《量子力学》第四章守恒量与对称性（4.2）对称性与守恒量.doc_大学文库

1 §4.2 对称性与守恒量 1．对称性变换许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。设系统的状态用  描写，  随时间的演化服从 Schrödinger 方程 ˆ i . H t  =   假设  受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换 Q ˆ ，即 ˆ  →  =   Q , 而且反过来说有 ˆ 1 Q , −  =  那么系统对于变换的不变性表现为  服从与  相同的运动方程，即有 ˆ i . H t  =   将上式代入，得到 ˆ ˆ ˆ i , Q HQ t  =   也就是说 ˆ 1 ˆ ˆ i , Q HQ t  − =   所以 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ Q HQ H, − = 或者 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] 0. Q H QH HQ  − = 这就是系统在变换 Q ˆ 的作用下保持不变的数学表达。 Q ˆ 称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒，变换前后的波函数内积应该保持不变，即 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), Q Q Q Q+   =   =   =     所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q QQ I. + + = = 满足这种条件的变换称为幺正变换（unitary transformation）。在物理上考虑的对称变换总是构成群，称为系统的对称群。如果它是连续群（或称 Lie 群），那么我们就可以只考虑群的单位元素（恒等变换）附近的无穷小邻域，即取 ˆ ˆ ˆ Q I F = + i ,  其中  是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件，略去  的高阶项，就得 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q I F I F I F F I ( i )( i ) i ( ) ,    + + + = − + = + − = 所以 ˆ ˆ F F , + = 就是说， F ˆ 是一个 Hermitian 算符，而且它显然也满足 ˆ ˆ [ , ] 0, F H = 所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言， F ˆ 称为 Q ˆ 的无穷小算符，或者 Q ˆ 的生成元。当然，这样导出的 F ˆ 可以包含任意的常数因子（也就是说 F ˆ 的单位并没有被确定），这个问题只用对称性是无法回答的。 2．空间平移不变性与动量守恒以一维系统为例。考虑沿 x 方向的无穷小平移 x x x x → = −   . 对于这个式子（变换）可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动，物理系统整个地移动了一个小距离；另一种是物理系统没有移动，坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换，后者称为“被

动的”变换。容易发现,由于运动是相对的,这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前种理解。所以波函数的变换是 "(x)=H(x), (参见书上的图42)。把无穷小平移变换代入,得到 (x-ox)=(x) 但是x是变量,所以也可以写 (x=p(x+sx) 如果δx是小量,那么 (x)=平P(x)+6x =1+x、O YY() 与无穷小对称变换′=(1+iEF)H对比,我们可以写 H(x)=1+i应2N(x) 其中 Pr=-ih 是一个 Hermitian算符,它正是沿x方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换x=x-a,那么波函数的变换是 p'(x)=Y(x+a)=eapry(x)=ea(lax)(x) 这个式子我们已经在前面写过了。根据定义,e"是一个幺正变换(算符),这称为幺正算符的指数形式(或指数化)。同样的论述当然也可以推广到沿y方向和方向的平移,所以三维空间的平移变换是 →r=P+o7 它所对应的三维动量算符是 p=-inV 所谓的系统具有空间平移不变性,就是 H(=HG+Sr), 而我们不难验证,如果H具有这个性质,那么确实就有 [p,H=0, 所以动量是守恒的与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们早已知道了这件事情:如果H与时间无关(也就是说在时间平移下是不变的),那么它(也就是能量) 是守恒的 3.空间旋转不变性与角动量守恒先考虑一个比较简单的情形:系统绕轴旋转一个小角度,即做变换φ→>’=q-(q就是球坐标中的方位角),那么进行与前面完全类似的推导,可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是而它就是角动量算符的z分量。同理,系统绕x轴或y轴旋转所对应的无穷小算符分别是Lx和L,(这个结论与我们采用什么坐标系无关)。更一般地说,三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r→r=+o×r, 其中≡n,oq是旋转的角度,n是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数,那么仍然有 H"(F)=P(F), 所以

