第一章波函数与 Schrodinger方程 §1.1波函数 1.微观粒子的波粒二象性 对于一般状态下的微观粒子,应该用一般的时间和空间的复函数来描写:坐=H(,1),它称为波 对波函数的意义的理解是量子力学中的重要问题。由于波函数是微观粒子的“波粒二象性”的表现 所以这里的关键是如何理解波粒二象性。 对波粒二象性的某些理解是错误的,比如:波函数代表粒子的结构:或者,波函数代表大量粒子的 运动。 对波粒二象性的正确理解如下。 保留经典概念的哪些特征 不具有经典概念的哪些特征 粒子性|有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道 波动性有干涉、衍射等现象 振幅没有绝对的意义 粒子的双缝干涉实验的分析。关键在于:两个缝同时打开时观察到的波的强度不等于分别打开一个 缝时波的强度的和,也就是 12≠l1+12 粒子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果,或一个粒子在多次相同实验中的统计结 所以,单个粒子就具有波动性,或者说,在双缝干涉实验中,粒子是自己和自己发生干涉 2.波函数的统计解释(Bon,1926 波函数在某点的强度(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数本身称为几率 振幅 设屮(G,1)(F=(x,y,=)是某个波函数,按照几率解释,在点附近的体积元dF=dd中在 时刻t发现粒子的几率是 dw(r, t =y(, i dr, 或者说,粒子的空间几率密度是 p(F:)=NG,)2 以后我们还会看到:由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量。所以波函数完全描写了微 观粒子(或一般地说,量子体系)的状态,并且这种描写在本质上具有统计的特征。 3.波函数的归一 几率是相对量,所以将波函数乘以一个常数,它仍然描写量子体系的同一个状态。这个特征表明量 子的波动和经典的波动完全不同。 根据前述,在全空间发现粒子的几率是 W=[m(d=[N(,)d 种方便的选择是让 W=1 这样的H(F,1)称为归-化的波函数。波函数的归一化条件有一个直观的理解:只要粒子没有“消失”, 在全空间中发现粒子就是一个“必然事件”,而在概率论中必然事件的几率可以“归一化”为1。 说明:(1)即使要求波函数是归一的,它仍然有一个整体的(常数的)位相因子e不能确定。(2) 如果积分∫G,dF是无穷大,这样的波函数就是不能(有限地)归一的,例如平面波( de broglie 波)。此时|(元,)代表“相对几率密度 推广:由N个粒子组成的系统的波函数是全体N个粒子的坐标以及时间的复函数(不1…:D 这时
1 第一章 波函数与 Schrödinger 方程 §1.1 波函数 1. 微观粒子的波粒二象性 对于一般状态下的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写： = ( , ) r t ，它称为波 函数。 对波函数的意义的理解是量子力学中的重要问题。由于波函数是微观粒子的“波粒二象性”的表现， 所以这里的关键是如何理解波粒二象性。 对波粒二象性的某些理解是错误的，比如：波函数代表粒子的结构；或者，波函数代表大量粒子的 运动。 对波粒二象性的正确理解如下。 保留经典概念的哪些特征 不具有经典概念的哪些特征 粒子性 有确定的质量、电荷、自旋等 没有确定的轨道 波动性 有干涉、衍射等现象 振幅没有绝对的意义 粒子的双缝干涉实验的分析。关键在于：两个缝同时打开时观察到的波的强度不等于分别打开一个 缝时波的强度的和，也就是 12 1 2 I I I + . 粒子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果，或一个粒子在多次相同实验中的统计结 果。所以，单个粒子就具有波动性，或者说，在双缝干涉实验中，粒子是自己和自己发生干涉。 2. 波函数的统计解释 (Born, 1926) 波函数在某点的强度（绝对值的平方）与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数本身称为几率 振幅。 