限。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 自变量分别趋于有限值和趋于无限时，函数的极限的概念。单侧极限 的概念； （2） 函数极限的性质，函数极限的计算； （3） 函数极限与数列极限的关系； （4） 两个重要极限： 0 lim x 1 sin  x x 和 e x x x          1 lim 1 。 教学思路和要求 （1） 极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点，学生们往往对极 限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从，更谈不 上如何去灵活运用。继数列极限之后，这部分内容还是要进一步引导 学生理解极限概念的深刻含义，看清它的本质，掌握运用他们处理问 题的能力； （2） 极限的概念、极限的性质、函数极限与数列极限的关系以及两个重要 极限是本节内容的重点； （3） 要使学生理解函数极限与数列极限的关系，并能运用它说明某些函数 极限不存在； （4） 运用极限的性质，计算一些函数的极限，加深对这些性质的理解； （5） 利用两个重要极限 0 lim x 1 sin  x x 和 e x x x          1 lim 1 来处理其他相关极 限的技巧也是一个必须要掌握的内容。 教学安排 一．自变量趋于有限值时函数的极限 首先考虑自变量 x 趋向 0 x 的过程中函数值的变化趋势。设函数 f 在 0 x 附近 有定义，如果在 x 趋于 0 x 的过程中，函数值 f (x) 无限地接近于常数 A，即 f (x)  A 趋于 0，就称 A 是 f (x) 当 0 x  x 时的极限，它的精确数学描述如以下定义。 定义 1.3.1 如果对任意给定的   0，总存在   0 ，使得 0 | x  x0 |  时 成立 | f (x)  A|  ， 则称 f (x) 在 0 x  x 时以 A 为极限，记作 0 lim xx f (x)  A

注意,这个定义中对x的要求是04x-x0kd,其中x-x00表示研究 x→x0时f(x)的极限与函数f在x=x0处的状况无关。因为我们关心的是x无限 地趋于x0时∫(x)的变化趋势,这个趋势与函数∫在x点有无定义毫无关系。例 如,f(x)=x-1在x=1处无定义,而gx)=x+1与(x)仅在x=1处不相等。 显然,当x→1时函数∫与g的变化趋势是相 同的,它们都以2为极限 imf(x)=A有十分直观的几何解释:对 A+ε上--- 任意给定的正数E,作一个介于直线y=A+EA 与y=A-之间的条形区域。相应于这个区4- 域,存在以x为中心的区间(x。-6,x0+δ), 函数f的图象上,横坐标位于该区间但又非x X0-8x0x+6 的点,将落在上述条形区域中(见图1.3.1) 图13.1 讨论与极限有关的问题时,还经常使用 “邻域”的术语。设E>0,称以a为中心的开区间(a-E,a+E)为a的E邻域, 记作O(a,E) 这样,imf(x)=A可叙述为:对A的任何E邻域,存在x的某δ邻域,当 x属于该邻域且非x时,f(x)落在A的E邻域中,亦即对任意给定的E>0,存 在δ>0,当x∈O(x0,)且x≠x0时,f(x)∈O(A,E)。 例1.3.1验证 lim xsin-=0(图1.32)。 证对于任意给定的E>0,为使 只要取δ=E,则当04x-0k<δ时,便成立 =xIsinsIxk8 因此, lim xs 图1.3.2 图1.33

