《量子力学》第二章 一维势场中的粒子（2.1）一维运动问题的一般分析

第二章一维势场中的粒子 §21一维运动问题的一般分析 维问题的实际背景是平面型固体器件,“超晶格”,以及从高维问题约化下来的一维问题。 1.一维定态 Schrodinger方程的解的一般特征 维定态 Schrodinger方程是 h- d-y 2m d,2+V(x)y=Ey, 或者写为二阶常微分方程的标准形式 d n2 (E-(x)y=0 在经典力学的意义上,E=T+V,其中T是动能,永远≥0,因此我们永远有E-≥0。而在 量子力学里由于有不确定关系的缘故,我们完全谈不上粒子“在某点处的动能”,因此即使在E-V0的区域解的特征是完全不同的。我们将把E-V>0的区域称为经典允许区,E-V0),v(x)在横轴上方是向上凸的,在横轴下方是向下凹的 在经典禁戒区里(E-V0时)v(x)呈现出振荡式的行为,而在经典禁戒区里(E-V<0 时)v(x)通常是单调变化的。 这样一个直观的图象对于我们理解后面的问题将会很有帮助。 2.关于一维定态 Schrodinger方程的解的基本定理 Wronskian定理:若势能(x)是规则的(没有奇点),v(x)和v2(x)都是一维定态 Schrodinger方 程(对应相同能量)的解,则 wi v2lEyivi-viy constant 其中v=.证明:W(x)和v{(X)分别满足 YI E-1)v1=0 E-)y2=0 前式乘以v2,后式乘以v,再把后式减去前式,得 W1U2-yil2=(yiv2-yiu2)=0 2-viv2=c L 4v1v2称为v(x)和v2(x)的Wmna行列式。当△=0时,w(x)和2(x)是线性相关的, 也就是说它们只相差一个常数因子,而当△≠0时,v(x)和v2(x)是线性无关的。 以下我们只考虑规则的势能函数。 3.一维定态的分类:束缚态与非束缚态 个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分“束缚态”与“非束缚态”是其中重要的分 类方法,它们的定义是:如果

1 第二章 一维势场中的粒子 §2.1 一维运动问题的一般分析 一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。 1. 一维定态 Schrödinger 方程的解的一般特征 一维定态 Schrödinger 方程是 2 2 2 ( ) , 2 d V x E m dx  − + =   或者写为二阶常微分方程的标准形式 ( ) 2 2 2 2 ( ) 0. d m E V x dx  + − =  在经典力学的意义上， E T V = + ，其中 T 是动能，永远  0 ，因此我们永远有 E V−  0 。而在 量子力学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子“在某点处的动能”，因此即使在 E V−  0 的区域里，波函数仍然有非零解，也就是说粒子仍然会在那些区域出现，然而方程在 E V−  0 的区域 和 E V−  0 的区域解的特征是完全不同的。我们将把 E V−  0 的区域称为经典允许区， E V−  0 的 区域称为经典禁戒区。 把方程重写为 2 2 2 1 2 ( ), d m E V dx   = − − 并假设  是实函数。画出  ( ) vs ( ) x x 的曲线，那么我们发现： 在经典允许区里（ E V−  0 ），  ( ) x 在横轴上方是向上凸的，在横轴下方是向下凹的； 在经典禁戒区里（ E V−  0 ），  ( ) x 在横轴上方是向下凹的，在横轴下方是向上凸的。 所以，在经典允许区里（ E V−  0 时）  ( ) x 呈现出振荡式的行为，而在经典禁戒区里（ E V−  0 时）  ( ) x 通常是单调变化的。 这样一个直观的图象对于我们理解后面的问题将会很有帮助。 2．关于一维定态 Schrödinger 方程的解的基本定理 Wronskian 定理：若势能 V x( ) 是规则的（没有奇点）， 1 (x) 和  2 (x) 都是一维定态 Schrödinger 方 程（对应相同能量）的解，则 1 2 1 2 1 2 1 2 constant,            − =     其中 dx d   。证明： 1 (x) 和  2 (x) 分别满足 1 1 2 2 ( ) 0 m   + − = E V , 2 2 2 2 ( ) 0 m    + − = E V , 前式乘以  2 ，后式乘以 1 ，再把后式减去前式，得 12  −1  2 = (1 2  −1 2 ) = 0 , 所以  −  = c 1 2 1 2 . ▌ 1 2 1 2         称为 ( ) 1  x 和  2 (x) 的 Wronskian 行列式。当  = 0 时， 1 (x) 和  2 (x) 是线性相关的， 也就是说它们只相差一个常数因子，而当   0 时， 1 (x) 和  2 (x) 是线性无关的。 以下我们只考虑规则的势能函数。 3. 一维定态的分类：束缚态与非束缚态 一个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分“束缚态”与“非束缚态”是其中重要的分 类方法，它们的定义是：如果