设 = ( , ) ( , , ) r t r x y z ( ) 是某个波函数，按照几率解释，在点 r 附近的体积元 3 d r dx dy dz = 中在 时刻 t 发现粒子的几率是 2 3 dW r t r t d r ( , ) ( , ) , = 或者说，粒子的空间几率密度是 2 ( , ) ( , ) . r t r t = 以后我们还会看到：由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量。所以波函数完全描写了微 观粒子（或一般地说，量子体系）的状态，并且这种描写在本质上具有统计的特征。 3. 波函数的归一 几率是相对量，所以将波函数乘以一个常数，它仍然描写量子体系的同一个状态。这个特征表明量 子的波动和经典的波动完全不同。 根据前述，在全空间发现粒子的几率是 3 3 2 W r t d r r t d r ( , ) ( , ) . = = 一种方便的选择是让 W =1, 这样的 ( , ) r t 称为归一化的波函数。波函数的归一化条件有一个直观的理解：只要粒子没有“消失”， 在全空间中发现粒子就是一个“必然事件”，而在概率论中必然事件的几率可以“归一化”为 1。 说明：（1）即使要求波函数是归一的，它仍然有一个整体的（常数的）位相因子 i e 不能确定。（2） 如果积分 2 3 ( , ) r t d r 是无穷大，这样的波函数就是不能（有限地）归一的，例如平面波（de Broglie 波）。此时 2 (r,t) 代表“相对几率密度”。 推广：由 N 个粒子组成的系统的波函数是全体 N 个粒子的坐标以及时间的复函数 1 ( , , ; ) N r r t ， 这时
G…;0 dh…d 表示粒子1出现在附近的体积元dF,同时粒子2出现在附近的体积元dF,等等,的几率。波函 数的归一化则是 平(…;)dd=1 以后有时用dr表示一般系统的空间体积元,所以对于一维粒子dr=dx,对于三维粒子dr= dx dydz 对于N个三维粒子dz=dhd1…ddN,等等 关于时间t在这里的作用,我们以后再分析 4.态的叠加原理 波的干涉、衍射现象的本质原因是它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性提示我们:波函数也 应该满足叠加原理,即: 如果里1和2是体系的可能状态,那么里=c出+c22(c1,C2是复常数)也是体系的可能状态。 对于合成的状态 平=|cHP+|22|2+c2旷H+c2平田 其中cc平2+c1c平就是干涉项,它正是波的干涉现象的起因 般地说,叠加原理可以写成 乎 这导致了量子力学中的一个重要概念:对于一个指定的量子体系,如果我们找到了它的“完备的基本状 态”例如{n(n=12…)},那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。这也是一个和经典物 理完全不同的概念。一个经典粒子在一维空间中运动时,它的自由度数就是1(比如取动力学变量为 x=x(t)),然而它的量子力学的“自由度数”却是无穷大(比如取Cn=Cn(1)(n=1,2…)。 由于量子态满足叠加原理,一个量子系统的全部可能的状态构成了一个数学上的线性空间(又称矢 量空间),这个空间称为该量子系统的 Hilbert空间 5.动量分布几率 我们已经知道:一个自由粒子以动量p和能量E(=p2/2m)运动的状态用平面波 5(F,1)=e(EF 来描写。先不考虑时间变量,记 那么根据叠加原理,任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成 V(,D)=c(b.n/1 epf"dp,(d=中中) 也就是各种不同动量的平面波的叠加。从屮(F)变为Φ(p)在数学上称为函数的 Fourier(傅立叶)变换, 这个变换(也就是上面的变换的反变换)是 Φ(p,1)的物理意义是动量几率振幅,也就是说(p,)代表动量几率密度,即 Φ(p,1)2d=在动量空间中的点p附近的体积元d3p中发现粒子的几率 对于一维情形,上面的公式分别成为 H(x,1)=P