注意，这个定义中对 x 的要求是 0 | x  x0 |  ，其中 | x  x0 | 0 表示研究 0 x  x 时 f (x) 的极限与函数 f 在 0 x  x 处的状况无关。因为我们关心的是 x 无限 地趋于 0 x 时 f (x) 的变化趋势，这个趋势与函数 f 在 0 x 点有无定义毫无关系。例 如， 1 1 ( ) 2    x x f x 在 x = 1 处无定义，而 g(x) = x+1 与 f (x) 仅在 x = 1 处不相等。 显然，当 x 1 时函数 f 与 g 的变化趋势是相 同的，它们都以 2 为极限。 0 lim xx f (x)  A 有十分直观的几何解释：对 任意给定的正数  ，作一个介于直线 y  A  与 y  A 之间的条形区域。相应于这个区 域，存在以 0 x 为中心的区间 (x0  , x0   ）， 函数 f 的图象上，横坐标位于该区间但又非 0 x 的点，将落在上述条形区域中（见图 1.3.1）。 讨论与极限有关的问题时，还经常使用 “邻域”的术语。设   0，称以 a 为中心的开区间（ a , a  ) 为 a 的  邻域， 记作 O(a,) 。 这样， 0 lim xx f (x)  A 可叙述为：对 A 的任何  邻域，存在 0 x 的某  邻域，当 x 属于该邻域且非 0 x 时， f (x) 落在 A 的  邻域中，亦即对任意给定的   0 ，存 在   0 ，当 ( , ) x O x0  且 x  0 x 时， f (x)O(A,) 。 例 1.3.1 验证 0 lim x 0 1 sin  x x （图 1.3.2）。 证 对于任意给定的   0 ，为使  0   1 sin x x ， 只要取    ，则当 0 | x  0 |  时，便成立    x x x x 1 0 | | sin 1 sin | x |    。 因此， 0 lim x 0 1 sin  x x 。 图 1.3.2 图 1.3.3

函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述 定理1.3.1lmf(x)=A的充分必要条件是对任何收敛于x的数列{xn}, 其中xn≠x0(n=1,2,…),均有lmf(xn)=A。 这个定理的证明从略。 例1.3.2证明x→0时sm-无极限(图132)。 证取数列 2 (n丌) 显然,xn≠0,yn≠0,且 imxn=imyn=0。 但是 lmsn=1, lim sin=0。 由上一定理可知,如果x→0时si-存在极限,则上述两个极限应该相等,所以 x→0时sm-并无极限。 证毕 极限的性质 关于函数极限,也有类似于数列极限的四则运算法则。 定理1.3.2若lmf(x)与lmg(x)均存在,则 f(x)±g(x)=imf(x)±lmg(x); lim [f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x) f(x) m f(x) 最后一个关系式要求lmg(x)≠0。 x→>0 证设A=lmf(x),B=lmg(x)。由定理1.3.1,对任何收敛于x0的数列 {xn},xn≠x0(n=1,2…),均有mnf(xn)=A,limg(xn)=B。利用数列极限 的性质,得到 xn)=lmf(xn)±lmg(xn)=A±B 再次利用定理1.3.1,可知m[f(x)±g(x)存在,且等于A±B,即lmf(x)± 类似地可以证得另外两式 证毕 特别地,在定理1.3.2的条件下,对任意的实数a,B,均有

函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述。 定理 1.3.1 0 lim xx f (x)  A 的充分必要条件是对任何收敛于 0 x 的数列 { }n x ， 其中 0 x x n  （n = 1,2,„)，均有 n lim ( ) n f x = A。 这个定理的证明从略。 例 1.3.2 证明 x  0 时 x 1 sin 无极限（图 1.3.2）。 证 取数列 1 2 2           xn n ， 1 ( )  yn  n ， n = 1,2„。 显然， xn  0， yn  0 ，且 lim  lim  0   n n n n x y 。 但是 n lim 1 1 sin  n x ， n lim 0 1 sin  n y 。 由上一定理可知，如果 x  0 时 x 1 sin 存在极限，则上述两个极限应该相等，所以 x  0 时 x 1 sin 并无极限。 证毕 二．极限的性质 关于函数极限，也有类似于数列极限的四则运算法则。 定理 1.3.2 若 0 lim xx f (x) 与 0 lim xx g(x) 均存在，则 0 lim xx [ f (x)  g(x)]  0 lim xx f (x)  0 lim xx g(x) ； 0 lim xx [ f (x)g(x)]  0 lim xx f (x) 0 lim xx g(x) ； 0 lim xx lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0 0 g x f x g x f x x x x x    ， 最后一个关系式要求 0 lim xx g(x)  0。 证 设 A = 0 lim xx f (x) ，B = 0 lim xx g(x) 。由定理 1.3.1，对任何收敛于 0 x 的数列 { }n x ， 0 x x n  （n = 1,2,„），均有 f xn A n   lim ( ) ， g xn B n   lim ( ) 。利用数列极限 的性质，得到 n lim [ ( ) ( )] n n f x  g x = lim ( ) n n f x   lim ( ) n n g x  = A  B 。 再次利用定理 1.3.1，可知 0 lim xx [ f (x)  g(x)] 存在，且等于 A B ，即 0 lim xx f (x)  0 lim xx g(x) 。 类似地可以证得另外两式。 证毕 特别地，在定理 1.3.2 的条件下，对任意的实数 , ，均有

