《量子力学》第十章 微扰论（10.1）束缚态微扰论（一）非简并情形

第十章微扰论 §10.1束缚态微扰论I:非简并情形 1.微扰论的基本构架 可以精确求解的量子力学问题是很少的,所以近似方法有重要的作用。微扰论是广泛应用的近似方 法之一。 我们的目标仍然是求解定态 Schrodinger方程,即能量本征方程 Hyn=Eny 并且只关心東缚态,因而能量本征值{E}是离散的。但问题是H比较复杂,不能精确求解。如果H有 下面的形式 H=H(O+h' 其中H)是可解的,即它的本征方程 已经解出(E0和v都知道了),而(称为微扰 Hamiltonian)是一个小的修正: <B(0 (关于这个式子的准确含义,后面再给予解释),那么我们就可以采用下面的“微扰”方法。 首先形式地把H'重新写成 H'=2B() 其中λ是一个小的实参数。然后把 Schrodinger方程的解En和vn按照的幂次逐阶展开,即令 En=E0+AE+2E2)+… vn=v0+v)+2v2)+ 而EO,ED,En2)…和v0,v0),v2),…都不再包含。显然,E0和v0与无关,称为En和vn 的“零级近似,而E和AvD称为En和n的“一级微扰论修正”,2E2)和2v2)称为En和vn 的“二级微扰论修正”,等等。一般说来,越高级的项越小,所以可以只保留最低的几级,便有足够的 精度。把上述展开式代入原方程,得到 (0+)(v+v0)+2v2)+ (E0)+1ED+2E2+…)0+4w+x2v2)+…) 让上式中λ的幂次相同的项分别相等,我们就得到一系列方程。这些方程就称为各级微扰论方程。我们 即将看到,微扰论方程是可以逐级解出的 零级方程就是原来的的本征方程,即 H(O)yO)=ElO)y( o) 一级方程是: (00-EDO)v)=-(H10)-ED)v0 二级方程是 (r00-EBO)v2)=-(h()-E)v0+En2 如此等等。不过必须指出:我们引入参数λ的目的仅仅是为了让微扰论的各“级”有明确的含义。实际 上,我们看到的微扰 Hamiltonian就是。所以,此后我们仍然令2=1,B①)=f,于是以上各式就 分别成为 E=EO+E+E (0)-E0)vD=-(-E0)v0 (r0-E0)y2)=-(H-E0D)v0)+E2v 关于微扰论中波函数的归一化问题我们要说几句。大家知道, Schrodinger方程对于波函数是线性方

1 第十章 微扰论 §10.1 束缚态微扰论 I：非简并情形 1. 微扰论的基本构架 可以精确求解的量子力学问题是很少的，所以近似方法有重要的作用。微扰论是广泛应用的近似方 法之一。 我们的目标仍然是求解定态 Schrödinger 方程，即能量本征方程 ˆ , H E   n n n = 并且只关心束缚态，因而能量本征值 { } En 是离散的。但问题是 H ˆ 比较复杂，不能精确求解。如果 H ˆ 有 下面的形式： , ˆ ˆ ˆ (0) H = H + H 其中 (0) H ˆ 是可解的，即它的本征方程 (0) (0) (0) (0) ˆ H E   n n n = 已经解出（ (0) En 和 (0)  n 都知道了），而 H  ˆ (称为微扰 Hamiltonian）是一个小的修正： (0) H H ˆ ˆ  , （关于这个式子的准确含义，后面再给予解释），那么我们就可以采用下面的“微扰”方法。 首先形式地把 H  ˆ 重新写成 (1) H H ˆ  ˆ  = , 其中  是一个小的实参数。然后把 Schrödinger 方程的解 En 和  n 按照  的幂次逐阶展开，即令： (0) (1) 2 (2) E E E E n n n n = + + +   , (0) (1) 2 (2)      n n n n = + + + , 而 (0) (1) (2) , , , E E E n n n 和 (0) (1) (2) , , ,    n n n 都不再包含  。显然， (0) En 和 (0) n 与 H  ˆ 无关，称为 En 和  n 的“零级近似”，而 (1)  En 和 (1)  n 称为 En 和  n 的“一级微扰论修正”， 2 (2)  En 和 2 (2) n 称为 En 和  n 的“二级微扰论修正”，等等。一般说来，越高级的项越小，所以可以只保留最低的几级，便有足够的 精度。把上述展开式代入原方程，得到 (0) (1) (0) (1) 2 (2) ˆ ˆ ( )( ) H H + + + +      n n n (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) ( )( ) = + + + + + + E E E n n n n n n       . 让上式中  的幂次相同的项分别相等，我们就得到一系列方程。这些方程就称为各级微扰论方程。我们 即将看到，微扰论方程是可以逐级解出的。 零级方程就是原来的 (0) H ˆ 的本征方程，即 (0) (0) (0) (0) ˆ H E   n n n = . 一级方程是： (0) (0) (1) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E − = − − n n n n   二级方程是： (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n    如此等等。不过必须指出：我们引入参数  的目的仅仅是为了让微扰论的各“级”有明确的含义。实际 上，我们看到的微扰 Hamiltonian 就是 H  ˆ 。所以，此后我们仍然令 (1) ˆ ˆ  = = 1, H H ，于是以上各式就 分别成为： (0) (1) (2) E E E E n n n n = + + + , (0) (1) (2)     n n n n = + + + , (0) (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E − = − − n n n n    (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n     关于微扰论中波函数的归一化问题我们要说几句。大家知道，Schrödinger 方程对于波函数是线性方

