《粘性流体力学》第四讲 能量方程

1动能方程 用u,w分别与xyz方向的动量方程 相乘,然后把所得三式相加 Dd p(u +vn+wa-j=pluff +uf,+wf Dt dt x OT In do OT + + EX + XX + + 2 oX OZ

1动能方程 用u,v,w分别与x,y,z方向的动量方程 相乘，然后把所得三式相加 ( ) ( ) ( ) ( } ( ) x y z w x y z v x y z u uf v f wf Dt Dw w Dt Dv v Dt Du u z yz xz z y xx xy z x yx xx x y z   +   +   +   +   +   +   +   +   + + + = + +           

上式中等号左边的项可以写成动能变化的形式 Du DD D 1 Du2 Dy 2 Dw P(-+vx+w}==P( Dt Dt Dt 2 t Dt Dt 2 Dt OL Dy 1 DY Dt 利用彻体力等于负的位能的梯度f计+k=V上 式中等号右边的第一项可以写位能势的全导数形式 00D pluf +uf+wf=-p(u+v+w Dt 其中￠是彻体力的势能

上式中等号左边的项可以写成动能变化的形式 Dt DV V Dt DV Dt Dw Dt Dv Dt Du Dt Dw w Dt Dv v Dt Du u     = + + = + + 2 2 2 2 2 1 ( } 2 1 ( } 利用彻体力等于负的位能的梯度.fx i+fy j+fzk=- 上 式中等号右边的第一项可以写位能势的全导数形式 其中是彻体力的势能        Dt D z w y v x uf v f w f u x y z = −   +   +   ( + + ) = − ( )

把这动能和位能两个式子带入由动量合成的方程 (2-4-1)得 Dy Do x pv Dt tp x Dt ax ay a + +-)+1(+-+) 1 DY 上式左端也可以写成 2D0 2 Dt Dt 此方程叫动能方程

把这动能和位能两个式子带入由动量合成的方程 (2-4-1)得 • 此方程叫动能方程 Dt D Dt DV x y z w x y z v x y z u Dt D Dt DV V z yz xz z y xx xy z x yx xx                +   +   +   +   +   +   +   +   +   + = 2 2 1 : ( ) ( ) ( ) 上式左端也可以写成

2内能方程 根据能量守恒定律: 微元内的能量增加=压力和粘应力做功+流入热量 a=B+ 而物体内部能量A为: p dx dy dz (e+ 1/2v2+o) 增加为:pD(e+1/2四+d)/ Dt dx dy dz 流体微元的能量不仅有内能e,还有动能l/22和 位能φ.后面的讨论经常忽略不计

根据能量守恒定律: 微元内的能量增加=压力和粘应力做功+流入热量 A = B + C 而物体内部能量A为:  dx dy dz (e + 1/2 V2+  ) 增加为:  D (e + 1/2 V2+  ) /Dt dx dy dz 流体微元的能量不仅有内能e ，还有动能1/2 V2和 位能 ．后面的讨论经常忽略不计 2 内能方程

在单位时间内, 该流体微元的能量增量可写成 odxdydz(+v-) dt 14

( ) dt dV V dt de dxdydz + 在单位时间内， 该流体微元的能量增量可写成 14

B流体微元应力,和表面压力所做的功 应力Tx P+dP styx 做功xu TVX P+dP W tVX P 应力Tx+dTx做功 P+dP ZX t ot w/Ox 14

B 流体微元应力,和表面压力所做的功 应力xx+d xx做功: xx u+ xx u/x zx+d zx P+dP P+dP P+dP u yx vyx w yx P 应力xx 做功:xx u 14

B流体微元和y垂直表面x方向应力所做的功 P+dl +dτ、做功 Eyx u)/oyjdxdydz W tVX P X U和应力τ在x方向做功 上下两面相差 d(tx u/ay dxdydz utyx dxdydz

B 流体微元和y垂直表面x方向应力所做的功 yx+d zx P+dP u yx vyx w yx P 应力yx+d yx做功: [yx u+ (yx u)/y]dxdydz U和应力yx在x方向做功 uyx dxdydz 上下两面相差 (yx u)/y dxdydz

B流体微元x方向应力在和z垂直表面所做的功 u在x方向做功uzx P+dPVτy dxdydz TVX W tVX P ZX 应力做功前后相差 (τxut+ OT u/az) dxdydz dt uozdxdyd

B 流体微元x方向应力在和z垂直表面所做的功 zx+d zx P+dP u yx vyx w yx P u在x方向做功 -uzx dxdydz 应力zx+d zx做功: (zx u+ zx u/z)dxdydz 前后相差 (zx u)/zdxdydz

B流体微元x向应力在和在和x垂直表面所做的功 应力τ做功τu StyX u tyx WTyx P u在x方向做功 应力x+dTx做功 uty dxdydz T zX (Txx u+ a( Ox)dxdydz 左右相差 txx)/0

B 流体微元x向应力在和在和x垂直表面所做的功 应力xx+d xx做功: (xx u+ (xx u)/x)dxdydz zx+d zx P+dP u yx vyx w yx P 应力xx做功xx u u在x方向做功 uxx dxdydz 左右相差 (xx u ) /xdxdydz

以上计算的才仅仅是速度u在 三个表面上和纯粘性应力结 合所作的功 还应当有速度v所作的功 速度w所作的功 以及速度uV,W对压力p所作的功 下面求所作的功办法相同 [(up,x+(vp+(w p),]dxdydz-=-Volpv

以上计算的才仅仅是速度u在 三个表面上和纯粘性应力结 合所作的功 还应当有速度v所作的功 速度w所作的功 以及速度u,v,w对压力p所作的功 下面求v所作的功办法相同 -[(u p), x+(v p),y+(w p),z]dxdydz=-•(pV)