《量子力学》第十一章散射理论（11.2）中心势场中的分波法.doc_大学文库

§11.2 中心势场中的分波法 1．分波法的一般公式现在假设势场为中心势场 V V r = ( ) ，那么方程就变为 2 2 2 2 [ ( )] 0. ( ) ( ) k U r U r V r       + − = =     显然，这时 f ( , )   变成了 f ( )  ，   (r, , ) 变成了   ( , ) r ，而且 2 L 是守恒量，所以不妨假设 0 ( , ) ( ) (cos ), l l l    r R r P  = =  也就是把  分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项（一个确定的角动量成分）称为一个分波。代入方程，发现 ( ) R r l 满足 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) 0. l l d dR l l r k U r R r dr dr r     + + − − =         让 ( ) ( ) , l l u r R r kr = 那么 ( ) l u r 就满足方程： 2 2 2 2 ( 1) ( ) 0, l l d u l l k U r u dr r   + + − − =     以及边界条件 ( 0) 0. l u r = = 在 r → 时，方程是 2 2 2 0. l l d u k u dr + = 它的一般解是 ( ) sin , ( ) 2 l l l l u r A kr r     = − + →      这里为了以后分析问题的方便，把初位相写成了 2 l l − +  ，其中的 l  当然无法从渐近方程定出，必须在求出了严格的方程的解以后再取 r → 的极限才能发现。所以在 r → 时有 ( ) ( ) 1 , sin cos . 2 r l l l l l r A kr P kr      →   ⎯⎯⎯→ − +      我们应该拿这个   (r, ) 与散射波函数的一般形式 ( ) i i e ( , ) e k r r k z r f r    ⎯⎯⎯→ + → 对比，得到 f ( )  的表达式。为此，我们必须把 i i cos e e k z k r  = 也按 Pl (cos ) 展开。这个展开式是 ( ) i i cos e e 2 1 i ( ) (cos ), k z k r l l l l l j kr P  = = +   其中 ( ) l j kr 是球 Bessel 函数。球 Bessel 函数 ( ) l j x 满足方程 2 2 2 2 ( 1) 1 0, ( 0,1, 2, ) l l l d j d j l l j l dx x dx x   + + + − = =     并且在 x = 0 处有限。当 r → 时， ( ) l j kr 有渐近公式 1 ( ) sin , 2 r l l j kr kr kr →     ⎯⎯⎯→ −     这样

( ) ( ) i 1 e 2 1 i sin cos . 2 k z l r l l l l kr P kr   →    ⎯⎯⎯→ + −      我们知道，如果 U r( ) 0  ，那么 i ( , ) e k z   r = ，而它有如上的渐近表达式。拿 U r( ) 0  的   (r, ) 与它对比，我们发现最大的区别就是出现了 l  ，所以 l  称为第 l 阶“相移”。把解得的   (r, ) 的渐近结果与假设的渐近形式对比，就得： ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i sin cos e 2 1 sin (cos ). 2 l k r l l l l l l l f l kr P kr r l A kr P kr         + − +       = − +       利用 i i sin (e e )/ 2i    − = − 把各项都化为 i e kr 和 i e − kr 的线性组合，方程成为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i / 2 i i i / 2 i 2i (2 1)i e e cos e (2 1)i e e cos e 0. l l l l k r l l l l l k r l l l k f l A P l A P        − − −   + + −     − + − =   所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i / 2 i i / 2 2i (2 1)i e e cos , 0 (2 1)i e e cos . l l l l l l l l l l l l k f l A P l A P        − −  = − + −    = + −    第二式给出 i (2 1)i e .l l A l l  = + 把它代入第一式就得： ( ) ( ) ( ) 2i i / 2 i 1 ( ) (2 1)i e 1 e cos 2i 1 (2 1)sin e cos . l l l l l l l l l f l P k l P k        − = + − = +   所以一旦各个 l  求出来了， f ( )  也就知道了。 f ( )  的各项称为散射的“分波振幅”。其中的 Legendre 多项式 Pl (cos ) 是完全定义好了的函数，例如 ( ) 0 1 2 2 (cos ) 1, (cos ) cos , 1 (cos ) 3cos 1 , 2 P P P      = = = − 所以 i sin e l l   是确定这个分波的大小的决定性部分。这样给出的微分截面是： ( ) ( ) ( ) 2 i 2 2 1 | (2 1)sin e cos | . l l l l f l P k       = = +  注意这里有交乘项出现，不可认为 ( ) ( ) 2 l l    =  f 。但是如果求总截面，交乘项是不出现的：

