《量子力学》第十一章 散射理论（11.1）散射实验和散射截面

第十一章散射理论 §11.1散射实验和散射截面 1.散射截面的实验定义 散射”和“碰撞”在我们这里是同义语。 我们在第二章中已经指出:量子系统的状态主要地可以分为两大类。一类是束缚态,它的能级是分 立的,波函数在无穷远处趋近于0,所以可以有限地归一。另一类是非束缚态,它的能级是连续的,波 函数在无穷远处并不趋近于0,所以不能有限地归一。对于前一种状态,量子力学的基本问题是求出允 许的能级,同时解出波函数。而对于后一种状态,能量是可以在一定范围内任意地给定的,问题是求跃 迁几率、散射几率等等。我们这一章就来处理三维的散射问题 研究粒子和粒子的碰撞过程是研究物质结构和物质相互作用的重要手段。在历史上, Rutherford(卢 瑟福)的α粒子散射实验发现了原子的“核式”结构; Frank- Hertz(夫兰克-赫兹)实验证实了原子的 分立能量状态。随后的许多“基本”粒子是在碰撞过程中被发现的。人们还在不断地建造越来越大的粒 子加速器以产生能量越来越高的粒子“炮弹”去“轰击”物质,以期求得对更深的物质层次的了解。此 外,在气体放电、分子溅射等问题中也离不开对碰撞的研究 碰撞问题的特点是:初态有两个自由的粒子,末态也是两个(或者更多个)自由的粒子。但由于粒 子间的相互作用,原先的粒子的动量方向和大小发生了变化,还可能同时伴随着它们的内部的能量状态 的变化,甚至有时候原先的粒子消失了,出现了新的粒子。所以,从实验角度看来,碰撞过程基本上可 以分成两大类:弹性碰撞和非弹性碰撞。如果在碰撞过程中粒子只有动量和动能的变换,其内部状态没 有改变,也没有新粒子产生,就叫做弹性碰撞。否则为非弹性碰撞。我们在本课中只处理弹性碰撞。在 这时,可以认为两个粒子间的相互作用由势能来描写(所以又称为“势散射”) =(-1) 并且在它们相距很远时没有相互作用 在实验上,碰撞过程通常是这样安排和观察的。把一个粒子经过某种加速过程达到一定的动能E后 射向另一个静止不动的粒子。前者常称为“子弹”,后者常称为“靶”。由于相互作用,子弹粒子就与靶 粒子发生碰撞,即散射,改变了自己的运动方向。我们在不同的方向上安排子弹粒子的探测器来测量它 在这个方向上发生散射的几率。通常把入射方向选为Z轴方向,所以散射方向可由球坐标中的角度 (O,)来描写,而散射几率是(Oq)的函数。(O,q)称为“散射角” 怎样用数量来描写这个几率呢?实验上是用入射粒子流轰击一块靶物质。定义粒子的流密度φ为在 垂直于粒子运动方向的单位面积上单位时间内穿过的粒子数。所以φ的量纲是[1/面积时间]。设靶物质 内有总共N个靶粒子(即N个散射中心)。在(,)方向上放置一个探测器,这个探测器相对于散射中 心张成一个立体角元dΩ。粒子在这个角度上散射的几率越大,探测器接收到的粒子数就越多。设探测 器在单位时间内测得的粒子数为dm(量纲是[时间]),那么显然 ch正比于Npd 其比例系数就代表了在这方向上散射的几率。把这比例系数记为a(,9),那么 dn=o(0, p)NodQ2 d(O)=- NodS a(q)的量纲是 oo=,时间 [/面积时间 [面积 所以σ(O)被称为“微分散射截面。把(,q)对4x立体角积分: o,o(, )d2=o(0,)sin@ddp 称为“总散射截面”。注意,这些公式是“实验处理公式”,其中,N,中,d都是实验安排的或测量的