2 2 3 3 1 1 ( , , ; ) N N r r t d r d r 表示粒子 1 出现在 1 r 附近的体积元 3 1 d r ，同时粒子 2 出现在 2 r 附近的体积元 3 2 d r ，等等，的几率。波函 数的归一化则是 2 3 3 1 1 ( , , ; ) 1. N N r r t d r d r = 以后有时用 d 表示一般系统的空间体积元，所以对于一维粒子 d dx = ，对于三维粒子 d dx dy dz = ， 对于 N 个三维粒子 1 1 1 N N N d dx dy dz dx dy dz = ，等等。 关于时间 t 在这里的作用，我们以后再分析。 4. 态的叠加原理 波的干涉、衍射现象的本质原因是它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性提示我们：波函数也 应该满足叠加原理，即： 如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么 = c11 + c22 （ c c 1 2 , 是复常数）也是体系的可能状态。 对于合成的状态， , 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 = c + c + c c + c c 其中 c c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 + 就是干涉项，它正是波的干涉现象的起因。 一般地说，叠加原理可以写成 . n n n = c 这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状 态”，例如 = n ( 1,2, ) n ，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。这也是一个和经典物 理完全不同的概念。一个经典粒子在一维空间中运动时，它的自由度数就是 1（比如取动力学变量为 x x t = ( ) ），然而它的量子力学的“自由度数”却是无穷大（比如取 ( ) ( 1,2, ) n n c c t n = = ）。 由于量子态满足叠加原理，一个量子系统的全部可能的状态构成了一个数学上的线性空间（又称矢 量空间），这个空间称为该量子系统的 Hilbert 空间。 5. 动量分布几率 我们已经知道：一个自由粒子以动量 p 和能量 2 E p m ( / 2 ) = 运动的状态用平面波 ( , ) e , i( )/ Et p r p r t − − = 来描写。先不考虑时间变量，记 i / 3 1 ( ) e , (2 ) p r p u r = 那么根据叠加原理，任何波函数（不一定是自由粒子的）都可以写成 i / 3 3 3 1 ( , ) ( , ) e , ( ) (2 ) p r x y z r t p t d p d p dp dp dp = = 也就是各种不同动量的平面波的叠加。从 ( ) r 变为 ( ) p 在数学上称为函数的 Fourier（傅立叶）变换， 这个变换（也就是上面的变换的反变换）是 i / 3 3 3 1 ( , ) ( , ) e . ( ) (2 ) p r p t r t d r d r dxdydz − = = ( , ) p t 的物理意义是动量几率振幅，也就是说 2 | ( , ) | p t 代表动量几率密度，即 2 3 | ( , ) | = p t d p 在动量空间中的点 p 附近的体积元 3 d p 中发现粒子的几率. 对于一维情形，上面的公式分别成为 1 i / ( , ) ( , ) e , 2 px x t p t dp =
