§2.2方势阱 维无限深势阱 维无限深势阱的势能函数是 0.-aa 在势阱外V=+∞,必有: y(x)≡ (xa) 在势阱内,v(x)满足方程 (x)=0.(-a 0,所以记 2me k 那么方程变成 +k2vy(x)=0 它的一般解是 v(x)=Acos hx+ Bsin h (-aa)的解必须在x=±a处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方,衔 接条件只有v本身的连续性。所以现在 Acos ka+ bsin ka=0, (at x=a) ka- bsin ka=0,(at 因而 A cos ka=0 bsin ka=0 有两种情形的解 (1)B=0, cos ka=0,所以 n+-|丌 (n=0,1,2,…) 2ma v(x)=Acosn+IIx (偶宇称) (2)A=0, sin ka=0,所以 k (n=1,2,3,…) h E nIxX y(x)=Bsin-.(奇宇称) 二者合起来可以写为
1 §2.2 方势阱 1. 一维无限深势阱 一维无限深势阱的势能函数是： 0, ( ) , a x a V x x a x a − = + − 或 在势阱外 V =+ ，必有： (x) 0. (x −a 或 x a) 在势阱内， (x) 满足方程 2 2 2 2 ( ) 0. ( ) d mE x a x a dx + = − 显然 E 必须 0 ，所以记 2 , mE k = 那么方程变成： d dx k x 2 2 2 0 + ( ) = . 它的一般解是： (x) = Acos kx + Bsin kx. (−a x a) 这三段 (x −a, − a x a, x a) 的解必须在 x a = 处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方，衔 接条件只有 本身的连续性。所以现在 − = = − + = = cos sin 0, (at ) cos sin 0, (at ) A k a B k a x a A k a B k a x a 因而 = = sin 0. cos 0, B ka A ka 有两种情形的解： (1) B ka = = 0, cos 0 ，所以 1 2 , ( 0,1,2, ) n k n a + = = 2 2 2 2 1 , 2 2 E n ma = + 1 ( ) cos . 2 x x A n a = + (偶宇称) (2) A ka = = 0, sin 0 ，所以 , ( 1,2,3, ) n k n a = = 2 2 2 2 , 2 E n ma = ( ) sin . n x x B a = (奇宇称) 二者合起来可以写为： , ( 1,2,3, ) 2 n n k n a = =
h2r2 8mo y, (x)=A, sin(x+a) 波函数的归一化条件是 vx)dx=1, 所以 A ,(与n无关) 最后,波函数是: n丌 分析:(1)粒子的量子状态是离散的量子化条件是2pL=mh(m=1,2,3,…),其中p=√2mE是 粒子的动量,L=2a是势阱的宽度。这表明:在粒子的相空间中,每个量子状态占有h这么大的体积。 (2)所以能量也是量子化的,En∝n2。E最低但≠0,对应的状态称为基态,E1=h2x2/2m2称 为零点能。非零的零点能的出现是由于微观粒子服从不确定关系。(3)波函数是驻波。(4)态的宇称是 偶奇相间,基态为偶宇称。(5)波函数的节点数为n-1 这些特点都是有代表性的 把一维无限深势阱的区间取在00)xa 对于束缚态 0a) 第二个方程的一般解是 v(x)=CeBx+De-Bx 对xa应该舍去e。所以波函 数是 (x<-a) y(x)=Acos kx+Bsin k, (a<x<a (a<x 按说应该把它们在x=±a两点衔接起来,但是回忆以前讲过的宇称定理,我们可以做得更简单些。 (1)偶宇称解 B=OC=D 在x=a处让v(x)和dv/dx都连续,或者说让lny(x)连续 (ln cos kx)=(ine
