§4.2对称性与守恒量 1.对称性变换 许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。 设系统的状态用屮描写,平随时间的演化服从 Schrodinger方程 a Hy 假设屮受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换Q,即 屮→Y"=OV, 而且反过来说有 y=O 那么系统对于变换的不变性表现为Y服从与平相同的运动方程,即有 y Hy 将上式代入,得到 ayp 力O HOP 也就是说 所以 H 或者 这就是系统在变换Q的作用下保持不变的数学表达。Q称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒,变 换前后的波函数内积应该保持不变,即 OO=00=/ 满足这种条件的变换称为幺正变换( unitary transformation) 在物理上考虑的对称变换总是构成群,称为系统的对称群。如果它是连续群(或称Lie群),那么 我们就可以只考虑群的单位元素(恒等变换)附近的无穷小邻域,即取 O=/+ia 其中E是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件,略去E的高阶项,就得 00=(-18F(+18F)=/+iEF-F=/ 所以 F=A 就是说,F是一个 Hermitian算符,而且它显然也满足 [F,H]=0, 所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言,F称为Q的无穷小算符,或者Q 的生成元。当然,这样导出的F可以包含任意的常数因子(也就是说F的单位并没有被确定),这个问 题只用对称性是无法回答的 2.空间平移不变性与动量守恒 以一维系统为例。考虑沿x方向的无穷小平移 对于这个式子(变换)可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动,物理系统整个地移动了一个小距离 另一种是物理系统没有移动,坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换,后者称为“被
1 §4.2 对称性与守恒量 1．对称性变换 许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。 设系统的状态用 描写， 随时间的演化服从 Schrödinger 方程 ˆ i . H t = 假设 受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换 Q ˆ ，即 ˆ → = Q , 而且反过来说有 ˆ 1 Q , − = 那么系统对于变换的不变性表现为 服从与 相同的运动方程，即有 ˆ i . H t = 将上式代入，得到 ˆ ˆ ˆ i , Q HQ t = 也就是说 ˆ 1 ˆ ˆ i , Q HQ t − = 所以 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ Q HQ H, − = 或者 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] 0. Q H QH HQ − = 这就是系统在变换 Q ˆ 的作用下保持不变的数学表达。 Q ˆ 称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒，变 换前后的波函数内积应该保持不变，即 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), Q Q Q Q+ = = = 所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q QQ I. + + = = 满足这种条件的变换称为幺正变换（unitary transformation）。 在物理上考虑的对称变换总是构成群，称为系统的对称群。如果它是连续群（或称 Lie 群），那么 我们就可以只考虑群的单位元素（恒等变换）附近的无穷小邻域，即取 ˆ ˆ ˆ Q I F = + i , 其中 是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件，略去 的高阶项，就得 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q I F I F I F F I ( i )( i ) i ( ) , + + + = − + = + − = 所以 ˆ ˆ F F , + = 就是说， F ˆ 是一个 Hermitian 算符，而且它显然也满足 ˆ ˆ [ , ] 0, F H = 所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言， F ˆ 称为 Q ˆ 的无穷小算符，或者 Q ˆ 的生成元。当然，这样导出的 F ˆ 可以包含任意的常数因子（也就是说 F ˆ 的单位并没有被确定），这个问 题只用对称性是无法回答的。 2．空间平移不变性与动量守恒 以一维系统为例。考虑沿 x 方向的无穷小平移 x x x x → = − . 对于这个式子（变换）可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动，物理系统整个地移动了一个小距离； 另一种是物理系统没有移动，坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换，后者称为“被