d(P)=平(x, 注意, Fourier变换的性质保证了粒子在动量空间中的总几率和在坐标空间中的总几率是相同的: j(p)vpdp=』(p)H() 1m少P1bdd=中()(dF 这里想强调一点:当我们谈到波函数的统计解释的时候,只说“代表粒子的空间几率密度”是 不够全面的,因为这会给人一个误解,似乎平的位相(相角)与波函数所代表的意义无关,这显然是 错误的。以平面波为例,它的根本就是常数,但是我们能够说这时粒子没有运动吗?这时粒子的运 动特性恰恰反映在它的位相上。从上面所介绍的粒子动量几率密度的确定也可以发现,这时起主要作用 的正是波函数的位相所以波函数的统计解释不但包括“N代表粒子的空间几率密度”,也包括p2 代表粒子的动量几率密度”,甚至还应该包括我们以后会讲到的用平表达任何力学量的测量几率的原理 和方法,这才是波函数的统计解释的完整含义 6.不确定关系( uncertainty relation) 由于微观粒子具有波粒二象性,我们不可能像在经典力学中那样同时确定粒子的坐标和动量 例如考虑粒子的单缝衍射实验。可以认为狭缝的宽度Δx确定了粒子坐标(x)的变动范围,而观 察屏上衍射条纹的宽度给出了粒子动量(Px)的变动范围№x。实验告诉我们:狭缝越窄(Δx越小), 衍射条纹就越宽(4p3越大)。二者关系的定性分析如下 般波的单缝衍射都有 其中a是衍射张角,Δx是狭缝的宽度,是“圆”波长(X=4/2x)。另一方面,在衍射角不太大时 可以认为 其中p是粒子的动量大小。对于微观粒子的波动,我们有 de broglie关系 代入上式中就有 42≈h 这个关系就称为不确定关系。它告诉我们:粒子的坐标和动量这二者不能同时有确定值,也就是说, 个越确定〔变动范围越小),另一个就越不确定(变动范围越大)。所以,运动轨道的概念对于微观粒子 是不适用的。 不确定关系是量子力学中的重要关系,我们以后还会介绍它的更准确的定量形式。 不确定关系是由 Heisenberg最先提出来的,所以有时又称它为 Heisenberg不确定关系。事实上, Heisenberg的“矩阵力学”的思想和它有密切的联系。 确定关系以前也曾被译为“测不准关系”,但是这样翻译是不确切的,因为这个关系是微观粒子 的本性的反映,与“测量”的准确与否无关。 7.力学量的平均值和用算符代表力学量 定义了一个力学量的分布几率以后,我们就可以求出它的平均值。例如对于归一化的波函数v(F) (我们用小写的希腊字母表示与时间无关的波函数),坐标x的平均值是 Llw()P xd'r 对于坐标y和二也类似,它们可以合在一起写成 F=「W(PFd 如果v(F)没有归一,那么求平均值的公式应该修改为
3 1 i / ( , ) ( , ) e . 2 px p t x t dx − = 注意，Fourier 变换的性质保证了粒子在动量空间中的总几率和在坐标空间中的总几率是相同的： 3 i / 3 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) . (2 ) p r p p d p p r d r d p r r d r − = = 这里想强调一点：当我们谈到波函数的统计解释的时候，只说“ 2 代表粒子的空间几率密度”是 不够全面的，因为这会给人一个误解，似乎 的位相（相角）与波函数所代表的意义无关，这显然是 错误的。以平面波为例，它的 2 根本就是常数，但是我们能够说这时粒子没有运动吗？这时粒子的运 动特性恰恰反映在它的位相上。从上面所介绍的粒子动量几率密度的确定也可以发现，这时起主要作用 的正是波函数的位相。所以，波函数的统计解释不但包括“ 2 代表粒子的空间几率密度”，也包括“ 2 代表粒子的动量几率密度”，甚至还应该包括我们以后会讲到的用 表达任何力学量的测量几率的原理 和方法，这才是波函数的统计解释的完整含义。 6. 不确定关系（uncertainty relation） 由于微观粒子具有波粒二象性，我们不可能像在经典力学中那样同时确定粒子的坐标和动量。 例如考虑粒子的单缝衍射实验。可以认为狭缝的宽度 x 确定了粒子坐标（ x ）的变动范围，而观 察屏上衍射条纹的宽度给出了粒子动量（ x p ）的变动范围 px 。实验告诉我们：狭缝越窄（ x 越小）， 衍射条纹就越宽（ px 越大）。二者关系的定性分析如下。 一般波的单缝衍射都有 , x 其中 是衍射张角， x 是狭缝的宽度， 是“圆”波长（ = /2 ）。另一方面，在衍射角不太大时 可以认为 , x p p 其中 p 是粒子的动量大小。对于微观粒子的波动，我们有 de Broglie 关系 , p = 代入上式中就有 . x x p 这个关系就称为不确定关系。它告诉我们：粒子的坐标和动量这二者不能同时有确定值，也就是说，一 个越确定（变动范围越小），另一个就越不确定（变动范围越大）。