程,所以波函数的归一化要在上面的方程组之外另行解决。对vn=v0+v0)+2v2)+…做归 化,我们发现有 )= +2[(v,v2)+(0y)+y2,y0)y+ 既然我们已经取了v前面的系数是1,那么由于(v0),v0)=1,所以这就要求 )=0, (v0),v2) 对于v来说,通常就简单地要求 (v0),vn)=0 以使上面的第一式得到满足。但是对于更高级的微扰波函数是不能这样要求的。 2.一级微扰能和微扰波函数 我们先处理非简并情形,即0的属于EO的本征态只有一个。为了解一级方程,把v按{v} 来展开: D=∑amym 再代入方程中得 2am(H(o)-Em)vo=-(H-Em) 即是 Larm(emo-Ef)y=-(H'-Em )y o 在这等式的两端乘以vAO”并且积分,注意{0)}是正交归一的,就得 and(EkO)-Ef )=vkH'wfodr+En S k是任选的,如果选k=n,那么上式左方就等于0,所以我们得到了一级微扰能: 其中H就是在{v0}表象中的矩阵元,也就是在状态v0下的平均值。如果选k≠n,那么右 方第二项=0,所以得到 H E0)-E (k≠n) 其中H是矩阵元 当然,这里不能给出a,但是由于我们要求vD和v0正交,所以am=0。因此一级微扰波函数是 其中∑表示求和中不包括m=n的项。由此,我们发现微扰论适用的条件是 这就是H《H0的准确含义 3.二级微扰能 二级微扰方程是:

2 程，所以波函数的归一化要在上面的方程组之外另行解决。对 (0) (1) 2 (2)      n n n n = + + + 做归一 化，我们发现有 (0) (0) (0) (1) (1) (0) 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n n n n                 = = + +     + + + +     既然我们已经取了 (0)  n 前面的系数是 1，那么由于 (0) (0) ( , ) 1   n n = ，所以这就要求 (0) (1) (1) (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) 0, n n n n n n n n n n           + = + + = 对于 (1)  n 来说，通常就简单地要求 (0) (1) ( , ) 0,   n n = 以使上面的第一式得到满足。但是对于更高级的微扰波函数是不能这样要求的。 2. 一级微扰能和微扰波函数 我们先处理非简并情形，即 (0) H ˆ 的属于 (0) En 的本征态只有一个。为了解一级方程，把 (1)  n 按 (0) { }  n 来展开： (1) (1) (0) . n nm m m   = a 再代入方程中得： (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) , nm n m n n m a H E H E − = − −   即是： (1) (0) (0) (0) (1) (0) ˆ ( ) ( ) . nm m n m n n m a E E H E − = − −    在这等式的两端乘以 (0)  k 并且积分，注意 (0) { }  n 是正交归一的，就得： (1) (0) (0) (0) (0) (1) ˆ ( ) . nk k n k n n kn a E E H d E      − = − +   k 是任选的，如果选 k = n ，那么上式左方就等于 0，所以我们得到了一级微扰能： (1) (0)* (0) (0) (0) ˆ , E H d H H n n n n n nn = = =          其中 Hnn  就是 H ˆ  在 (0) { }  n 表象中的矩阵元，也就是 H ˆ  在状态 (0)  n 下的平均值。如果选 k  n ，那么右 方第二项 = 0 ，所以得到： (0) (0) (1) (0) (0) (0) (0) ˆ , ( ) k n kn nk n k n k H d H a k n E E E E       = =  − −  其中 Hkn  是矩阵元 (0) (0) (0) (0) ˆ . H H d H kn k n k n          = =  当然，这里不能给出 (1) nn a ，但是由于我们要求 (1)  n 和 (0)  n 正交，所以 (1) 0 nn a = 。因此一级微扰波函数是 , (0) (0) (0) (1) m n m m n m n E E H   −  =  其中 m  表示求和中不包括 m= n 的项。由此，我们发现微扰论适用的条件是： (0) (0) 1. mn n m H E E  − 这就是 (0) H H ˆ ˆ  的准确含义。 3. 二级微扰能 二级微扰方程是：

