《量子力学》第三章 力学量用算符表达（3.1）算符的运算

第三章力学量用算符表达 §3.1算符的运算 1.基本的和导出的力学量算符 我们在§1.1中已经引入了用算符来代表力学量的概念 算符就是可以作用于波函数把它变成另一个函数的运算。所以,在本质上,算符属于“函数变换” 这一类的数学对象 此后代表力学量F的算符将记做F 量子力学中基本的力学量算符是: 坐标算符:r=r,也就是x=x 动量算符:p=-ihV,也就是=-1 这意思是说: xy=xy p,y=-ih y ax 有了它们以后,其它的力学量算符按下列规则来构成:若在经典力学中力学量F用坐标和动量表出的关 系式是 F=f(,P (∫代表一个函数关系),那么F所对应的算符就是 F=f(,p)=f( r.-inv) 其中∫是同样的关系式。我们已经在§1.1中据此引进了粒子的 Hamiltonian算符和轨道角动量算符 更准确地说,上面所定义的算符应该称作是“坐标表象”中的算符 同时我们也要指出:在量子力学中有一些量是没有经典力学的对应物的,比如宇称和自旋角动量 那时我们就要直接从量子力学的分析出发来引进它们的算符 2.线性算符 在量子力学中考虑的力学量(又称可观察量)算符都是线性算符 线性算符有如下的性质: F(c1W1+c2v2)=c1(Fv1)+c2(Fv2) 其中c1,C2是复常数。这是为了满足叠加原理的要求。 算符的运算和伴生算符 算符的基本运算是相加和相乘,定义为 (F+Gy=Fy+Gy, (y) (FG)U=FGGy). (Vy) 可以注意:算符的加和乘仍然满足分配律,即 C=AC+BC A(B+C)=AB+AC 常数C也可以看作是算符,满足 (cF)y=(Fc)y=c(Fy). (y) 算符的“相等”定义为:若 ∥=Gv,(Vy) “单位算符”Ⅰ定义为 y. (Vy) 所以

1 第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算 1．基本的和导出的力学量算符 我们在§1.1 中已经引入了用算符来代表力学量的概念。 算符就是可以作用于波函数把它变成另一个函数的运算。所以，在本质上，算符属于“函数变换” 这一类的数学对象。 此后代表力学量 F 的算符将记做 F ˆ 。 量子力学中基本的力学量算符是： 坐标算符： r r   = ˆ ，也就是 x x ˆ = , 动量算符： ˆ p = −  i ，也就是 ˆ i , x p x  = −  这意思是说： x x ˆ   = , ˆ i , x p x    = −  有了它们以后，其它的力学量算符按下列规则来构成：若在经典力学中力学量 F 用坐标和动量表出的关 系式是 F f (r, p),   = （ f 代表一个函数关系），那么 F 所对应的算符就是： ) ( , i ), ˆ , ˆ ( ˆ = = −     F f r p f r 其中 f 是同样的关系式。我们已经在§1.1 中据此引进了粒子的 Hamiltonian 算符和轨道角动量算符。 更准确地说，上面所定义的算符应该称作是“坐标表象”中的算符。 同时我们也要指出：在量子力学中有一些量是没有经典力学的对应物的，比如宇称和自旋角动量。 那时我们就要直接从量子力学的分析出发来引进它们的算符。 2．线性算符 在量子力学中考虑的力学量（又称可观察量）算符都是线性算符。 线性算符有如下的性质： ) ˆ ) ( ˆ ( ) ( ˆ 11 2 2 1 1 2 F 2 F c + c = c F + c , 其中 1 2 c , c 是复常数。这是为了满足叠加原理的要求。 3．算符的运算和伴生算符 算符的基本运算是相加和相乘，定义为 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) , ( ) F G F G + = +      ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ). ( ) FG F G    =  可以注意：算符的加和乘仍然满足分配律，即 A B C ˆ A ˆ C ˆ B ˆ C ˆ ) ˆ ˆ ( + = + , A B C A ˆ B ˆ A ˆ C ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ + = + . 常数 c 也可以看作是算符，满足 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ). ( ) cF Fc c F     = =  算符的“相等”定义为：若 ˆ ˆ F G    =  , ( ) 则 ˆ ˆ F G= . “单位算符” ˆ I 定义为 ˆ I   =  . ( ) 所以