动的”变换。容易发现,由于运动是相对的,这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前 种理解。所以波函数的变换是 "(x)=H(x), (参见书上的图42)。把无穷小平移变换代入,得到 (x-ox)=(x) 但是x是变量,所以也可以写 (x=p(x+sx) 如果δx是小量,那么 (x)=平P(x)+6x =1+x、O YY() 与无穷小对称变换′=(1+iEF)H对比,我们可以写 H(x)=1+i应2N(x) 其中 Pr=-ih 是一个 Hermitian算符,它正是沿x方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换x=x-a,那么 波函数的变换是 p'(x)=Y(x+a)=eapry(x)=ea(lax)(x) 这个式子我们已经在前面写过了。根据定义,e"是一个幺正变换(算符),这称为幺正算符的指 数形式(或指数化)。同样的论述当然也可以推广到沿y方向和方向的平移,所以三维空间的平移变 换是 →r=P+o7 它所对应的三维动量算符是 p=-inV 所谓的系统具有空间平移不变性,就是 H(=HG+Sr), 而我们不难验证,如果H具有这个性质,那么确实就有 [p,H=0, 所以动量是守恒的 与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们 早已知道了这件事情:如果H与时间无关(也就是说在时间平移下是不变的),那么它(也就是能量) 是守恒的 3.空间旋转不变性与角动量守恒 先考虑一个比较简单的情形:系统绕轴旋转一个小角度,即做变换φ→>’=q-(q就是 球坐标中的方位角),那么进行与前面完全类似的推导,可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是 而它就是角动量算符的z分量。同理,系统绕x轴或y轴旋转所对应的无穷小算符分别是Lx和L,(这 个结论与我们采用什么坐标系无关)。 更一般地说,三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r→r=+o×r, 其中≡n,oq是旋转的角度,n是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数,那么仍然有 H"(F)=P(F), 所以
2 动的”变换。容易发现，由于运动是相对的，这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前 一种理解。所以波函数的变换是 = ( ) ( ) x x ， （参见书上的图 4.2）。把无穷小平移变换代入，得到 − = ( ) ( ) x x x ， 但是 x 是变量，所以也可以写 = + ( ) ( ). x x x 如果 x 是小量，那么 ( ) ( ) ( ) 1 ( ). x x x x x x x x = + = + 与无穷小对称变换 ˆ ˆ = + ( i ) I F 对比，我们可以写 ( ) 1 i ( ), ˆ x x x p x = + 其中 ˆ i x p x − 是一个 Hermitian 算符，它正是沿 x 方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换 x x a = − ，那么 波函数的变换是 i / ˆ ( / ) ( ) ( ) e ( ) e ( ). x a p a x x x a x x = + = = 而这个式子我们已经在前面写过了。根据定义， i / ˆ e x a p 是一个幺正变换（算符），这称为幺正算符的指 数形式（或指数化）。同样的论述当然也可以推广到沿 y 方向和 z 方向的平移，所以三维空间的平移变 换是 r r r r → = + , 它所对应的三维动量算符是 ˆ p = − i . 所谓的系统具有空间平移不变性，就是 ˆ ˆ H r H r r ( ) ( ), = + 而我们不难验证，如果 H ˆ 具有这个性质，那么确实就有 ˆ ˆ [ , ] 0, p H = 所以动量是守恒的。 