v(x)x1→ 而粒子在无穷远处出现的几率为零,那么这样的量子状态就称为束缚态,否则(也就是说在x→+∞0 或x→-∞或x→±∞时v(x)≠0)称为非束缚态,或称散射态 粒子处于束缚态还是非束缚态的判据是:假设(x)在x→±∞时有确定的极限(也允许→∞), 分别记为V(+∞)和V(-∞),那么在能量E满足 EV(+∞)或V(-∞)或二者兼有 时粒子处于非束缚态 在束缚态下,粒子只在有限的空间范围内运动,而在非束缚态下,粒子可以在无穷远处出现 束缚态和非束缚态有重要的区别。这些区别将在今后通过具体的例子向读者介绍 把束缚态和非束缚态的概念推广到高维空间是直接的,这里不再详述。 4.一维束缚态的一般性质 首先我们指出下面两个定理和两个定义 共轭定理:若v(x)是定态 Schrodinger方程的解,则v(x)也是该方程的解(且能量相同)。 当然,这里要假定势能V(x)是实函数。 反射定理:设势能函数V(x)是关于原点对称的,即满足 那么若(x)是该方程的解,则v(-x)也是该方程的解(且能量相同)。 这两个定理的证明都很容易,请读者自己完成 定义:如果对一个给定的能量E,只有一个线性独立的波函数存在,则称该能级是非简并的,否则 称它是简并的,其线性独立的波函数的个数称为它的简并度 定义:如果波函数v(x)满足 (-x)=±u(x) 则称v(x)有正的(当+号成立时)或负的(当一号成立时)字宇称。宇称是量子态的重要性质(如果量 子态有确定的宇称的话),它具有“纯量子力学”的特征,在经典力学中没有对应物。在二维或三维空 间中,宇称的定义推广为 ∥(-F)=±v(F) 这样我们就有以下的一系列定理 不简并定理:一维束缚态必是非简并态 证明:假设v(x)和v2(x)是一维定态 Schrodinger方程在同一能量下的任意两个解,并且都是束 缚态,那么首先根据 Wronskian定理, VIy 其中c是与x无关的常数,因此可以在X轴的任意一点上计算它的值。再根据束缚态的定义 (x)1→∞>0,我们就可以在|x|→∞处计算△,当然得到 所以v(x)和v2(x)是线性相关的,即 v1(x)=Av2(x),(A是常数) 而这就表示w1(x)和v2(x)代表相同的量子状态,所以它是非简并态。■ 注意,这个定理的两个前提“一维”和“束缚态”是缺一不可的。 波函数既然是复函数,它就可以写成下面的形式: y(x)=p(x)eie(xr) 其中p(x)和(x)都是实函数,p(x)称为波函数的模,6(x)称为波函数的位相。 定理:一维束缚态波函数的位相函数O(x)必是常数