IF=FI 所以也有时候就把它写为1。 由于算符的基本运算是加和乘,所以并不是任何的算符“函数”都是有意义的,除非这个函数可以 被展开为收敛的幂级数,即,如果一个复函数f(=)可以写为 f(=) Cn 那么算符O的函数f(O)就定义为 个常用的例子是指数函数eO,它定义为 所以不难验证 a"d"y y(x)= =y(x+a) 除此之外,像1/O(逆算符)这样的“函数”只在算符“可逆”的情况下才有意义。 由一个算符F还可以产生它的一些“伴生”算符。在量子力学里最常用的是F的 Hermitian(厄密) 共轭算符,记为F+,定义为:若 Jw(Fp)dr=(F*w)'o dr,(Vw,o) 则F+称为F的 Hermitian共轭算符 定义:若算符F满足 也就是说, ∫v(Fp)dr=∫(Fv)pdr,(v,) 那么F称为自厄密共轭算符,简称为 Hermitian(厄密的)算符。 其他的一些伴生算符,例如复共轭算符,转置算符等等,今后用得不多,这里就不细讲了。 4.算符的对易关系 两个算符相乘的结果可能与乘的次序有关,也就是说,算符的乘积一般说是不满足交换律的。 定义:表达式 , G=FG-GF 称为F和G的对易括号或对易子。在[F,G]=0时,称F和G对易,否则称为不对易。对易也就是“可 以交换位置”。 我们经常需要进行对易括号的运算,以便从已知的对易括号导出新的对易括号 对易括号的基本性质如下。 (1)对易括号是交换反对称的,即 [A,B]=-[B,小 (2)对易括号是线性的,即 +B,C]=[4C]+[B,C [A,B+C]=[A,B]+[A,C] [cA, B=[A,cB=clA, B 其中c是常数。 (3)算符乘积的对易括号的展开法则是 [AB,C]=AB, C]+[A, C]B

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ I F F I F F = =  . ( ) 所以也有时候就把它写为 1。 由于算符的基本运算是加和乘，所以并不是任何的算符“函数”都是有意义的，除非这个函数可以 被展开为收敛的幂级数，即，如果一个复函数 f z( ) 可以写为 0 ( ) , n n n f z c z  = =  那么算符 O ˆ 的函数 ˆ f O( ) 就定义为 0 ˆ ˆ ( ) . n n n f O c O  = =  一个常用的例子是指数函数 ˆ e O ，它定义为 ˆ 0 1 ˆ e . ! O n n O n  = =  所以不难验证 ( / ) 0 e ( ) ( ). ! n n a d dx n n a d x x a n dx     = = = +  除此之外，像 ˆ 1/O （逆算符）这样的“函数”只在算符“可逆”的情况下才有意义。 由一个算符 F ˆ 还可以产生它的一些“伴生”算符。在量子力学里最常用的是 F ˆ 的 Hermitian（厄密） 共轭算符，记为 F ˆ + ，定义为：若 ˆ ˆ         ( ) ( ) , ( , ) F d F d  +    =  则 + F ˆ 称为 F ˆ 的 Hermitian 共轭算符。 定义：若算符 F ˆ 满足 F ˆ = F ˆ + , 也就是说， ˆ ˆ         ( ) ( ) , ( , ) F d F d     =  那么 F ˆ 称为自厄密共轭算符，简称为 Hermitian（厄密的）算符。 其他的一些伴生算符，例如复共轭算符，转置算符等等，今后用得不多，这里就不细讲了。 4. 算符的对易关系 两个算符相乘的结果可能与乘的次序有关，也就是说，算符的乘积一般说是不满足交换律的。 定义：表达式 F G F ˆ G ˆ G ˆ F ˆ ] ˆ , ˆ [  − 称为 F ˆ 和 G ˆ 的对易括号或对易子。在 ] 0 ˆ , ˆ [F G = 时，称 F ˆ 和 G ˆ 对易，否则称为不对易。对易也就是“可 以交换位置”。 我们经常需要进行对易括号的运算，以便从已知的对易括号导出新的对易括号。 对易括号的基本性质如下。 （1）对易括号是交换反对称的，即 ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [A B = − B A . （2）对易括号是线性的，即 ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ˆ [A + B C = A C + B C , ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ ˆ , ˆ [A B + C = A B + A C , ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [cA B = A cB = c A B , 其中 c 是常数。 （3）算符乘积的对易括号的展开法则是 AB C A B C A C B ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ , ˆ ˆ [ = +

