《量子力学》第五章 中心力场（5.3）三维各向同性谐振子

§5.3三维各向同性谐振子 1.三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解 三维各向同性谐振子的势能函数是 由于V2=a2+02+02,r2=x2+y2+2,所以它的 Hamiltonian可以写成 H (a2+a2+02) h+h 其中Hx,H,H2分别是沿x,y,z轴的线性谐振子的 Hamiltonian。所以三维各向同性谐振子的能级是 EN n.+n+二团 nx 对应的波函数是 U,(x)y, ()U=), 其中vn(x)是沿x轴的线性谐振子的量子数为n2的波函数,vn()vn()也类似。很重要的一点是 E的简并度,不难证明它是 (N+1)(N+2) 此外,现在V~r2,所以根据 Virial定理,对任何定态都有 V=T=E/ 2.球坐标系中的解,缔合 Laguerre多项式 仍然设 v(r, 0,)=R(r)Ym(0, p), 那么R(r)满足 d2R28+(-2m32(+R=0 d 再令 u(r=rR(r) 则u(r)满足 E l d r- h 注意,即使l=0,它和一维空间中的谐振子也不同,因为(r)必须满足l(0)=0,或者说,把r延拓 到-∞0时的情况如何。 现在直接研究R(r)也很方便。仍然像在一维谐振子中那样引进无量纲变量 p=ar, a 2E 则方程变成 dr 2 di 7(7 dr2r dr = 不难证明:在p→∞时R(p)→e2,在p→0时R(p)→p,所以可设

1 §5.3 三维各向同性谐振子 1．三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解 三维各向同性谐振子的势能函数是 1 2 2 ( ) . 2 V r r =  由于 2 2 2 2 2 2 2 2 , x y z  =  +  +  = + + r x y z ，所以它的 Hamiltonian 可以写成 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 H x y z H H H x y z x y z   = −  +  +  + + + = + + 其中 ˆ ˆ ˆ , , H H H x y z 分别是沿 x y z , , 轴的线性谐振子的 Hamiltonian。所以三维各向同性谐振子的能级是 3 3 , ( , , , 0,1, 2, ) 2 2 E n n n N N n n n n n n N x y z x y z x y z       = + + + = +  + + =         对应的波函数是 ( , , ) ( ) ( ) ( ), N n n n x y z     x y z x y z = 其中 ( ) x n  x 是沿 x 轴的线性谐振子的量子数为 x n 的波函数， ( ), ( ) y z n n   y z 也类似。很重要的一点是 EN 的简并度，不难证明它是 ( 1)( 2) . 2 N N N g + + = 此外，现在 2 V r ，所以根据 Virial 定理，对任何定态都有 V T E = = / 2. 2．球坐标系中的解，缔合 Laguerre 多项式 仍然设 ( , , ) ( ) ( , ), lm      r R r Y = 那么 R(r) 满足 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0. 2 2 d R dR l l E r R dr r dr r      + + + − − =     再令 u r r R r ( ) ( ), = 则 u r( ) 满足 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0. 2 2 d u l l E r u dr r      + + − − =     注意，即使 l = 0 ，它和一维空间中的谐振子也不同，因为 u r( ) 必须满足 u(0) 0 = ，或者说，把 r 延拓 到 −   + r 时对于 r  0 的左半直线必须取 V r( ) = + ，所以在原来的一维谐振子能级中只有奇宇 称态才能出现，这样就使得最低能量是 3 / 2  而不是 /2，正和在直角坐标系中得到的结果一致。 问题是 l  0 时的情况如何。 现在直接研究 R(r) 也很方便。仍然像在一维谐振子中那样引进无量纲变量 r, ,     = = 2 , E   = 则方程变成 2 2 2 2 2 ( 1) 0. d R dR l l R dr r dr      + + + − − =     不难证明：在  → 时 2 / 2 R( ) e   → − ，在  → 0 时 ( ) l R   → ，所以可设

R(p)=u()pe2,(au(0)≠0) 那么(p)就满足方程 d2+2(+1-p2)a 4+(2-21-3)u=0 再做变换 则方程变为 d u 分析表明,只有当λ取一些特殊值的时候这个方程才有多项式解。事实上,这个方程属于合流超几何方 程。合流超几何方程的标准形式是 d-L dL k+1-x)-+nL=0. d x db 它的一般解是合流超几何级数,但是,这样的级数解不能满足波函数有限的要求。只有当参数n取非负 整数的时候,方程的解才退化为多项式,并且n就是多项式的次数。这个多项式称为缔合 Laguerre多项 式,记为l(x),也就是说,1(x)满足方程 d-L dik +(k+1-x +nL=0.(n=0,2,…) 15(x)的“归一化”约定是它的最高次幂项为 由此不难证明(x)的微分表达式是 Ln(x) nlx dx 所以 1(x)=1,(x)=-(x-k-1),(x) (k+2)x+(k+1k+2) 不妨注意:这里的k并不需要取特殊值,如果变量x∈[O,+∞),那么通常来说只要k∈R就够了,把 它延拓到复平面上也是可能的 再回到前面的问题,我们发现关于(2)的方程有多项式解的条件是 -21-3=4n1,(n2=0,1,2…) 所以 元=4n1+2l+3,(n=0,1,2…) 或者写为 元=2N+3.(N=|+2n1=l,7+2,1+4,…) 所以能级为 Ex=N+ho.(N=0,1,2,…) 在N给定以后,可以取值 =N,N-2,N-4 再考虑到每个/值有2/+1个简并态,就不难验证E的简并度是(N+1)(N+2)/2。这些都与直角坐标 系中算得的相同。至于波函数,不难得到径向波函数是