( ) ( ) t i 2 , i 2 , 2 2 ( ) 2 ( )sin 2 (2 1)(2 1)sin sin e (cos ) (cos ) cos 2 2 (2 1)(2 1)sin sin e 2 1 4 (2 1)sin . l l l l l l l l l l l l ll l l l l d d l l P P d k l l k l l k                           −    −    =  = = + + = + + + = +       以上是分波法的一般形式。它的严格表达式是一个无穷级数，其中要求解出所有的 l  ，这实际上是不可能的。如果随着 l 的增加 l  很快地减小，那么这级数就很快地收敛，有可能只计算前几项就能得到好的近似。那么对于给定的问题，究竟需要考虑到多大的 l 就够了呢？让我们从经典的图像来估算一下。设相互作用 V r( ) 是短程的，即只有在 r a  的范围内作用是明显的， r a  时的作用可以忽略， a 称为相互作用的力程。再设粒子以动量 p 入射，而“瞄准距离”为 b 。容易算出，这时它的角动量是 L pb = 。显然，如果 b a  ，则散射的几率很小，所以，发生显著的散射的条件是 b a  . 由于 b L p = / ，而在量子力学中， p k L l = = , ，所以 . l b a k =  这就表明，只有满足 l ka  的那些分波才会有显著的贡献。因此我们的结论是：分波法适用于短程相互作用( a 小)和低能( k 小)的情形。在极端情况下 ka 1, 那么只有一个分波需要考虑，就是 l = 0. 这称为 S 波散射。下边我们就将处理这种情形。 2．球方势垒的 S 波散射球方势垒指的是 0 ( 0), ( ) ( ) 0. ( ) V r a V r r a    =    若 a 很小， E 很低，则 ka 1 ，只需考虑 S 波散射，并可以假设 E V 0 。现在的方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0, , ( ) ( ) d u E k U r u k U r V r dr     + − = = =       边界条件是 u r( 0) 0. = = 要从中解出 u r( ) 并与 0 ( ) sin( ) r u r kr  ⎯⎯⎯→ + →  对比找出 0  。散射振幅是 0 i 0 1 f ( ) sin e , k    = 这个散射振幅实际上是与  无关的（即各向同性），微分截面是 2 2 0 1 ( ) sin , k    = 总截面是 2 t 0 2 4 sin . k    = 代入 V r( ) ，方程成为

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0, , 2 0, , d u V E u r a dr d u E k u r a k dr        −  − =  =          + =  =         它的解是： ( ) ( 0 ) sinh , ( ) sin , ( ) A r r a u r B kr r a     =  +   其中已经考虑到了边界条件 u(0) 0 = 。让 ln ( ) u r 在 r a = 处连续，得 ( 0 ) 1 1 tanh tan , a ka k    = + 所以相移是 0 arctan tanh . ka a ka a      = −     这是一个准确的表达式，但是太复杂，而且没有必要，因为我们本来假设了 ka 1 ，所以可以把它按小量 ka 展开，在最低阶近似下只保留到 ka 的一次项。在 ka →0 时， 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 2 , V E a V a V k a a a       → −   = ⎯⎯⎯→ = =       并可注意总有 0 tanh / 1   x x ，所以还可以利用 arctan x x ，于是 0 1 ka a tanh 1 . a      → −     还可以认为 0 0 sin ,    所以微分截面成为 ( ) 2 2 2 0 1 1 sin tanh 1 , a a k a        = = −     而总截面为 2 2 2 0 t 2 1 2 4 tanh 1 . V a a a a a           = − =           实际上这是 ka →0 时  t 的极限值。注意：在 ka →0 的时候 0  也 →0 ，但截面并不 → 0 ，因为截面的表达式中还有一个 1/ k 。如果 V0 → ，那么 a →  ，因而 tanh / 0   a a → ，所以 2 t   → 4 . a V0 → 相当于一个半径为 a 的“完全硬球”。从经典图像看来，它的截面应该是 2 t   = a ，但量子截面却是它的 4 倍，这是量子干涉效应的结果。还可以注意：由于 (tanh / ) 1 0 x x −  ，所以 0   0 ，这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以从散射波的直观图象中看出。此外，对于低能散射还经常定义“散射长度” 0 0 1 a tan , k = −  如果 0  1 ，那么可以近似取 0 0 sin tan   = ，所以有 2 t 0 0 2 4 sin 4 . a k     = = 不难看出对于球方势垒

《量子力学》第十一章 散射理论（11.2）中心势场中的分波法

《量子力学》第十一章散射理论（11.2）中心势场中的分波法