(H00-E0)v2)=-(H-En)v)+En2y 现在v已经求出,代入方程中得 (Bo-Eyv2=∑' roro, H'vm A0)+E(2 仍然把v(2)展开为{vn0}的线性组合,然后在方程两端乘以v0并且积分,左方再一次=0,右方第 二项也=0,剩下的部分给出了二级微扰能 E(2)= ∫vor 其中注意Hm=(Hm),因为H是 Hermitian算符。二级微扰波函数的导出与前面的做法是类似的 这里不再细说 例子:在静电场中的一维谐振子。 假设一维谐振子还带有电荷q,并处在外加恒定电场E(沿X轴正向)中,那么哈密顿量是 H=H(O)+H' 其中 H 2u dx ex 级微扰能是 EO=H x=0, 这是因为v0(x)总是偶函数。所以要再求二级微扰能。先要计算 x E 这个计算可以借助于阶梯算符来完成。由于 (a+a) 21 所以 (2+21+:(mm+如+m mn=-qE( 由此得到二级微扰能为 E2=2'EiO-EMO) E(O) -,+ E(o) -Eo 2Ho ho-ho n-1,n q2H nn+ 注意,这个微扰能与n无关。所以扰动以后的能级是(准确到二级微扰)

3 (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n     现在 (1)  n 已经求出，代入方程中得 (0) (0) (2) (0) (1) (0) (2) (0) (0) (0) (0) (0) ˆ ˆ ( ) . mn mn n n m n m n n m m n m n m H H H E H E E E E E E       − = − + +  − −     仍然把 (2)  n 展开为 (0) { }  n 的线性组合，然后在方程两端乘以 (0)*  n 并且积分，左方再一次 = 0 ，右方第 二项也 = 0 ，剩下的部分给出了二级微扰能： (2) (0) (0) (0) (0) (0) (0) mn mn nm ˆ n n m m m n m n m H H H E H d E E E E        = =  − −      2 (0) (0) , mn m n m H E E  = −  其中注意 ( ) H H nm mn    = ，因为 H  ˆ 是 Hermitian 算符。二级微扰波函数的导出与前面的做法是类似的， 这里不再细说。 例子：在静电场中的一维谐振子。 假设一维谐振子还带有电荷 q ，并处在外加恒定电场  （沿 X 轴正向）中，那么哈密顿量是 , ˆ ˆ ˆ (0) H = H + H 其中 , 2 1 2 ˆ 2 2 2 2 2 (0) x dx d H   = − +  ˆ H q x  = −  . 一级微扰能是 (1) (0) (0) 0, E H q x dx n nn n n    = = −  =   这是因为 (0) 2 | (x)| n 总是偶函数。所以要再求二级微扰能。先要计算 (0) (0) (0) (0) . H q x dx q x mn m n m n       = −  = −   这个计算可以借助于阶梯算符来完成。由于 (0) (0) 1 ˆ 1 , n n a n   + = + + (0) (0) 1 ˆ , n n a n   = − 而 ˆ ( ), ˆ ˆ 2 x a a m + = + 所以 (0) (0) (0) (0) , 1 , 1 ( ) ( 1 ), ˆ ˆ 2 2 m n m n m n m n x a a n n m m         + = + = + + − + , 1 , 1 ( 1 ). 2 H q n n mn m n m n    − +  = −  + + 由此得到二级微扰能为 2 2 2 2 2 1, 1, (2) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 1 1 2 mn n n n n n m n m n n n n H H H q n n E E E E E E E    − + − +     +   = = + = +   − − −   −  . 2 2 2 2   = − q 注意，这个微扰能与 n 无关。所以扰动以后的能级是（准确到二级微扰）

En (0) E0)+E n+=ho g-E 实际上,这个问题是有精确解的。把完整的(x)重写为 v(x)=3uo2x2-qEx=5uo2 x 2 它的第一项只不过是把原来的谐振子势能平移了一段距离,这个移动不会影响谐振子的能级,而它的第 项正是前面求出的常数 作业:习题10.1;10.3;10.4

4 . 2 2 1 2 2 2 (0) (2)     −      = + = + q En En En n  实际上，这个问题是有精确解的。把完整的 V x( ) 重写为 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) , 2 2 2 q q V x x q x x         = −  = − −     它的第一项只不过是把原来的谐振子势能平移了一段距离，这个移动不会影响谐振子的能级，而它的第 二项正是前面求出的常数。 作业：习题 10.1; 10.3; 10.4