2 动的”变换。容易发现，由于运动是相对的，这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前一种理解。所以波函数的变换是  =   ( ) ( ) x x ，（参见书上的图 4.2）。把无穷小平移变换代入，得到  − = ( ) ( ) x x x  ，但是 x 是变量，所以也可以写  = + ( ) ( ). x x x  如果  x 是小量，那么 ( ) ( ) ( ) 1 ( ). x x x x x x x x        = + = +         与无穷小对称变换 ˆ ˆ  = +   ( i ) I F 对比，我们可以写 ( ) 1 i ( ), ˆ x x x p x     = +       其中 ˆ i x p x   −  是一个 Hermitian 算符，它正是沿 x 方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换 x x a  = − ，那么波函数的变换是 i / ˆ ( / ) ( ) ( ) e ( ) e ( ). x a p a x x x a x x    =  + =  =   而这个式子我们已经在前面写过了。根据定义， i / ˆ e x a p 是一个幺正变换（算符），这称为幺正算符的指数形式（或指数化）。同样的论述当然也可以推广到沿 y 方向和 z 方向的平移，所以三维空间的平移变换是 r r r r → = +   , 它所对应的三维动量算符是 ˆ p = −  i . 所谓的系统具有空间平移不变性，就是 ˆ ˆ H r H r r ( ) ( ), = +  而我们不难验证，如果 H ˆ 具有这个性质，那么确实就有 ˆ ˆ [ , ] 0, p H = 所以动量是守恒的。与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们早已知道了这件事情：如果 H ˆ 与时间无关（也就是说在时间平移下是不变的），那么它（也就是能量）是守恒的。 3．空间旋转不变性与角动量守恒先考虑一个比较简单的情形：系统绕 z 轴旋转一个小角度  ，即做变换     → = −  （  就是球坐标中的方位角），那么进行与前面完全类似的推导，可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是 ˆ i , Lz   = −  而它就是角动量算符的 z 分量。同理，系统绕 x 轴或 y 轴旋转所对应的无穷小算符分别是 ˆ Lx 和 ˆ Ly （这个结论与我们采用什么坐标系无关）。更一般地说，三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r r r r → = +    , 其中    n ， 是旋转的角度， n 是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数，那么仍然有  =   ( ) ( ) r r ，所以

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ), r r r r r r r r    ( )  = −  = −   = −     其中 ( )     r 可以改写为     ( ) r （因为  是常矢量），所以 ( ) ˆ ( ) 1 ( ) ( ) 1 i ( ), r r r L r      = −     = −        其中 ˆ ˆ ˆ L r r p = −   =  i 正是做为矢量的角动量算符。当然，非无穷小旋转变换也应该用指数形式： ˆ i / ( ) ( ) e ( ). L r r r r     =  −  =   空间的旋转不变性直观说来就是空间没有特殊的方向，或者说空间是各向同性的，写成式子就是 ˆ ˆ H r H r r ( ) ( ), = +   在这个时候我们就有 ˆ ˆ [ , ] 0, L H = 所以角动量是守恒的。 4．离散对称性及离散守恒量我们在前面说过，对称性变换的算符应该是幺正算符。但一般地说，幺正算符不是 Hermitian 算符，因而不是可观察量，这就是我们为什么在前面要把它指数化的原因。但是也不排除这样的情形：幺正算符同时也是 Hermitian 算符，就是说它满足 ˆ ˆ ˆ 1 Q Q Q , + − = = 那么它也就是可观察量。从上式我们发现： ˆ 2 ˆ Q I = . 所以 Q ˆ 的本征值只可能是 1 。所以这是离散的对称性，对应的也是离散的守恒量。一个典型的例子是空间反射变换 P ˆ ， ˆ P r r  =  − ( ) ( ), 显然，它对应的守恒量就是宇称。如果 ˆ ˆ H r H r ( ) ( ), − = 那么就有 ˆ ˆ [ , ] 0, P H = 所以宇称是守恒的。注意：正像我们以前已经强调过的那样，“定态（能量本征态）有确定的宇称”和 “宇称守恒”是不同的两件事情，尽管它们都源于 ˆ ˆ [ , ] 0 P H = 。李政道和杨振宁在 1956 年提出了“弱相互作用中宇称不守恒”，对现代物理学的发展做出了划时代的贡献。所以，关于对称性（或者说守恒定律）在物理学中的地位，我们应该这样说：对称（守恒）和不对称（不守恒）在物理学中是同样地重要的和美妙的，缺一不可。作业：习题 4.6; 4.7

《量子力学》第四章 守恒量与对称性（4.2）对称性与守恒量

《量子力学》第四章守恒量与对称性（4.2）对称性与守恒量