lm lof(x)+Bg(x)=a lim f(x)+B lim g(x) x→x0 例1.3.3设有n次多项式 P(x) ax =d+ax+ax+.+ax, 求lmP(x)。 注“∑”是求和符号。 解由定理1.32可知 imP(x)=lm∑ax=∑im(ax) ∑a,(lmx)=∑a,x=P(x0) 例134设pn(x),qn(x)分别为n次和m次多项式,qn(x0)≠0。 求lm P (x) Ixo q (x) 解由定理1.32和上例可知 lim Pn()m pn (x) Pn(o) q(x) lim q(x) q(o) 函数极限也具有重要的夹逼性质。 定理1.33设对某个r>0,当04x-x0kr时成立 f(x)≤g(x)≤h(x) 且imf(x)=limh(x)=A,则img(x)=A。 证任取{xn},使得04xn-x0kr,n=12…,且imxn=x0,由条件及 定理1.31可知,lmf(xn)=lmh(xn)=A。又 f(xn)≤g(xn)≤h(xn) 由定理1.2.7可知img(xn)=A,根据{xn}的任意性,再次应用定理1.3.1即得 m g(x)=A 证毕 例1.3.5证明 lim cos x=1和m5x=1 证作单位圆周在第一象限的一部分,如图1.3.4所示。设圆心角COA的弧 度数为x(0<x<)。 显然, △OAC的面积<扇形OAC的面积<△OAB 的面积, 此即 smx<x<tanx。 由此得到 图1.3.4

0 lim xx [f (x)  g(x)] lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx    。 例 1.3.3 设有 n 次多项式 Pn (x)   n i i i a x 0 = n n a  a x  a x  a x 2 0 1 2 ， 求 lim ( ) 0 P x n xx 。 注 “ ”是求和符号。 解 由定理 1.3.2 可知 0 lim xx Pn (x)  0 lim xx  n i i i a x 0 = lim ( ) 0 0 i i n i x x  a x   = n i i a 0 ( 0 lim xx     i n i i i x a x0 0 ) ( ) 0 P x n 。 例 1.3.4 设 p (x) n ，q (x) m 分别为 n 次和 m 次多项式， qm (x0 )  0 。 求 0 lim xx ( ) ( ) q x p x m n 。 解 由定理 1.3.2 和上例可知 0 lim xx ( ) ( ) q x p x m n =    lim ( ) lim ( ) 0 0 q x p x m x x n x x ( ) ( ) 0 0 q x p x m n 。 函数极限也具有重要的夹逼性质。 定理 1.3.3 设对某个 r  0 ，当 0 | x  x | r 0 时成立 f (x)  g(x)  h(x)， 且 0 lim xx f (x) = 0 lim xx h(x)  A，则 0 lim xx g(x)  A。 证 任取 { }n x ，使得 x x r 0 | n  0 | ，n 1,2,  ，且 0 lim x x n n   ，由条件及 定理 1.3.1 可知， f x h xn A n n n     lim ( ) lim ( ) 。 又 ( ) ( ) ( ) n n n f x  g x  h x ， 由定理 1.2.7 可知 g xn A n   lim ( ) ，根据 { }n x 的任意性，再次应用定理 1.3.1 即得 0 lim xx g(x) = A。 证毕 例 1.3.5 证明 lim cos 1 0   x x 和 1 sin lim 0   x x x 。 证 作单位圆周在第一象限的一部分，如图 1.3.4 所示。设圆心角 COA 的弧 度数为 x（ 2 0   x  ）。 显然， △OAC 的面积  扇形 OAC 的面积  △OAB 的面积， 此即 sin x  x  tan x 。 由此得到 图 1.3.4