2 2 / 2 ( ) ( ) e , ( (0) 0) l R u u     − =  那么 u( )  就满足方程 ( ) 2 2 2 2 1 ( 2 3) 0. d u du l l u d d      + + − + − − = 再做变换 2   = , 则方程变为 2 2 3 1 ( 2 3) 0. 2 4 d u du l l u d d        + + − + − − =     分析表明，只有当  取一些特殊值的时候这个方程才有多项式解。事实上，这个方程属于合流超几何方 程。合流超几何方程的标准形式是 ( ) 2 2 1 0. d L d L x k x n L dx dx + + − + = 它的一般解是合流超几何级数，但是，这样的级数解不能满足波函数有限的要求。只有当参数 n 取非负 整数的时候，方程的解才退化为多项式，并且 n 就是多项式的次数。这个多项式称为缔合 Laguerre 多项 式，记为 ( ) k L x n ，也就是说， ( ) k L x n 满足方程 ( ) 2 2 1 0. ( 0,1, 2, ) k k n n k n d L d L x k x n L n dx dx + + − + = = ( ) k L x n 的“归一化”约定是它的最高次幂项为 ( 1) ! n n x n − . 由此不难证明 ( ) k L x n 的微分表达式是 e ( ) ( e ). ! x n k n k x n k n d L x x n x dx + − = 所以 ( ) 2 0 1 2 1 ( ) 1, ( ) ( 1), ( ) 2( 2) ( 1)( 2) , 2 k k k L x L x x k L x x k x k k = = − − − = − + + + + 不妨注意：这里的 k 并不需要取特殊值，如果变量 x  +  [0, ) ，那么通常来说只要 k  就够了，把 它延拓到复平面上也是可能的。 再回到前面的问题，我们发现关于 u( )  的方程有多项式解的条件是 2 3 4 , ( 0,1, 2, ) r r  − − = = l n n 所以 4 2 3, ( 0,1, 2, ) r r  = + + = n l n 或者写为 2 3. ( 2 , 2, 4, )  = + = + = + + N N l n l l l r 所以能级为 3 . ( 0,1, 2, ) 2 E N N N    = + =     在 N 给定以后， l 可以取值 0, ( even) , 2, 4, , 1, ( odd) N l N N N N  = − −   再考虑到每个 l 值有 2 1 l + 个简并态，就不难验证 EN 的简并度是 ( 1)( 2) / 2 N N + + 。这些都与直角坐标 系中算得的相同。至于波函数，不难得到径向波函数是

R(r)=CL+()(p2)pe-e / 2, (p=Ho/hr) 其中2(p2)是以p2为自变量的缔合 Laguerre多项式,C是归一化常数。 我们看到,三维各向同性谐振子的能级简并度高于一般中心力场中的能级简并度(2l+1),这是因 为三维各向同性谐振子势场的对称性是SU(3),比一般中心力场的对称性SO(3)高。 实质上说,对于同一个N,直角坐标系中的的波函数v(x,y,=)=vn(x)vn(y)vn()和球坐 标系中的波函数vN(r,,q)=R1(r)Yn(,q)可以通过线性幺正变换互相联系,这是所谓表象变换的 个实际例子。在教材上对于N=1的情形给出了具体的变换矩阵。 作业:习题511,5.12

3 2 (1/ 2) 2 / 2 ( ) ( ) e , ( / ) r l l R r C L r n      + − = = 其中 (1/ 2) 2 ( ) r l n L  + 是以 2  为自变量的缔合 Laguerre 多项式， C 是归一化常数。 我们看到，三维各向同性谐振子的能级简并度高于一般中心力场中的能级简并度 (2 1) l + ，这是因 为三维各向同性谐振子势场的对称性是 SU(3)，比一般中心力场的对称性 SO(3) 高。 实质上说，对于同一个 N ，直角坐标系中的的波函数 ( , , ) ( ) ( ) ( ) N n n n x y z     x y z x y z = 和球坐 标系中的波函数 ( , , ) ( ) ( , ) N N l lm      r R r Y = 可以通过线性幺正变换互相联系，这是所谓表象变换的一 个实际例子。在教材上对于 N =1 的情形给出了具体的变换矩阵。 作业：习题 5.11; 5.12