所以，运动轨道的概念对于微观粒子 是不适用的。 不确定关系是量子力学中的重要关系，我们以后还会介绍它的更准确的定量形式。 不确定关系是由 Heisenberg 最先提出来的，所以有时又称它为 Heisenberg 不确定关系。事实上， Heisenberg 的“矩阵力学”的思想和它有密切的联系。 不确定关系以前也曾被译为“测不准关系”，但是这样翻译是不确切的，因为这个关系是微观粒子 的本性的反映，与“测量”的准确与否无关。 7. 力学量的平均值和用算符代表力学量 定义了一个力学量的分布几率以后，我们就可以求出它的平均值。例如对于归一化的波函数 ( )r （我们用小写的希腊字母表示与时间无关的波函数），坐标 x 的平均值是 2 3 x r x d r | ( ) | . = 对于坐标 y 和 z 也类似，它们可以合在一起写成 2 3 r r r d r | ( ) | . = 如果 ( )r 没有归一，那么求平均值的公式应该修改为
ly(ldr 同理,坐标的任何函数例如势能V(F)的平均值是(除非特别声明,我们总考虑归一化的波函数) P=「()(F)d 至于动量(以及动量的函数)的平均值,就要从动量的分布几率来计算: =∫P)Ppd3 如果我们想也用波函数v(F)来计算p,那应该怎么做呢?注意到 (p)=|v(F) 1-ip-FInd'r, (2zh)3 所以 =∫“(p)叭p)pdp )/7 V(2 rh)3e'p-rIh d2|p(p)d万 y(P)(ihv) 叭(p)dpdF (rAiny(r)d 我们发现,这里出现了算符一ih,借助于它,我们可以直接用坐标波函数计算动量的平均值。令 P=-ihv 那么上式就可以写为 p=Ly()pw()d'r 所以p称为动量算符。 在经典力学中,动能T是动量的如下函数: T 2m 所以量子力学的动能算符是 n 类似地,在经典力学中粒子的角动量定义为 L=F×p 也就是 Lx=yp:-=py, Ly==pa L=xpy-ypr 所以量子力学的角动量算符定义为 L=F×p=-ih×V 也就是 =i1(02-20,),,=-i1(cax-x,2L2=-ib(x,-ya,) 上面给出的求平均值的公式适用于任何物理量,即一般地说 F=y()Fw( 8.波函数应满足的要求 在一般情况下,坐标空间的波函数屮(F,D)应该满足处处单值、有限、连续的要求。这是应该首先
4 2 3 2 3 | ( ) | . | ( ) | r r d r r r d r = 同理，坐标的任何函数例如势能 V r( ) 的平均值是（除非特别声明，我们总考虑归一化的波函数） 2 3 V r V r d r | ( ) | ( ) . = 至于动量（以及动量的函数）的平均值，就要从动量的分布几率来计算： 2 3 p p p d p | ( ) | . = 如果我们想也用波函数 ( )r 来计算 p ，那应该怎么做呢？注意到 i / 3 3 1 ( ) ( ) e , (2 ) p r p r d r − = 所以 3 i / 3 3 3 i / 3 3 3 3 ( ) ( ) 1 ( ) e ( ) (2 ) 1 ( )( i ) e ( ) (2 ) ( )( i ) ( ) . p r p r p p p p d p r d r p p d p r p d p d r r r d r = = = − = − 我们发现，这里出现了算符 − i ，借助于它，我们可以直接用坐标波函数计算动量的平均值。令 ˆ p = − i , 那么上式就可以写为 ˆ 3 p r p r d r ( ) ( ) . = 所以 ˆ p 称为动量算符。 在经典力学中，动能 T 是动量的如下函数： 2 , 2 p T m = 所以量子力学的动能算符是 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 p T m m = = − 类似地，在经典力学中粒子的角动量定义为 L r p = , 也就是 , , , L y p z p L z p x p L x p y p x z y y x z z y x = − = − = − 所以量子力学的角动量算符定义为 ˆ ˆ ˆ L r p r = = − i , 也就是 ˆ ˆ ˆ i ( ), i ( ), i ( ). , L y z L z x L x y x z y y x z z y x x x = − − = − − = − − 上面给出的求平均值的公式适用于任何物理量，即一般地说 3 ˆ F r F r d r ( ) ( ) . = 8. 波函数应满足的要求 在一般情况下，坐标空间的波函数 ( , ) r t 应该满足处处单值、有限、连续的要求。这是应该首先