coSxx0时∫(x)的极限,反映了当x趋于x时函数值变化过程最终的趋势,它 自然与∫在x附近的局部形态有关。极限概念的重要性,还在于由极限可以反过 来推断函数的某些局部性质 定理1.3.4如果lmf(x)存在,则存在δ>0,使得00,使得当0B,则存在δ>0,使 得0g(x) A-B 证取E=-->0,由于lfx)=A,故存在δ1>0,使得04x-x0k 时,|f(x)-AkE;又由于lmg(x)=B,故存在δ2>0,使得04x-x0kA-E=A+B =B+E>g(x)。 证毕 推论13.1设lmf(x)=A>B,则存在δ>0,使得当0<x-xkδ时, 只要令g(x)=B,由上一定理即得 推论1.32如果mf(x)和lmg(x)均存在,且当04x-x0kr时,f(x)≤ imf(x)≤limg(x)

1 sin cos   x x x 。 因为 cos(x)  cos x， x x x sin( x) sin    ，所以上式对于 0 2   x   也成立。 如能证得 lim cos 1 0   x x ，由上式及夹逼定理即得 1 sin lim 0   x x x 。为此，估计 1 cos x ，有 2 2 2 2 1 2 2 2 0 1 cos 2sin x x x x            ， 由例 1.3.3 可知 0 lim x 0 2 1 2 x  ，利用夹逼定理即得 lim (1 cos ) 0 0    x x ，此即 lim cos 1 0   x x 。 证毕 0 x  x 时 f(x)的极限，反映了当 x 趋于 0 x 时函数值变化过程最终的趋势，它 自然与 f 在 0 x 附近的局部形态有关。极限概念的重要性，还在于由极限可以反过 来推断函数的某些局部性质。 定理 1.3.4 如果 0 lim xx f (x) 存在，则存在   0 ，使得 0 | x  x0 |  时，函 数 f 有界。 证 设 f x A x x   lim ( ) 0 ，则对于   1 ，存在   0 ，使得当 0 | x  x0 |  时成 立 | f (x)  A|1 ，这就是说，当 0 | x  x0 |  时，成立 A1 f (x)  A1， 因此， f 在 0 | x  x0 |  中有界。 证毕 定理 1.3.5 设 0 lim xx f (x) = A， 0 lim xx g(x) = B，且 A  B ，则存在   0 ，使 得 0 | x  x0 |  时成立 f (x)  g(x)。 证 取 0 2    A B  ，由于 0 lim xx f(x) = A，故存在  1  0 ，使得 0 1 0 | x  x |  时， | f (x)  A|  ；又由于 0 lim xx g(x) = B，故存在  2  0 ，使得 0 2 0 | x  x |  时， | g(x)  B |  。取 min( , )    1  2 ，则当 0 | x  x0 |  时， ( ) 2 ( ) B g x A B f x A          。 证毕 推论 1.3.1 设 0 lim xx f (x) = A  B ，则存在   0 ，使得当 0 | x  x0 |  时， f (x)  B 。 只要令 g(x) = B，由上一定理即得。 推论 1.3.2 如果 0 lim xx f (x) 和 0 lim xx g(x) 均存在，且当 0 | x  x | r 0 时，f (x)  g(x)，则 0 lim xx f(x)  0 lim xx g(x)