BC]=BLA,]+[A, BC 以第一式为例证明如下。 LAB, C]=ABC-CAB= ABC-ACB+ ACB-CAB A(BC-CB)+(AC-CA)B=A [B, C]+[A,C]B. (4)对易括号满足 jacobi恒等式 A,[B,C]]+[B,[C,4]+[C,[A,B]=0. (5)量子力学的基本对易括号是 [P1,P]=0 [P,x]=-请h可=-[x,pl 其中i=12,3分别代表x,y,z,的定义是 第一个基本对易括号的正确性是一目了然的。第二个基本对易括号利用了“混合偏导数与求导的次序无 关”的法则,即 oy ay ax axax ax 第三个基本对易括号的证明如下: IPi,,ly=p; y-ip,y a(xv) ay 利用上面给出的基本对易括号和对易括号的运算法则,我们又不难证明 aF [,F=i一,[ 2F] OF 其中F=F(x,),以及对于y和z的类似式子,还有角动量算符的对易关系 ]=i,[,L]=i,[,]=ih 其中 L, =yp. E2-xP2,L2=x,- 以及 L2,D1=L2,L.1=[2,L 其中 L2=2+L 我们以后将会看到,算符之间满足什么对易关系是算符的非常重要的量子力学性质 作业:习题3.1;3.2,3.3,34

3 A BC B A C A B C ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ ˆ , ˆ [ = + . 以第一式为例证明如下。 AB C A ˆ B ˆ C ˆ C ˆ A ˆ B ˆ A ˆ B ˆ C ˆ A ˆ C ˆ B ˆ A ˆ C ˆ B ˆ C ˆ A ˆ B ˆ ] ˆ , ˆ ˆ [ = − = − + − A BC CB AC CA B A B C A C B ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ( = ˆ − + − = + . ▌ （4）对易括号满足 Jacobi 恒等式 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , [ , ]] [ , [ , ]] [ ,[ , ]] 0. A B C B C A C A B + + = （5）量子力学的基本对易括号是 [x ˆ i , x ˆ j ] = 0 , [ p ˆ i , p ˆ j ] = 0 , [ , ] i [ , ], ˆ ˆ ˆ ˆ i j ij i j p x x p = − = −  其中 i = 1, 2, 3 分别代表 x, y, z ， ij 的定义是    =  = i j i j ij 1. 0,  . 第一个基本对易括号的正确性是一目了然的。第二个基本对易括号利用了“混合偏导数与求导的次序无 关”的法则，即 2 2 . i j j i x x x x     =     第三个基本对易括号的证明如下：           −   = − = − i j i j i j i j j i x x x x p x p x x p      ( ) [ ˆ , ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ i        i j i j i i j j x x x i  x = −i            −   = − + . ▌ 利用上面给出的基本对易括号和对易括号的运算法则，我们又不难证明： ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , ˆ ˆ x x F F x F p F p x   = = −   其中 ˆ ( , ) ˆ ˆ F F x p = x ，以及对于 y 和 z 的类似式子，还有角动量算符的对易关系 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , [ , ] i L L L L L L L L L x y z y z x z x y = = = , 其中 x z y y x z z y px L y p z p L z p x p L x ˆ p ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ = − = − = − , 以及 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] 0, L L L L L L x y z = = = 其中 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ . L L L L = + + x y z 我们以后将会看到，算符之间满足什么对易关系是算符的非常重要的量子力学性质。 作业：习题 3.1; 3.2; 3.3; 3.4