《量子力学》第三章 力学量用算符表达（3.4）角动量算符的本征值和本征态

§34角动量算符的本征值和本征态 1.角动量算符的球坐标表示 角动量算符的定义是 p=-ihF×V 即是 Lx=-ih(0:-0,),Ly=-ih(=ox-x02),L2=-ih(x,-y0x 此外我们还引入 L2=L2=L2+12+L2 它们满足的对易关系是 [Lr, L,]=ihL, [Ly, L]=ihLy, [L, L]=ihl 以及 ,1=[2,2]=E,E]=0 所以,这些算符的的完备集是2以及L,L之中的某一个,通常选为L。我们的任务是求解2和 L的同时本征方程(注意这和动量算符的情况完全不同)。 为了解这些本征方程,更方便的是从直角坐标(x,y,z)转入球坐标(r,O,): x=rsn 6 cos, y=rsn Osn ==rcos8 其中 r∈[0,∞),b∈[0,x],φ∈[0,2x), 那么, ih L2 sine sing a0 0\+2000 注意:它们与厂无关。Lx和L,的表达式见后面的§82。 2.L.的本征值和本征函数 记L的本征值为mh,本征函数为vn(q),则本征方程是: L- Um =mhy 即是 dym=imm(o) de 所以 由波函数的单值性,必须有: Vn(+2x)=vn(9) 所以 0,±1,±2 归一化是 Jo lym() do=1, 所以 √2 这些本征函数可以用于求解平面转子问题

1 §3.4 角动量算符的本征值和本征态 1. 角动量算符的球坐标表示 角动量算符的定义是： ˆ ˆ ˆ L r p r =  = −   i , 即是 ˆ ˆ ˆ i ( ), i ( ), i ( ). L y z L z x L x y x z y y x z z y x = −  −  = −  −  = −  −  此外我们还引入 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ . L L L L L  = + + x y z 它们满足的对易关系是 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , [ , ] i L L L L L L L L L x y z y z x z x y = = = , 以及 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] 0. L L L L L L x y z = = = 所以，这些算符的的完备集是 2 L 以及 ˆ ˆ ˆ , , L L L x y z 之中的某一个，通常选为 ˆ Lz 。我们的任务是求解 2 L 和 ˆ Lz 的同时本征方程（注意这和动量算符的情况完全不同）。 为了解这些本征方程，更方便的是从直角坐标 ( , , ) x y z 转入球坐标 ( , , ) r   ： x = rsin  cos, y = rsin  sin, z = r cos, 其中 r     [0, ), [0, ], [0, 2 ),     那么， i , ˆ   Lz = −  2 2 2 2 2 1 1 sin . sin sin L              = − +            注意：它们与 r 无关。 ˆ Lx 和 ˆ Ly 的表达式见后面的§8.2。 2. Lz ˆ 的本征值和本征函数 记 Lz ˆ 的本征值为 m ，本征函数为  () m ，则本征方程是： , ˆ Lz m = m m 即是： i  (),   m m m d d = 所以， i ( ) e , m m C    = 由波函数的单值性，必须有：  ( 2 )  (), m + = m 所以 m = 0,1, 2,  归一化是： 2 2 0 ( ) 1, m d     =  所以 1 . 2 C  = 这些本征函数可以用于求解平面转子问题

在这里出现量子数m∈Z(Z代表整数集)的数学原因是:p代表了圆周S上的点,而v(a)是 S→Sl的连续映射,由于S!是拓扑非平凡的,它的第一同伦群就是Z,所以m在本质上是一个拓扑量 子数。在数学上,这个拓扑特征数称为绕数( winding number) 3.L的本征值和本征函数 L2的本征函数是(,)的函数,记为Y(O,),本征值记为Ah2,则本征方程是 LY=h-Y 即是 sIngde sine oy 1 a2y o6丿sin2ao =-AY(6,g) 我们要求Y(O,q)同时是L的本征函数,这个要求等价于求上述方程的分离变量的解,也就是设 Y(0,)=P(0)enp, 因而P(0)满足: 1 d sin sin e de( 2nP()=-P( 通常引入 W=cos6,w∈[-1,+1] 则方程成为 2, dP P(v)=0 这个方程称为缔合(又称连带) Legendre方程。W=±l是这个方程的“奇点”,这意思是说,除非λ取 某些特定值,方程的解将在W=±1处变成无穷大。λ的这些允许值是: A=(+1),l=|m,m|+ 我们把对应的解记为P"(w),所以P"(w)满足方程 )-+|l(+1) P"(v)=0. 特别是,当m=0时,P()=Pm()满足: dhv +l(+1)f()=0 这个方程称为 Legendre方程,它的解P(w)是v的/阶多项式,称为 Legendre多项式,定义为 P() 2 7 du 而P(w)称为缔合 Legendre函数,定义为 P(w)=(1-y2)m 27l d ul+m 这样,本征函数最后成为: Ym(,p=NmP(cose)e, 其中本征值l,m的取值范围是 =0,1,2 l,-1 Nm是归一化常数,使得 Yim(e, o)Ym(0, p )dQ2=1.(dQ2=sin dedo 结果是

