§2.3δ势阱 1.δ函数的定义和主要性质 d函数的概念是 Dirac首先提出来的,它有直接的物理背景。例如考虑一些电荷分布在一条直线上, 可以引入线电荷密度p(x)来描写这个分布,它的定义是 P(x)=lm Ax→>0△A 其中△q是分布在间隔△x中的电荷,而这条直线上的总电荷Q由p(x)的积分给出 Q=(x) 如果实际的电荷分布是在x=a处有一个点电荷Q,其它各处都没有电荷,那么显然p(x)在x≠a的 地方处处是零,而在x=a这一点变成了无穷大。Drac建议:把这时的线电荷密度p(x)记为 P(x)=0d(x-a) 其中的(x-a)就称为d函数。它显然是一种非常“奇异”的函数。 可以这样来理解δ函数: +∞,(x=a 并且 「6(x-a)d=1 但是严格地说∞不是一个“数”,所以上面这种表达δ函数的方法不符合数学中关于“函数”的定义。 严格一点,可以认为δ函数是一种特殊的“积分核”,按照下式来定义: f(xo(x-adx=f(a) 其中函数f(x)在x=a(-∞0) 在α→+∞时的极限。显然 lim aex (x≠0) a→+0 +∞,(x=0) ae 所以,只要取 z 这个极限函数就满足δ函数的条件,因此 lim 6(x).(a>0) 类似的极限还有 lim 6(x) kx =6(x), kx 6(x)
1 §2.3 势阱 1. 函数的定义和主要性质 函数的概念是 Dirac 首先提出来的，它有直接的物理背景。例如考虑一些电荷分布在一条直线上， 可以引入线电荷密度 (x) 来描写这个分布，它的定义是 x q x x = →0 ( ) lim , 其中 q 是分布在间隔 x 中的电荷，而这条直线上的总电荷 Q 由 (x) 的积分给出： Q = (x) dx . 如果实际的电荷分布是在 x = a 处有一个点电荷 Q ，其它各处都没有电荷，那么显然 (x) 在 x a 的 地方处处是零，而在 x = a 这一点变成了无穷大。Dirac 建议：把这时的线电荷密度 (x) 记为 (x) = Q (x − a), 其中的 (x − a) 就称为 函数。它显然是一种非常“奇异”的函数。 可以这样来理解 函数： 0, ( ) ( ) , ( ) x a x a x a − = + = 并且 (x − a) dx = 1. 但是严格地说 不是一个“数”，所以上面这种表达 函数的方法不符合数学中关于“函数”的定义。 严格一点，可以认为 函数是一种特殊的“积分核”，按照下式来定义： f (x) (x − a) dx = f (a), 其中函数 f (x) 在 x = a (− a +) 处是连续的。但是要指出，这里的积分仍然不是 Riemann（黎 曼）积分，而其中的 函数也属于“广义函数”一类。 可以把 函数看作是一些含参数的连续函数的极限情形。例如考虑 ( , ) ( , 0) 2 2 = e − x C C x 在 → + 时的极限。显然 2 2 0, ( 0) lim , ( 0) e x x x − →+ = + = 同时 = − + − dx x 2 2 e , 所以，只要取 1 C = , 这个极限函数就满足 函数的条件，因此 2 2 lim ( ). ( 0) e x x − →+ = 类似的极限还有 sin lim ( ), k kx x x →+ = 2 2 sin lim ( ), k kx x k x →+ = 2 1 cos lim ( ), k kx x kx →+ − =
等等。以后我们会有一种更加一般的方法把δ函数表达成连续函数的极限(见§71)。 某些含有δ函数的公式 其中E(x)是“单位阶跃函数 0,(x0) 当然,这里的微分也是广义的。 (2)对于非零任何实数, 推论:δ(x)是偶函数,即δ(-x)=δ(x)。更一般地说, o(x-x 5(f(x)= f"(x) 其中x(=1,2…)是方程∫(x)=0的各个单实根(重根的情况需另外考虑)。 ∫f(x8(x-adb=-r(a)(r 更一般地 /x)s(x-a)k=(-r"(a)./o(x) (4) 这个等式应该按下式的意义来理解: kM p(i kx)dx (ikx)dx 2T S(k) 2.一维δ势阱中的束缚态 设势能函数是 (x)=-y6(x).(y>0) 那么只有在E<0时才是束缚态。注意到在x=0处(x)有无限大的跳跃,所以v'(0)是不连续的。把 的Scl 方程 (E+y6(x)y=0 在-E<x<+E(E→0t)上积分,可以得到v′(0)的跃变条件 在x≠O的区域,方程是 d-y B2w=0,B d x 所以对于偶宇称态,波函数为 把v'(0)的跃变条件代进去,得到