第十一章 散射理论 §11.1 散射实验和散射截面 1. 散射截面的实验定义 “散射”和“碰撞”在我们这里是同义语。 我们在第二章中已经指出：量子系统的状态主要地可以分为两大类。一类是束缚态，它的能级是分 立的，波函数在无穷远处趋近于 0，所以可以有限地归一。另一类是非束缚态，它的能级是连续的，波 函数在无穷远处并不趋近于 0，所以不能有限地归一。对于前一种状态，量子力学的基本问题是求出允 许的能级，同时解出波函数。而对于后一种状态，能量是可以在一定范围内任意地给定的，问题是求跃 迁几率、散射几率等等。我们这一章就来处理三维的散射问题。 研究粒子和粒子的碰撞过程是研究物质结构和物质相互作用的重要手段。在历史上，Rutherford（卢 瑟福）的  粒子散射实验发现了原子的“核式”结构；Frank-Hertz（夫兰克-赫兹）实验证实了原子的 分立能量状态。随后的许多“基本”粒子是在碰撞过程中被发现的。人们还在不断地建造越来越大的粒 子加速器以产生能量越来越高的粒子“炮弹”去“轰击”物质，以期求得对更深的物质层次的了解。此 外，在气体放电、分子溅射等问题中也离不开对碰撞的研究。 碰撞问题的特点是：初态有两个自由的粒子，末态也是两个（或者更多个）自由的粒子。但由于粒 子间的相互作用，原先的粒子的动量方向和大小发生了变化，还可能同时伴随着它们的内部的能量状态 的变化，甚至有时候原先的粒子消失了，出现了新的粒子。所以，从实验角度看来，碰撞过程基本上可 以分成两大类：弹性碰撞和非弹性碰撞。如果在碰撞过程中粒子只有动量和动能的变换，其内部状态没 有改变，也没有新粒子产生，就叫做弹性碰撞。否则为非弹性碰撞。我们在本课中只处理弹性碰撞。在 这时，可以认为两个粒子间的相互作用由势能来描写（所以又称为“势散射”）： V V r r = − ( 1 2 ), 并且在它们相距很远时没有相互作用 ( ) 1 2 1 2 0. r r V r r − → − ⎯⎯⎯⎯→ 在实验上，碰撞过程通常是这样安排和观察的。把一个粒子经过某种加速过程达到一定的动能 E 后， 射向另一个静止不动的粒子。前者常称为“子弹”，后者常称为“靶”。由于相互作用，子弹粒子就与靶 粒子发生碰撞，即散射，改变了自己的运动方向。我们在不同的方向上安排子弹粒子的探测器来测量它 在这个方向上发生散射的几率。通常把入射方向选为 Z 轴方向，所以散射方向可由球坐标中的角度 ( , ) 来描写，而散射几率是 ( , ) 的函数。 ( , ) 称为“散射角”。 怎样用数量来描写这个几率呢？实验上是用入射粒子流轰击一块靶物质。定义粒子的流密度  为在 垂直于粒子运动方向的单位面积上单位时间内穿过的粒子数。所以  的量纲是[1/面积·时间]。设靶物质 内有总共 N 个靶粒子（即 N 个散射中心）。在 ( , ) 方向上放置一个探测器，这个探测器相对于散射中 心张成一个立体角元 d 。粒子在这个角度上散射的几率越大，探测器接收到的粒子数就越多。设探测 器在单位时间内测得的粒子数为 dn (量纲是[1/时间] )，那么显然 dn 正比于 N d  , 其比例系数就代表了在这方向上散射的几率。把这比例系数记为    ( , ) ，那么 dn N d =      ( , , ) 或者 ( , . ) dn N d     =     ( , ) 的量纲是 ( ) 1/ , [ ]. 1/          = =        时间 面积 面积 时间 所以    ( , ) 被称为“微分散射截面”。把    ( , ) 对 4 立体角积分：           t =  = ( , , sin , )d d d ( )   称为“总散射截面”。注意，这些公式是“实验处理公式”，其中 dn N d , , ,   都是实验安排的或测量的

因此σ(,q)是实验的测出量。通常,靶粒子比子弹粒子重得多,所以在初步近似之下,我们认为靶粒 子是不动的 2.计算散射截面的方法 现在我们要问:理论上如何从给定的相互作用算出微分截面?我们这样来考虑问题:假设一个质量 为的粒子从2=-的地方射来,其能量(动能)为E,相应的波矢量为 2uE k 方 这就形成了一个入射的平面波。粒子进入散射中心附近的区域以后要受到V()对它的作用,产生散射 波。在三维情况中,散射波是一个球面波。入射波与散射波合在一起,构成了总的波函数v(),这个 波函数应该服从薛定谔方程 h2, Vy+V(y=Ey 引入上面的k以及新的“势能” U()=2 V(), 那么 Vy+[k2-U()v=0, 其中U(7)满足要求 这样,在无穷远处,方程就化为 V-y+ky=0 而在无穷远处存在着入射的平面波和散射的球面波。描写入射波的是 (归一化因子可以略去),描写球面波的是 (. v显然满足自由粒子方程,同时也很容易证明:不论f(,)是(O,q)的何种函数,v2在r→>∞时也 满足自由粒子方程。因此,我们的假设是: v1+v2 f(,g) 现在入射波的几率流密度是 J h avi,av 其中v是粒子的(经典力学)速度。注意到 1 a Vo +e r06 rsIn 可以算出散射波在(,q)方向上的几率流密度 k ik J or]2ul (e. P/ (.,)2 所以在(O,q)方向上穿过小面积ds的几率流是 h(.)=a=()y=v(.o)a2 对比实验上的定义O(6,q)= 把dh(6,q)除以入射几率流,就得到在这个方向上的微分散射几 B dQ2

