§3逆矩阵 +a12x2+…+a1mxm=b 线性方程组{4x+ax+ Cim 十anX,+… nn 写成矩阵的形式AX=B a.)解向量x1 11 12 其中: X B 系数矩阵 mxI nm/nxm 解线性方程组的问题转化成求列矩阵X的问题,而求 X的方法就是矩阵的除法,为此引入逆矩阵的概念, 2011/9/3
2011/9/3 1 §3 逆矩阵 线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 写成矩阵的形式 AX B 其中： 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm n m a a a a a a A a a a 系数矩阵 1 2 m m 1 x x X x 解向量 1 2 n n 1 b b B b 解线性方程组的问题转化成求列矩阵X的问题，而求 X 的方法就是矩阵的除法，为此引入逆矩阵的概念
逆矩阵的概念 1、定义对于n阶方阵A,若存在一个m阶方阵B, 满足AB=BA=I 则称B为A的逆矩阵(A也称为B的逆矩阵), 记为A这是称是可逆阵(简称可逆) 2、定义若n阶方阵,满足4≠0,则称4为非奇异矩 阵,(简称非奇阵),否则称A为奇异矩阵。 3、定理n阶方阵A可逆的分>A是非奇异阵 证:"→”:A可逆,:AA= 又由行列式性质:44=414=1=1 4≠0即A是非奇异阵 2011/9/3 同时也得到了Hf1-1
2011/9/3 2 一、逆矩阵的概念 1、定义 对于n 阶方阵A，若存在一个n阶方阵B， 则称 B为 A 的逆矩阵（A 也称为B 的逆矩阵）， 记为 A-1这是称A是可逆阵（简称可逆）。 2、定义 若n 阶方阵，满足|A|≠0，则称A为非奇异矩 3、定理 n 阶方阵A可逆的 A 是非奇异阵 证： " " ∵A可逆， 1 A A I 又由行列式性质： 1 1 A A A A I 1 A 0 即A是非奇异阵 同时也得到了 1 1 A A 满足 AB BA I 阵，（简称非奇阵）, 否则称A为奇异矩阵
"记4的伴随矩阵为: 21 12 2 其中A为a:的代数余子式, In 2 则有 11 n 0 AA 2 0 nI nn A1 nn A是非奇异阵,即|4≠0→A 由逆矩阵定义得: 即A可逆 2011/9/3 3
2011/9/3 3 " " 记A的伴随矩阵为： 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A 其中Aij为aij的代数余子式， 则有 * AA 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A a a a A A A 0 0 0 0 0 0 A A A 即 * AA A I ∵A是非奇异阵，即 A 0 * A A I A ∴ 由逆矩阵定义得： * 1 A A A 即A可逆
例1、设A cos sin e 求A sin 6 cos 6 cos sin e 解:∵:|A cosx+sinx=1 sin 0 cos 0 即4≠0∴彐A1 A 1(4 A2cos0 -sin 0 12 sin cos 6 用 求逆矩阵的方法较适用于低阶的 可逆矩阵,但是求n阶矩阵的逆矩阵要求算出 n2个n-1阶行列式和一个n阶行列式。 2011/9/3
2011/9/3 4 cos sin sin cos A 例1、设 求 1 A 解： cos sin sin cos A 2 2 cos sin 1 x x 即 A 0 1 A * 1 A A A 11 21 12 22 1 A A A A A cos sin sin cos 用 求逆矩阵的方法较适用于低阶的 * 1 A A A 可逆矩阵，但是求n 阶矩阵的逆矩阵要求算出 n 2 个 n-1 阶行列式和一个 n 阶行列式
4、逆矩阵的性质:(设A、B均是同阶可逆矩阵阵) 1)(4-)1=A 2)可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。 3)若AB=Ⅰ或BA=之一成立,则B=A1 4)(4)1=(A) 5)(AB)=B4 6)若A可逆,数k≠0,则k4也可可逆,且 (k4)=kA1 2011/9/3
2011/9/3 5 （设A、B 均是同阶可逆矩阵阵） 1 1 1) ( ) A A 4、逆矩阵的性质： 2) 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。 若 AB = I 或 BA = I 之一成立，则 B = A-1 3) 1 1 4) ( ) ( ) T T A A 1 1 1 5) ( ) AB B A 6) 若 A 可逆，数 k≠ 0，则 kA 也可可逆，且 1 1 1 ( ) kA k A 1 1 7) A A