记住的事情 经常有人问:难道这些要求就没有例外吗?对这个问题的回答是:也有例外,然而那是有条件的, 不可泛泛而谈 具体地说,对这些条件可以做如下的说明。 (1)关于波函数的单值性。坐(F,1)中的F是粒子的动力学变量,但是粒子的波函数还可能依赖于 某些外部参数(比如外磁场强度)。我们所说的波函数是处处单值的,指的是波函数对于动力学变量的 变化是单值的,也就是说,当动力学变量走完一条封闭的路线回到出发点的时候,波函数也必须回到原 来的值。这一点是没有例外的。但是它对于外部参数的变化却可以不是单值的,比如所谓的 Berry相就 是这样的例子。但是在目前这门“初等”的量子力学课中,我们将不涉及Bery相这一类问题 (2)关于波函数的有限性。根据波函数的几率解释,只要v(7)2的积分在任何有限的体积中是 有限的,就可以接受,所以在3维空间中,波函数在某些孤立点处允许有y1/r3(s<3/2)的发散 但是问题是:在什么情形下这样的发散会实际发生?并不是任何波函数都有物理意义。我们感兴趣的只 是那些满足一定的 Schrodinger方程的波函数。|u1/r3的发散表明:在r=0处存在着非常强的吸引 势场计算给出:只有在02-2m h21 (0<s<1)的时候,才会出现v~l/r3(0<s<1)的 波函数奇异性。我们通常不考虑这种势能。 (3)关于波函数的连续性。在一般情形下,波函数的连续性意味着波函数本身和它的一阶导数是 处处连续的。例外情形发生在势能有无限大跃变的地方。在这样的地方,波函数本身还必须是连续的 然而波函数的一阶导数允许有跃变。应该说,势能在某些点处发生无限大的跃变还是我们今后经常遇到 的情形,所以这种“例外”是有实际意义的,应该记住 作业:习题1.6
5 记住的事情。 经常有人问：难道这些要求就没有例外吗？对这个问题的回答是：也有例外，然而那是有条件的， 不可泛泛而谈。 具体地说，对这些条件可以做如下的说明。 （1）关于波函数的单值性。 ( , ) r t 中的 r 是粒子的动力学变量，但是粒子的波函数还可能依赖于 某些外部参数（比如外磁场强度）。我们所说的波函数是处处单值的，指的是波函数对于动力学变量的 变化是单值的，也就是说，当动力学变量走完一条封闭的路线回到出发点的时候，波函数也必须回到原 来的值。这一点是没有例外的。但是它对于外部参数的变化却可以不是单值的，比如所谓的 Berry 相就 是这样的例子。但是在目前这门“初等”的量子力学课中，我们将不涉及 Berry 相这一类问题。 （2）关于波函数的有限性。根据波函数的几率解释，只要 2 | ( ) | r 的积分在任何有限的体积中是 有限的，就可以接受，所以在 3 维空间中，波函数在某些孤立点处允许有 | | 1/ ( 3/ 2) s r s 的发散。 但是问题是：在什么情形下这样的发散会实际发生？并不是任何波函数都有物理意义。我们感兴趣的只 是那些满足一定的 Schrödinger 方程的波函数。 | | 1/ s r 的发散表明：在 r = 0 处存在着非常强的吸引 势场。计算给出：只有在 2 0 2 (1 ) 1 ( ) (0 1) 2 r s s V r s m r → − − 的时候，才会出现 1/ (0 1) s r s 的 波函数奇异性。我们通常不考虑这种势能。 （3）关于波函数的连续性。在一般情形下，波函数的连续性意味着波函数本身和它的一阶导数是 处处连续的。例外情形发生在势能有无限大跃变的地方。在这样的地方，波函数本身还必须是连续的， 然而波函数的一阶导数允许有跃变。应该说，势能在某些点处发生无限大的跃变还是我们今后经常遇到 的情形，所以这种“例外”是有实际意义的，应该记住。 作业：习题 1.6