这只要利用定理135并使用反证法即得。 例1.3.6求极限lin 解由极限的四则运算法则得 lim lim (x-9)(√x+3) (x-9)√x+3) √x+33+36 例1.3.7求极限lim 1-x1-x3 解由极限的四则运算法则得 lin lim x+x lim (x-1)(x+2) 1-x3 (1-x)(x2+x+1) x+2 1+2 1)12+1+1 例1.3.8求极限lim tanx 解由极限的四则运算法则和Imx=1得到 lim r=lim sin x 1 cos.r lim/sin x x→0 lim cos x 例1.3.9求极限lm sIn sx 解由例1.3.4与极限的四则运算法则得 s lims 5·lim 5 SIn x 1-coSx 例1.3.10求极限lm 解由例134与极限的四则运算法则得 2 sIn lim COS x =lm =lim

这只要利用定理 1.3.5 并使用反证法即得。 例 1.3.6 求极限 9 3 lim 9    x x x 。 解 由极限的四则运算法则得 . 6 1 3 3 1 3 1 lim ( 9)( 3) 9 lim ( 9)( 3) ( 3)( 3) lim 9 3 lim 9 9 9 9                     x x x x x x x x x x x x x x 例 1.3.7 求极限           3 1 1 3 1 1 lim x x x 。 解 由极限的四则运算法则得 1. 1 1 1 1 2 1 2 lim (1 )( 1) ( 1)( 2) lim 1 2 lim 1 3 1 1 lim 2 2 1 2 1 3 2 1 3 1                                          x x x x x x x x x x x x x x x x x 例 1.3.8 求极限 x x x tan lim 0 。 解 由极限的四则运算法则和 0 lim x 1 sin  x x 得到 1 1 1 1 lim cos lim 1 sin lim cos sin 1 lim tan lim 0 0 0 0 0                  x x x x x x x x x x x x x 。 例 1.3.9 求极限 x x x tan sin 5 lim 0 。 解 由例 1.3.4 与极限的四则运算法则得 lim cos 5. sin lim 1 5 sin 5 5 lim cos sin 1 5 sin 5 lim 5 tan sin 5 lim 0 0 0 0 0               x x x x x x x x x x x x x x x x x 例 1.3.10 求极限 2 0 1 cos lim x x x   。 解 由例 1.3.4 与极限的四则运算法则得 2 1 1 2 1 2 2 sin 2 1 lim 2 2sin lim 1 cos lim 2 2 0 2 2 0 2 0                      x x x x x x x x x

三.单侧极限 函数∫在某x两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的。有时,∫原来就只 定义于x0的一侧。这就需要用单侧极限来刻划自变量从x的一侧趋于x0时函数 值的变化趋势。 定义1.3.2如果存在实数A,对于任意给定的E>0,存在δ>0,使得当 d0,存在X>0,使得当x卜X时成立 f(x)-AK 则称x趋于无穷大时,f(x)以A为极限,记作 lim f(x)=A 例如,当充分大时,将与0充分接近,所以加、1 很多场合中,当x趋于正、负无穷大时,f(x)的变化趋势未必一致,这又 需要借助以下概念描述 定义1.3.4如果对于任意给定的E>0,存在X>0,使得当x>X时成立 f(x)-AK 则称x趋于正无穷大时,f(x)以A为极限,记作limf(x)=A 类似地,可以给出imf(x)的定义 关于以上几个概念,显然有类似于定理1.3.6的以下关系。 定理1.37lmf(x)=A的充要条件是 n f(x)=lim f(x)=A 例1.3.11讨论 lim arctan x是否存在。 解由反正切函数的性质,有 X→+