与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们 早已知道了这件事情：如果 H ˆ 与时间无关（也就是说在时间平移下是不变的），那么它（也就是能量） 是守恒的。 3．空间旋转不变性与角动量守恒 先考虑一个比较简单的情形：系统绕 z 轴旋转一个小角度 ，即做变换 → = − （ 就是 球坐标中的方位角），那么进行与前面完全类似的推导，可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是 ˆ i , Lz = − 而它就是角动量算符的 z 分量。同理，系统绕 x 轴或 y 轴旋转所对应的无穷小算符分别是 ˆ Lx 和 ˆ Ly （这 个结论与我们采用什么坐标系无关）。 更一般地说，三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r r r r → = + , 其中 n ， 是旋转的角度， n 是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数，那么仍然有 = ( ) ( ) r r ， 所以
平≥=平(-x)=()-(XV平门=(-(x门V平( 其中(G×F)·V可以改写为o·(F×V)(因为b是常矢量,所以 ()=(1-0(×V)平()=1 其中 L=-ihF×V=F×p 正是做为矢量的角动量算符。当然,非无穷小旋转变换也应该用指数形式 ()=H(F-×f) p(r) 空间的旋转不变性直观说来就是空间没有特殊的方向,或者说空间是各向同性的,写成式子就是 H()=H(+ 在这个时候我们就有 H]=0 所以角动量是守恒的 4.离散对称性及离散守恒量 我们在前面说过,对称性变换的算符应该是幺正算符。但一般地说,幺正算符不是 Hermitian算符 因而不是可观察量,这就是我们为什么在前面要把它指数化的原因。但是也不排除这样的情形:幺正算 符同时也是 Hermitian算符,就是说它满足 那么它也就是可观察量。从上式我们发现: 所以O的本征值只可能是±1。所以这是离散的对称性,对应的也是离散的守恒量。 个典型的例子是空间反射变换P, PH(F)=平(-F), 显然,它对应的守恒量就是宇称。如果 庄 (-F)=H(F) 那么就有 [P,H] 所以宇称是守恒的。注意:正像我们以前已经强调过的那样,“定态(能量本征态)有确定的宇称”和 “宇称守恒”是不同的两件事情,尽管它们都源于[P,H]=0。 李政道和杨振宁在1956年提出了“弱相互作用中宇称不守恒”,对现代物理学的发展做出了划时代 的贡献。所以,关于对称性(或者说守恒定律)在物理学中的地位,我们应该这样说:对称(守恒)和 不对称(不守恒)在物理学中是同样地重要的和美妙的,缺一不可 作业:习题46,4.7
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ), r r r r r r r r ( ) = − = − = − 其中 ( ) r 可以改写为 ( ) r （因为 是常矢量），所以 ( ) ˆ ( ) 1 ( ) ( ) 1 i ( ), r r r L r = − = − 其中 ˆ ˆ ˆ L r r p = − = i 正是做为矢量的角动量算符。当然，非无穷小旋转变换也应该用指数形式： ˆ i / ( ) ( ) e ( ). L r r r r = − = 空间的旋转不变性直观说来就是空间没有特殊的方向，或者说空间是各向同性的，写成式子就是 ˆ ˆ H r H r r ( ) ( ), = + 在这个时候我们就有 ˆ ˆ [ , ] 0, L H = 所以角动量是守恒的。 4．离散对称性及离散守恒量 我们在前面说过，对称性变换的算符应该是幺正算符。但一般地说，幺正算符不是 Hermitian 算符， 因而不是可观察量，这就是我们为什么在前面要把它指数化的原因。但是也不排除这样的情形：幺正算 符同时也是 Hermitian 算符，就是说它满足 ˆ ˆ ˆ 1 Q Q Q , + − = = 那么它也就是可观察量。从上式我们发现： ˆ 2 ˆ Q I = . 所以 Q ˆ 的本征值只可能是 1 。所以这是离散的对称性，对应的也是离散的守恒量。 一个典型的例子是空间反射变换 P ˆ ， ˆ P r r = − ( ) ( ), 显然，它对应的守恒量就是宇称。如果 ˆ ˆ H r H r ( ) ( ), − = 那么就有 ˆ ˆ [ , ] 0, P H = 所以宇称是守恒的。注意：正像我们以前已经强调过的那样，“定态（能量本征态）有确定的宇称”和 “宇称守恒”是不同的两件事情，尽管它们都源于 ˆ ˆ [ , ] 0 P H = 。 李政道和杨振宁在 1956 年提出了“弱相互作用中宇称不守恒”，对现代物理学的发展做出了划时代 的贡献。所以，关于对称性（或者说守恒定律）在物理学中的地位，我们应该这样说：对称（守恒）和 不对称（不守恒）在物理学中是同样地重要的和美妙的，缺一不可。 作业：习题 4.6; 4.7
