BC]=BLA,]+[A, BC 以第一式为例证明如下。 LAB, C]=ABC-CAB= ABC-ACB+ ACB-CAB A(BC-CB)+(AC-CA)B=A [B, C]+[A,C]B. (4)对易括号满足 jacobi恒等式 A,[B,C]]+[B,[C,4]+[C,[A,B]=0. (5)量子力学的基本对易括号是 [P1,P]=0 [P,x]=-请h可=-[x,pl 其中i=12,3分别代表x,y,z,的定义是 第一个基本对易括号的正确性是一目了然的。第二个基本对易括号利用了“混合偏导数与求导的次序无 关”的法则,即 oy ay ax axax ax 第三个基本对易括号的证明如下: IPi,,ly=p; y-ip,y a(xv) ay 利用上面给出的基本对易括号和对易括号的运算法则,我们又不难证明 aF [,F=i一,[ 2F] OF 其中F=F(x,),以及对于y和z的类似式子,还有角动量算符的对易关系 ]=i,[,L]=i,[,]=ih 其中 L, =yp. E2-xP2,L2=x,- 以及 L2,D1=L2,L.1=[2,L 其中 L2=2+L 我们以后将会看到,算符之间满足什么对易关系是算符的非常重要的量子力学性质 作业:习题3.1;3.2,3.3,343 A BC B A C A B C ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ ˆ , ˆ [ = + . 以第一式为例证明如下。 AB C A ˆ B ˆ C ˆ C ˆ A ˆ B ˆ A ˆ B ˆ C ˆ A ˆ C ˆ B ˆ A ˆ C ˆ B ˆ C ˆ A ˆ B ˆ ] ˆ , ˆ ˆ [ = − = − + − A BC CB AC CA B A B C A C B ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ( = ˆ − + − = + . ▌ （4）对易括号满足 Jacobi 恒等式 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , [ , ]] [ , [ , ]] [ ,[ , ]] 0. A B C B C A C A B + + = （5）量子力学的基本对易括号是 [x ˆ i , x ˆ j ] = 0 , [ p ˆ i , p ˆ j ] = 0 , [ , ] i [ , ], ˆ ˆ ˆ ˆ i j ij i j p x x p = − = −  其中 i = 1, 2, 3 分别代表 x, y, z ， ij 的定义是    =  = i j i j ij 1. 0,  . 第一个基本对易括号的正确性是一目了然的。第二个基本对易括号利用了“混合偏导数与求导的次序无 关”的法则，即 2 2 . i j j i x x x x     =     第三个基本对易括号的证明如下：           −   = − = − i j i j i j i j j i x x x x p x p x x p      ( ) [ ˆ , ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ i        i j i j i i j j x x x i  x = −i            −   = − + . ▌ 利用上面给出的基本对易括号和对易括号的运算法则，我们又不难证明： ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , ˆ ˆ x x F F x F p F p x   = = −   其中 ˆ ( , ) ˆ ˆ F F x p = x ，以及对于 y 和 z 的类似式子，还有角动量算符的对易关系 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , [ , ] i L L L L L L L L L x y z y z x z x y = = = , 其中 x z y y x z z y px L y p z p L z p x p L x ˆ p ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ = − = − = − , 以及 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] 0, L L L L L L x y z = = = 其中 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ . L L L L = + + x y z 我们以后将会看到，算符之间满足什么对易关系是算符的非常重要的量子力学性质。 作业：习题 3.1; 3.2; 3.3; 3.4