三．单侧极限 函数 f 在某 0 x 两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的。有时，f 原来就只 定义于 0 x 的一侧。这就需要用单侧极限来刻划自变量从 0 x 的一侧趋于 0 x 时函数 值的变化趋势。 定义 1.3.2 如果存在实数 A，对于任意给定的   0，存在   0 ，使得当 0 0 x   x  x 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 A 为 f (x) 在 0 x 处的左极限，记作 0 0 lim xx  f (x)  A 或 f (x0  0)  A。 类似地可以定义 f (x) 在 0 x 处的右极限 0 0 lim xx  f (x) ，即 ( 0) f x0  。 关于函数的极限与左、右极限，显然存在以下关系。 定理 1.3.6 0 lim xx f (x) = A 的充要条件是 0 0 lim xx  f (x) = 0 0 lim xx  f (x) = A。 这就是说，极限存在等价于左、右极限同时存在且相等。 例 1.3.9 符号函数 sgn 在 0 x = 0 处，显然有 0 0 lim x  sgn(x)  1， 0 0 lim x  sgn(x) 1。 即左、右极限均存在，但不相等，因此 0 lim x sgn(x) 并不存在。 关于函数的极限，还有一类重要的情况，即自变量趋于无限的情况。 四．自变量趋于无限时的极限 定义 1.3.3 如果对于任意给定的   0，存在 X  0 ，使得当 | x | X 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 x 趋于无穷大时， f (x) 以 A 为极限，记作 x lim f (x) = A。 例如，当|x|充分大时， x 1 将与 0 充分接近，所以 x lim x 1 = 0。 很多场合中，当 x 趋于正、负无穷大时， f (x) 的变化趋势未必一致，这又 需要借助以下概念描述。 定义 1.3.4 如果对于任意给定的   0，存在 X  0 ，使得当 x  X 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 x 趋于正无穷大时， f (x) 以 A 为极限，记作 x lim f (x) = A。 类似地，可以给出 x lim f (x) 的定义. 关于以上几个概念，显然有类似于定理 1.3.6 的以下关系。 定理 1.3.7 x lim f (x) = A 的充要条件是 x lim f (x) = x lim f (x) = A。 例 1.3.11 讨论 x lim arctan x 是否存在。 解 由反正切函数的性质，有 x lim , 2 arctan  x 

lim arctan= 根据定理1.37, lim arctan x并不存在。 对于单侧极限和自变量趋于无限时的几类极限,定理1.3.2、定理1.3.3、定 理1.34及定理135的相应结论依然成立 例1.3.12求极限lim 6 解利用极限的四则运算法则得 lim 5x4+3 7 例1.3.13证明 lim 1 证首先证明lm1+-=e。对于任何正实数x,有(x]≤x<{x]+1,因 此,当x≥1时,有 [x]+1 利用lm1+-|=e,得到 x}+ 1+ e [x] [x]+1 同样地 lim 1 由夹逼定理,得到 其次,证明im1+1=e。为此,记y=-x。于是当x→∽0时,y→+, 注意到 所以 lim 1+ lm|1+

x lim 2 arctan  x   。 根据定理 1.3.7， x lim arctan x 并不存在。 对于单侧极限和自变量趋于无限时的几类极限，定理 1.3.2、定理 1.3.3、定 理 1.3.4 及定理 1.3.5 的相应结论依然成立。 例 1.3.12 求极限 5 3 7 2 6 lim 4 3 4 2       x x x x x x 。 解 利用极限的四则运算法则得 5 1 3 1 7 5 2 6 1 lim 5 3 7 2 6 lim 3 4 2 4 4 3 4 2               x x x x x x x x x x x x 。 例 1.3.13 证明 x lim e x x         1 1 . 证 首先证明 x lim e x x         1 1 。对于任何正实数 x，有 [x]  x  [x]1 ，因 此，当 x  1 时，有 [ ] [ ] 1 [ ] 1 1 1 1 [ ] 1 1 1                              x x x x x x 。 利用 n lim e n n         1 1 ，得到 x lim e x x x x x x                                    [ ] [ ] 1 1 [ ] 1 1 1 [ ] 1 1 lim 1 [ ] 1 1 1 。 同样地， x lim e x x x x x x                               [ ] 1 1 [ ] 1 lim 1 [ ] 1 1 [ ] 1 [ ] 。 由夹逼定理，得到 x lim e x x         1 1 。 其次，证明 x lim e x x         1 1 。为此，记 y  x 。于是当 x  时， y   ， 注意到 x y y y y x y                             1 1 1 1 1 = y y           1 1 1 ， 所以 x lim y y x x y                    1 1 lim 1 1 1