2 | | ( ) 0 x  x ⎯⎯⎯⎯→ →  , 从而粒子在无穷远处出现的几率为零，那么这样的量子状态就称为束缚态，否则（也就是说在 x → + 或 x → − 或 x →  时 (x)  0 ）称为非束缚态，或称散射态。 粒子处于束缚态还是非束缚态的判据是：假设 V x( ) 在 x →   时有确定的极限（也允许 → ）， 分别记为 V ( ) + 和 V ( ) − ，那么在能量 E 满足 E V + ( ) 和 V ( ) − 时粒子处于束缚态，而在 E V + ( ) 或 V ( ) − 或二者兼有 时粒子处于非束缚态。 在束缚态下，粒子只在有限的空间范围内运动，而在非束缚态下，粒子可以在无穷远处出现。 束缚态和非束缚态有重要的区别。这些区别将在今后通过具体的例子向读者介绍。 把束缚态和非束缚态的概念推广到高维空间是直接的，这里不再详述。 4. 一维束缚态的一般性质 首先我们指出下面两个定理和两个定义。 共轭定理：若 (x) 是定态 Schrödinger 方程的解，则  ( ) x  也是该方程的解（且能量相同）。 当然，这里要假定势能 V x( ) 是实函数。 反射定理：设势能函数 V x( ) 是关于原点对称的，即满足 V x V x ( ) ( ), = − 那么若 (x) 是该方程的解，则 (−x) 也是该方程的解（且能量相同）。 这两个定理的证明都很容易，请读者自己完成。 定义：如果对一个给定的能量 E ，只有一个线性独立的波函数存在，则称该能级是非简并的，否则 称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。 定义：如果波函数 (x) 满足   ( ) ( ), − =  x x 则称 (x) 有正的（当 + 号成立时）或负的（当 −号成立时）宇称。宇称是量子态的重要性质（如果量 子态有确定的宇称的话），它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。在二维或三维空 间中，宇称的定义推广为   ( ) ( ). − =  r r 这样我们就有以下的一系列定理。 不简并定理：一维束缚态必是非简并态。 证明：假设 1 (x) 和  2 (x) 是一维定态 Schrödinger 方程在同一能量下的任意两个解，并且都是束 缚态，那么首先根据 Wronskian 定理， = c     1 2 1 2     , 其中 c 是与 x 无关的常数，因此可以在 X 轴的任意一点上计算它的值。再根据束缚态的定义， ( ) 0  x ⎯|⎯x| →⎯ → ，我们就可以在 | x | →  处计算  ，当然得到 = 0, 所以 1 (x) 和  2 (x) 是线性相关的，即 ( ) ( ) 1 2  x = A x ,（ A 是常数） 而这就表示 1 (x) 和  2 (x) 代表相同的量子状态，所以它是非简并态。 ▌ 注意，这个定理的两个前提“一维”和“束缚态”是缺一不可的。 波函数既然是复函数，它就可以写成下面的形式： i ( ) ( ) ( ) e x x x   =  , 其中 (x) 和  (x) 都是实函数， (x) 称为波函数的模，  (x) 称为波函数的位相。 定理：一维束缚态波函数的位相函数  (x) 必是常数

证明:借助于共轭定理和不简并定理,一维束缚态波函数和它的复共轭必然只相差一个常数,即 y(x)=Ay(x) 所以 0(x)=Ae-0(x) 由此就得到 (x)=常数 推论:一维束缚态波函数可以取为实函数。这是因为上式中的常数可以取作零。 说明:事实上,即使是对于非束缚态,由于有共轭定理的缘故,它也会有实波函数的解。但是非束 缚态的波函数是根据边界条件来确定的,通常的结果不是实函数 宇称定理:如果V(-x)=(x),则一维束缚态波函数必有确定的宇称 证明:借助于反射定理和不简并定理,一维束缚态波函数必有 y(x)=Ay(x), 再用-x代替其中的x,又有 (x)=Av(-x) 所以 A=1, 这个方程的解是 A=±1.■ 束缚态(不只是一维束缚态)还有一个更重要的特征:它的能级是不连续地(离散地)变化的,即 是说,仅仅当E取某些离散的数值时,定态 Schrodinger方程才有符合单值、有限、连续条件的解。这 就是通常所说的“能量的量子化”。从直观上,我们可以用本节开始时介绍的一维 Schrodinger方程的解 的一般特征定性地加以说明。在以后各节,我们还可以通过实际的例子来体会。在数学上,我们有更加 严格的理论( Sturm- Liouville理论)来证明离散本征值的存在, 作

3 证明：借助于共轭定理和不简并定理，一维束缚态波函数和它的复共轭必然只相差一个常数，即   ( ) ( ), x A x  = 所以 i ( ) i ( ) e e , x x A   − = 由此就得到 ( ) . x =常数 ▌ 推论：一维束缚态波函数可以取为实函数。这是因为上式中的常数可以取作零。 说明：事实上，即使是对于非束缚态，由于有共轭定理的缘故，它也会有实波函数的解。但是非束 缚态的波函数是根据边界条件来确定的，通常的结果不是实函数。 宇称定理：如果 V x V x ( ) ( ) − = ，则一维束缚态波函数必有确定的宇称。 证明：借助于反射定理和不简并定理，一维束缚态波函数必有   ( ) ( ), − = x A x 再用 −x 代替其中的 x ，又有   ( ) ( ), x A x = − 所以 2 A = 1, 这个方程的解是 A =  1. ▌ 束缚态（不只是一维束缚态）还有一个更重要的特征：它的能级是不连续地（离散地）变化的，即 是说，仅仅当 E 取某些离散的数值时，定态 Schrödinger 方程才有符合单值、有限、连续条件的解。这 就是通常所说的“能量的量子化”。从直观上，我们可以用本节开始时介绍的一维 Schrödinger 方程的解 的一般特征定性地加以说明。在以后各节，我们还可以通过实际的例子来体会。在数学上，我们有更加 严格的理论（Sturm-Liouville 理论）来证明离散本征值的存在。 作业：无