二、用初等变换求逆矩阵 若有一列n阶方阵B1,B2,…,Bmn从一个方向依 依次乘A(假如左乘),即BnB2B14,使得A变成 了单位矩阵,即Bn…B,BA=I( Bn…B2B4=|Bn-B1|B14=1=1→|BnB1|B1|≠0 因此B1,B2,…,Bm都是可逆的;且 B…B,B,AA=IA即A=B1…B,B1Ⅰ( 所以Bn…B2B1为A的逆矩阵 从()→(*)说明:若将一串矩阵同时作用于 矩阵A和单位矩阵Ⅰ,则它们在将A变成单位阵I 的同时,将单位阵/变成了A1所以,只要设法找 到这样一串矩阵Bn,B2,…,Bn即可求出逆阵
2011/9/3 6 二、用初等变换求逆矩阵 若有一列n 阶方阵 B1，B2，…，Bm 从一个方向依 2 1 (*) B B B A I m B B B A B B B A m m 2 1 2 1 I 1 2 1 0 B B B m 因此 B1，B2，…，Bm 都是可逆的；且 1 1 B B B AA IA m 2 1 即 1 2 1 (* ) A B B B I m 所以 Bm … B2B1为A 的逆矩阵。 从（*）→（*’）说明：若将一串矩阵同时作用于 矩阵 A 和单位矩阵I ，则它们在将A 变成单位阵I 了单位矩阵，即 依次乘 A（假如左乘），即 Bm…B2B1A ，使得 A 变成 的同时，将单位阵I 变成了A-1 . 所以，只要设法找 到这样一串矩阵B1，B2，…，Bm 即可 求出逆阵
、初等矩阵 由单位矩阵/经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。有三种类形: 定理: 1)将n阶单位阵I的第i行与第j行互换(或第i列与 第j列互换)所得的矩阵称为第一类初等矩阵。 容易验证: (Ei)=ei 0 第i行 说明: 第j行 E可逆 2011/9/3
2011/9/3 7 1、初等矩阵 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。有三种类形： 定理： 1）将n 阶单位阵I 的第i 行与第j 行互换（或第i 列与 1 1 0 1 1 0 1 1 Eij 第i 行 第j 行 容易验证： 1 ( ) E E ij ij 说明： Eij 可逆 第j 列互换）所得的矩阵称为第一类初等矩阵
2)将n阶单位阵的第i行(或第列)乘非零常数2 所得的矩阵称为第二类初等矩阵。 第i行 容易验证:(P()=P 说明:P1()可逆 2011/9/3
2011/9/3 8 2）将n 阶单位阵I 的第i 行（或第i 列）乘非零常数λ 1 ( ) 1 1 Pi 第i 行 容易验证： 1 1 ( ( )) P P i i 说明： Pi (λ) 可逆 所得的矩阵称为第二类初等矩阵
3)将n阶单位阵Ⅰ的第i行乘常数λ加到第行(或 第j列乘常数λ加到第i列)所得的矩阵称为第 类初等矩阵。 第i行 T()= 第j行 容易验证:(T(4)=T(-4) 说明:71(2)可逆 以上三类初等矩阵统称为初等矩阵 2011/9/3 9
2011/9/3 9 3）将n 阶单位阵I 的第i 行乘常数 λ 加到第j 行（或 1 1 ( ) 1 1 Tij 第i 行 第j 行 容易验证： 1 ( ( )) ( ) T T ij ij 说明： Tij (λ) 可逆 以上三类初等矩阵统称为初等矩阵。 第j 列 乘常数 λ 加到第i 列）所得的矩阵称为第 三类初等矩阵
定理: 1)用E左乘(右乘)矩阵4相当于互换A的第i行 与第行(或第i与第列)。F分r(Cc1>C) 统 2)用P(4)左乘(右乘)矩阵A相当于用2乘A 的第行(或第列)。 k(c;×k) 3)用T (4)左乘(右乘)矩阵A相当于A的第 称为矩阵的初等变 (第j列)乘常数λ加到第/行(第i列)。 k+r(c,xk+c)换 以上三种变换分别称为矩阵的第一、第二 第三类初等行(列)变换。 与行列式的运算有什么不同? 2011/9/3 10
2011/9/3 10 定理： 1）用Eij 左乘（右乘）矩阵A 相当于 2）用Pi (λ) 左乘（右乘）矩阵A 相当于 3）用Tij (λ) 左乘（右乘）矩阵A 相当于 以上三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 ( ) i j i j r r c c ( ) i j r k c k ( ) j i j i r k r c k c 统 称 为 矩 阵 的 初 等 变 换 互换A 的第i 行 与第j 行（或第i 与第j 列）。 用λ 乘 A 的第i 行（或第i 列）。 A 的第i 行 （第j 列）乘常数 λ 加到第j 行（第i 列）。 第三类初等行（列）变换。 与行列式的运算有什么不同 ?