2 等等。以后我们会有一种更加一般的方法把 函数表达成连续函数的极限（见§7.1）。 某些含有 函数的公式： (1) dx d x x ( ) ( ) = , 其中 (x) 是“单位阶跃函数”： 0, ( 0) ( ) 1. ( 0) x x x = 当然，这里的微分也是广义的。 (2) 对于非零任何实数 ， ( ) 1 ( x) x = . 推论： (x) 是偶函数，即 ( ) ( ) − = x x 。更一般地说， ( ) ( ) ( ) , ( ) i i i x x f x f x − = 其中 ( 1, 2, ) i x i = 是方程 f x( ) 0 = 的各个单实根（重根的情况需另外考虑）。 (3) f (x) (x − a) dx = − f (a), dx df f (x) 更一般地， ( ) ( ) ( 1) ( ). ( ) ( ) f x x − a dx = − f a n n n n n n dx d f f (x) ( ) (4) exp(i kx) dx = 2 (k). 这个等式应该按下式的意义来理解： 2 ( ) sin exp(i ) lim exp(i ) 2 lim k k k M k x dx k x dx M M M M = = = →+ + →+ − . 2. 一维 势阱中的束缚态 设势能函数是 V x x ( ) ( ). ( 0) = − 那么只有在 E 0 时才是束缚态。注意到在 x = 0 处 V x( ) 有无限大的跳跃，所以 (0) 是不连续的。把 此时的 Schrödinger 方程 ( ) 2 2 2 2 ( ) 0 d m E x dx + + = 在 x ( 0 ) + − + → 上积分，可以得到 (0) 的跃变条件 2 2 (0 ) (0 ) (0). m + − − = − 在 x 0 的区域，方程是 2 2 2 2 2 | | 0, d m E dx − = = 所以对于偶宇称态，波函数为 e , ( 0) ( ) e . ( 0) x x C x x C x − = 把 (0) 的跃变条件代进去，得到
B 所以粒子的能量本征值为 fr E 2m 波函数的归一化是 ∫1w(x)a IC I 所以 通常记 L Bmy 称为δ势的特征长度(它代表了这个δ势有多大的影响范围),那么δ势阱又可以写为 h- (x) 它的束缚态波函数是 √L 而能量本征值是 方2 E 2mL 不难证明:奇宇称态不可能满足在x=0点波函数连续的条件,除非v(x)≡0。所以在势阱中仅 仅存一个偶宇称的束缚态。(提问:怎么证明?) 3.从方势阱过渡到δ势阱 我们可以先假设一个有限深和有限宽的方势阱 1(Vo>0,(x (x) (x|>E) 然后让波函数在x=±E处满足本身连续而且一阶导数也连续的条件,那么不难证明:如果取极限 +0,2E10→)y 则波函数本身在x=0点仍然连续但一阶导数有跃变: y'(0) 这正是δ势阱要求的波函数条件。所以,δ势阱是短程作用的一种理想化近似。 作业:习题24;2.5,2.12
3 2 , m = 所以粒子的能量本征值为 2 2 2 2 . 2 2 m E m = − = − 波函数的归一化是 2 2 | | | ( ) | 1, C x dx + − = = 所以 C = . 通常记 2 1 L , m = = 称为 势的特征长度（它代表了这个 势有多大的影响范围），那么 势阱又可以写为 2 V x x ( ) ( ), mL = − 它的束缚态波函数是 1 | |/ ( ) e , x L x L − = 而能量本征值是 2 2 . 2 E mL = − 不难证明：奇宇称态不可能满足在 x = 0 点波函数连续的条件，除非 ( ) 0 x 。所以在 势阱中仅 仅存一个偶宇称的束缚态。（提问：怎么证明？） 3．从方势阱过渡到 势阱 我们可以先假设一个有限深和有限宽的方势阱 0 0 ( 0), (| | ) ( ) 0. (| | ) V V x V x x − = 然后让波函数在 x = 处满足本身连续而且一阶导数也连续的条件，那么不难证明：如果取极限 0 0 → → + → 0, , 2 , V V 则波函数本身在 x = 0 点仍然连续但一阶导数有跃变： 2 2 (0 ) (0 ) (0). m + − − = − 这正是 势阱要求的波函数条件。所以， 势阱是短程作用的一种理想化近似。 作业：习题 2.4; 2.5; 2.12