2 在这里出现量子数 m ( 代表整数集) 的数学原因是：  代表了圆周 1 S 上的点，而  ( ) 是 1 1 S S → 的连续映射，由于 1 S 是拓扑非平凡的，它的第一同伦群就是 ，所以 m 在本质上是一个拓扑量 子数。在数学上，这个拓扑特征数称为绕数 (winding number)。 3. 2 L 的本征值和本征函数 2 L 的本征函数是 (,) 的函数，记为 Y ( ,) ，本征值记为 2  ，则本征方程是 2 2 L Y Y =  , 即是 2 2 2 1 1 sin ( , ). sin sin Y Y     Y           + = −        我们要求 Y ( , )   同时是 Lz ˆ 的本征函数，这个要求等价于求上述方程的分离变量的解，也就是设 i ( , ) ( )e , m Y P     = 因而 P( ) 满足： 2 2 1 sin ( ) ( ). sin sin d dP m P P d d           − = −     通常引入 w w =  − + cos , [ 1, 1],  则方程成为： 2 2 2 (1 ) ( ) 0. 1 d dP m w P w dw dw w      − + − =         − 这个方程称为缔合（又称连带）Legendre 方程。 w = 1 是这个方程的“奇点”，这意思是说，除非  取 某些特定值，方程的解将在 w = 1 处变成无穷大。  的这些允许值是：  = + = + l l l m m ( 1), , 1, 我们把对应的解记为 P (w) m l ，所以 P (w) m l 满足方程 2 2 2 (1 ) ( 1) ( ) 0. 1 m l m l d m dP w l l P w dw dw w       − + + − =       − 特别是，当 m = 0 时， ( ) ( ) 0 P w P w m l l =  满足： 2 (1 ) ( 1) ( ) 0. l l d dP w l l P w dw dw   − + + =     这个方程称为 Legendre 方程，它的解 P (w) l 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre 多项式，定义为 ( 1) . 2 ! 1 ( ) 2 l l l l l w dw d l P w = − 而 P (w) m l 称为缔合 Legendre 函数，定义为 1 2 / 2 2 ( ) (1 ) ( 1) . 2 ! l m m m l l l l m d P w w w l dw + + = − − 这样，本征函数最后成为： i ( , ) (cos )e , m m Y N P lm lm l     = 其中本征值 l,m 的取值范围是： l m l l l = = − − 0,1, 2 , , 1, , . Nlm 是归一化常数，使得 ( , ) ( , ) 1. ( sin ) Y Y d d d d lm lm          =  =  结果是：

Nm=(-1) (27+1)(-m) 4x(+m)! 所以 Ym(O,g)=(-1) +1)(-m) 4x(+m)! Yn(θ,q)称为球谐函数,l称为角量子数,m称为磁量子数。采用原子物理的术语,l=0,1,2,3 的状态分别称为S,PDF,…态。对于指定的l,有21+1个不同的m值,这就是的本征值l(l+1)h2 的简并度。 头两阶(=0,1)的球谐函数是: V4r 4.球谐函数的基本性质 (1)Yn(O,)是D2和L的同时本征函数 Lm=W+1)2m,(=0,1,2,…) L Y =mhy (m=l,l-1,…,-7) (2)Ym(O,q)是正交归一的 ∫m(O,)m(O,0)d2=nm (3)空间反射变换 F(x→-x,y→>-y,2→-2) 在球坐标系(r,O,q)中成为 b, 球谐函数Ymn(O,q)在空间反射下的变换是 (丌-6,+q)=(-1)Ym(,) 所以,Ym(,g)的宇称是(-1)。 (4)球谐函数Ym(6,9)是单位球面(r=1)上的完备函数系,也就是说,以(O,9)为变量的任何 函数都可以展开为Ymn(6,q)的线性组合 作业:习题3.14,3.15;3.16

3 . ( )! ( )! 4 (2 1) ( 1) l m l l m N m lm + + − = −  所以 i (2 1) ( )! ( , ) ( 1) (cos )e . 4 ( )! m m m lm l l l m Y P l m      + − = − + (,) Ylm 称为球谐函数，l 称为角量子数，m 称为磁量子数。采用原子物理的术语， l = 0,1,2,3,  的状态分别称为 S, P, D, F, …态。对于指定的 l ，有 2l +1 个不同的 m 值，这就是 2 L 的本征值 2 l(l +1) 的简并度。 头两阶 (l = 0,1) 的球谐函数是： , 4 1 00  Y = cos , 4 3 10   Y = i 1, 1 3 sin e . 8 Y      = 4. 球谐函数的基本性质 （1） (,) Ylm 是 2 L 和 ˆ Lz 的同时本征函数： 2 2 ( 1) , ( 0,1, 2, ) ˆ . ( , 1, , ) lm lm z lm lm L Y l l Y l L Y m Y m l l l   = + =   = = − − （2） (,) Ylm 是正交归一的： ( , ) ( , ) . Y Y d l m lm l l m m             =  （3）空间反射变换 r → −r (x → −x, y → −y, z → −z)   在球坐标系 (r, ,) 中成为 r → r,  →  −,  →  + . 球谐函数 (,) Ylm 在空间反射下的变换是 ( , ) ( 1) (,) lm l Ylm − + = − Y . 所以， (,) Ylm 的宇称是 l (−1) 。 （4）球谐函数 (,) Ylm 是单位球面（ r =1 ）上的完备函数系，也就是说，以 ( , )   为变量的任何 函数都可以展开为 (,) Ylm 的线性组合。 作业：习题 3.14; 3.15; 3.16