=e 1→+ 由于x趋于±∞时,1+|均以e为极限,所以 1+ 证毕 注在上例中令x=-,则可得到im(1+y)=e 例1.3.14求下列极限 (2) x 1\a 解(1)利用1+ 得 2)利用m(1+l)=e,得 n = lim 1 例1.3.15放射物的放射速率与放射物的剩留量成正比。设初始时刻t=0 时,放射物质量为M0,试确定时刻t时放射物的质量M(t) 随着时间流逝,放射物质量不断减少,放射速率也逐渐变小,为便于讨论, 我们把时间区间[0,划分为n个小时段 tt 2t 0 t. t n 并近似地认为在每个小时段中放射物具有不变的放射速率 kM,kM()…,AM 其中k是比例常数。这样, M。-kM0-=Mo 类似地,可得 M M。1 如此类推,便得

= y lim e y y y                      1 1 1 1 1 1 1 。 由于 x 趋于   时， x x        1 1 均以 e 为极限，所以 x lim e x x         1 1 。 证毕 注 在上例中令 y x 1  ，则可得到 0 lim y y e y   1 (1 ) 。 例 1.3.14 求下列极限： （1） x lim x x        2 1 ； （2） 0 lim x x x 1 3 1        。 解 （1）利用 e u u         1 1 ，得 x lim x x        2 1   u lim 2 2 2 2 1 1                                 e x x 。 （2）利用 0 lim t   tt  e 1 1 ，得 0 lim x x x 1 3 1        0 lim   x 3 1 3 1 3 3 1 e x x                 。 例 1.3.15 放射物的放射速率与放射物的剩留量成正比。设初始时刻 t  0 时，放射物质量为 M 0 ,试确定时刻 t 时放射物的质量 M (t)。 随着时间流逝，放射物质量不断减少，放射速率也逐渐变小，为便于讨论， 我们把时间区间 [0, t] 划分为 n 个小时段：                    t t n n n t n t n t , 1 , , 2 0, , ,  ， 并近似地认为在每个小时段中放射物具有不变的放射速率：              t n n k M n t k M k M 1 , , , 0  ， 其中 k 是比例常数。这样，                 n k t M n t M k M n t M 0 0 0 1 。 类似地，可得                     n k t n t M n t M 1 2 2 0 1         n kt M 。 如此类推，便得

M(n)≈M1 kt 上式左、右两边存在误差的原因在于假设每个小时段中放射速率不变。自然 设想可以增大n以提高精确度,从而得到 M(o=lim Moll Mol lim 1 M 需要指出的是,本例中先取近似值,再通过极限过程求得精确解的方法,体 现了微积分的一种基本思想。 注严格地说,上述几例推导中应用了幂函数的连续性,这一点下节将会提 五.习题 1.(1)、(2),2,3.(1)、(3)、(5)、(6),4.(2)、(4)、(6)、(8),5,6,7.(1)、 (2)、(4)

n n kt M t M       ( )  0 1 。 上式左、右两边存在误差的原因在于假设每个小时段中放射速率不变。自然 设想可以增大 n 以提高精确度，从而得到   n M (t) lim n n kt M       0 1 = n lim M 0 kt kt n kt n                       1 1 = M 0 kt kt n kt n n                        1 lim 1 = kt M e  0 。 需要指出的是，本例中先取近似值，再通过极限过程求得精确解的方法，体 现了微积分的一种基本思想。 注 严格地说，上述几例推导中应用了幂函数的连续性，这一点下节将会提 到。 五．习 题 1．（1）、（2），2，3．（1）、（3）、（5）、（6），4．（2）、（4）、（6）、（8），5，6，7．（1）、 （2）、（4）