2 2 2 2 2 , 8 E n n ma = n n x A n a ( ) = sin (x + a). 2 波函数的归一化条件是： − = a a (x) dx , 2 1 所以 A = a n 1 , (与 n 无关) 最后，波函数是： n x a n a ( ) = sin (x + a). 1 2 分析：(1) 粒子的量子状态是离散的，量子化条件是 2 ( 1, 2, 3, ) pL nh n = = ，其中 p mE = 2 是 粒子的动量， L a = 2 是势阱的宽度。这表明：在粒子的相空间中，每个量子状态占有 h 这么大的体积。 （2）所以能量也是量子化的， En n 2 。 E1 最低但 0 ，对应的状态称为基态， 2 2 2 1 E mL = / 2 称 为零点能。非零的零点能的出现是由于微观粒子服从不确定关系。(3) 波函数是驻波。(4) 态的宇称是 偶奇相间，基态为偶宇称。(5) 波函数的节点数为 n − 1。 这些特点都是有代表性的。 把一维无限深势阱的区间取在 0 x L 也是完全可以的（见教材），它的优点是波函数比较简单。 2. 对称有限深方势阱 它的势能函数是 0 0, ( ) ( 0). a x a U x V x a x a − = − 或 对于束缚态， 0 0 , E V 所以方程是： 2 2 2 ( ) 0, ( 2 / , ) d k x k mE a x a dx + = = − 2 2 2 0 ( ) 0. ( 2 ( ) / , ) d x m V E x a x a dx − = = − − 或 第二个方程的一般解是： ( ) e e . x x x C D − = + 对 x −a ，x 可以 → − ，而此时 e −x → + ，应该舍去。同理对于 x a 应该舍去 e x 。所以波函 数是： e , ( ) ( ) cos sin , ( ) e . ( ) x x C x a x A kx B kx a x a D a x − − = + − 按说应该把它们在 x = a 两点衔接起来，但是回忆以前讲过的宇称定理，我们可以做得更简单些。 (1) 偶宇称解 B = 0, C = D. 在 x = a 处让 (x) 和 d / dx 都连续，或者说让 ln ( ) x 连续： (ln cos ln e , ) ( ) x x a x a kx − = = =
得到 tanka=B.k=v2mE h,B=y2m(。-E h 这是含有E的一个超越方程,可以从中解出E。 (2)奇宇称解 A=0.C=-D 类似地可得: mE no-e kcot ka=-B. k= B 为了看出能级的分布情况,可以采用图解法。令 2=ka,n=Ba.(5,n>0,无量纲) 则方程成为 n=s tan g(even) o n=-5 cot 5(odd) n2 2mvoa 找出这两族曲线的交点,记交点的ξ值为5152,…,则能级就是: hr 讨论:(1)能级的宇称是偶奇相间,最低的能级是偶宇称。(2)0∞时它们分别趋近于无限深势阱的对应能级, 且波函数也分别趋近于无限深势阱中的波函数。这从另一个角度表明了我们对无限深势阱中的波函数 提出的条件(在势阱的边界处只要求波函数连续而不要求它的一阶导数连续)是正确的。(3)不论势阱 多浅或多窄,至少存在一个束缚态。(4)在给定的势阱中,能级的个数是Ua2/方z,这里x 代表≥x而最接近x的正整数。(5)基态波函数没有节点,而能级每向上升高一级,波函数的节点就增 加1个。 作业:习题2.1;2.2;2.3
3 得到 0 2 2 ( ) tan . , mE m V E k ka k − = = = 这是含有 E 的一个超越方程，可以从中解出 E 。 (2) 奇宇称解 A = 0, C = −D. 类似地可得： 0 2 2 ( ) cot . , mE m V E k ka k − = − = = 为了看出能级的分布情况，可以采用图解法。令 = = ka a , . ( , 0, 无量纲) 则方程成为： 2 2 2 0 2 tan (even) cot (odd), 2 . mV a = = − + = 或 找出这两族曲线的交点，记交点的 值为 1 2 , , , 则能级就是： 2 2 2 . 2 En n ma = 讨论：（1）能级的宇称是偶奇相间，最低的能级是偶宇称。（2） 1 2 0 ( / 2) 。所 以每个能级都比无限深势阱的相应能级低一些。在 U0 → 时它们分别趋近于无限深势阱的对应能级， 而且波函数也分别趋近于无限深势阱中的波函数。这从另一个角度表明了我们对无限深势阱中的波函数 提出的条件（在势阱的边界处只要求波函数连续而不要求它的一阶导数连续）是正确的。（3）不论势阱 多浅或多窄，至少存在一个束缚态。（4）在给定的势阱中，能级的个数是 8 0 2 2 2 U a / ，这里 x 代表 x 而最接近 x 的正整数。（5）基态波函数没有节点，而能级每向上升高一级，波函数的节点就增 加 1 个。 作业：习题 2.1; 2.2; 2.3