因此    ( , ) 是实验的测出量。通常，靶粒子比子弹粒子重得多，所以在初步近似之下，我们认为靶粒 子是不动的。 2. 计算散射截面的方法 现在我们要问：理论上如何从给定的相互作用算出微分截面？我们这样来考虑问题：假设一个质量 为  的粒子从 z = − 的地方射来，其能量（动能）为 E ，相应的波矢量为 2 , E k  = 这就形成了一个入射的平面波。粒子进入散射中心附近的区域以后要受到 V r( ) 对它的作用，产生散射 波。在三维情况中，散射波是一个球面波。入射波与散射波合在一起，构成了总的波函数  (r) ，这个 波函数应该服从薛定谔方程： ( ) 2 2 . 2    V r E  −  + = 引入上面的 k 以及新的“势能” 2 2 U r V r ( ) ( ),  = 那么 2 2  + − =   [ ( )] 0, k U r 其中 U r( ) 满足要求 ( ) 0. r r U r → ⎯⎯⎯→ 这样，在无穷远处，方程就化为 2 2  + =  k 0. 而在无穷远处存在着入射的平面波和散射的球面波。描写入射波的是 i 1 e , k z  = （归一化因子可以略去），描写球面波的是 ( ) i 2 e , . k r f r    =  1 显然满足自由粒子方程，同时也很容易证明：不论 f ( , ) 是 ( , ) 的何种函数，  2 在 r → 时也 满足自由粒子方程。因此，我们的假设是： 1 2 e , . ( ) ik r r ik z e f r      ⎯⎯⎯→ + = + → 现在入射波的几率流密度是 * 1 1 * 1 1 i , 2 z k J v z z           = − = =       其中 v 是粒子的（经典力学）速度。注意到 1 1 , sin r e e e r r r              = + +    可以算出散射波在 ( , ) 方向上的几率流密度： * 2 2 2 2 * 2 2 2 2 2 i i i i ( , ) ( , ) . 2 2 r k k v J f f r r r r r                 = − = − − =           所以在 ( , )   方向上穿过小面积 ds 的几率流是 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) . r ds dw J ds v f v f d r       = = =  对比实验上的定义 1 ( , ) dn d     =  ，把 dw( , )   除以入射几率流，就得到在这个方向上的微分散射几

率,也就是微分散射截面: (6,g) f(6, 所以f(O,)被称为“散射振幅 我们把计算散射截面的方法再总结一下。 写下v()满足的方程: V-y+[k-U(]y=0 其中 E k U(r) V(r) 假设v()在无穷远处的渐近形式是 y() f(e,) 代入方程,求出f(,q),那么就有 (0,q)=|(0.q) 散射截面在实验与理论之间搭起了一座连接的桥梁,用它可以检验理论上所假设的粒子之间的相互 作用是否正确 *3.全同粒子散射的问题 我们在§44中已经指出:全同粒子系统的波函数必须满足交换对称或反对称的要求,这就使得全同 粒子的散射(子弹粒子和靶粒子是全同粒子)不同于非全同粒子的散射 如果粒子的自旋是0,那么在质心系中看,两个粒子互相交换就是产→>一,所以波函数交换对称 等于说波函数有正的宇称,因而波函数的对称化导致 (a,o)=1/(,)+f(z-0,z+q) *4.非弹性碰撞,复“势能”,光学模型 作业:无

率，也就是微分散射截面： 1 2 ( , ) ( , ) . z dw f J d      = =  所以 f ( , )   被称为“散射振幅”。 我们把计算散射截面的方法再总结一下。 写下  ( )r 满足的方程： 2 2  + − =   [ ( )] 0, k U r 其中 2 2 2 , ( ) ( ), E k U r V r   = = 假设  (r) 在无穷远处的渐近形式是 ( ) i i e ( ) e , , k r r k z r f r    ⎯⎯⎯→ + →  代入方程，求出 f ( , ) ，那么就有 ( ) ( ) 2      , , . = f 散射截面在实验与理论之间搭起了一座连接的桥梁，用它可以检验理论上所假设的粒子之间的相互 作用是否正确。 *3. 全同粒子散射的问题 我们在§4.4 中已经指出：全同粒子系统的波函数必须满足交换对称或反对称的要求，这就使得全同 粒子的散射（子弹粒子和靶粒子是全同粒子）不同于非全同粒子的散射。 如果粒子的自旋是 0，那么在质心系中看，两个粒子互相交换就是 r r →− ，所以波函数交换对称 等于说波函数有正的宇称，因而波函数的对称化导致 ( ) ( ) ( ) 2          , , , . = + − + f f *4. 非弹性碰撞，复“势能”，光学模型 作业：无