§19-6相对论动力学基础 按照爱因斯坦的相对性原理,一切物理定律 相在所有惯性系中都是一样的,在洛合兹变换下形 相对 式不变。对经典力学定律显然不能满足要求,这 论就需要对其加以改造,就产生了相对论力学。 对动 论力 、质量与速度的关系 学 在经典力学中,牛顿第二定律F=m中质 基量m是一常数与速度无关。若在恒力作用下,恒定 础加速度将使物体速度趋于无穷大,这与光速是速 度的极限相矛盾。 2021225
2021/2/25 §19 - 6 相对论动力学基础 按照爱因斯坦的相对性原理，一切物理定律 在所有惯性系中都是一样的，在洛仑兹变换下形 式不变。对经典力学定律显然不能满足要求，这 就需要对其加以改造，就产生了相对论力学。 一、质量与速度的关系 在经典力学中，牛顿第二定律F = ma 中质 量m是一常数与速度无关。若在恒力作用下，恒定 加速度将使物体速度趋于无穷大，这与光速是速 度的极限相矛盾。 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础
下面我们找出具体的质量和速度的关系 S′系相对于S系沿x轴以速率运动,S系中 有两个质点A、B,观察者相对于他们静止时,测 相得的质量均为 oo 相对 质点A、B在S’系中以相同的速率u沿x轴 对 动相向运动,碰撞后合为一质点C,速率为=0 论力 学基础 A B S S 2021225
2021/2/25 S’系相对于S系沿x轴以速率u运动，S’系中 有两个质点A、B，观察者相对于他们静止时，测 得的质量均为m0。 质点A、B 在S’系中以相同的速率u 沿x 轴 相向运动，碰撞后合为一质点C，速率为v’=0： 下面我们找出具体的质量和速度的关系： 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 S S ’ u u A B S S ’ C
碰撞前后动量守恒:「m+m(-u)=m=0 碰撞前后质量守恒:(2m=m 由相对论速度变换法则: v+u 1+(u/c2)乙 质点A、B在S系中的速率1、U2分别为: u+u Qu 11+(u/c2)a^1+(u/c2)n ① uu 0 (u/c)u 质点C在S系中的速率为: 0+ =u 1+(u/c2)×0 2021225
2021/2/25 碰撞前后动量守恒： mu + m(−u) = m v = 0 碰撞前后质量守恒： 2m = m x x x u c u v v v + + = 1 ( / ) 2 由相对论速度变换法则： 质点A、B 在S 系中的速率v1、v2分别为： u c u u u c u u u 1 ( / ) 2 1 ( / ) 1 2 2 + = + + v = 0 1 ( / ) 2 2 = − − + = u c u u u v 质点C 在S 系中的速率为： u u c u = + + = 1 ( / ) 0 0 2 v ①
设质量m与速率的函数关系为: m()且m(乙=0) 质点A、B在S’系中 动量守恒形式为:mn(n)u+m(un)(-)=m!v”’=0 质量守恒形式为:(2m(u)=m 质点A、B在S系中 动量守恒形式为:mn(v1)01+0=m()u 质量守恒形式为 mot mlu (u 从②中消去m’(u)得到a,代入①可解得: n(0 2021225
2021/2/25 质点A、B 在S ’ 系中 m(v1 )v1 + 0 = m (u)u m(u)u + m(u)(−u) = m v = 0 质量守恒形式为： 动量守恒形式为： 2m(u) = m 质点A、B 在S 系中 质量守恒形式为： 动量守恒形式为： 设质量m与速率v的函数关系为： m = m(v) 0 且 m(v = 0) = m ( ) ) m0 + m v1 = m (u ② 从②中消去m ’（u）得到u，代入 ①可解得： 1 2 0 1 1 ( ) ( ) c m m v v − = 即： 2 0 1 ( ) ( ) c m m v v − =
上式指出:一个物体的质量m随其速率U按公式 变化,则经典的动量原理仍然有效 静止质量 相 相对论 m()= 相对论质、速关系式 C 对动运动质量[物体运动速度 论力 当<<c时,m≈m此时物体质量可视为不 学基础 变。如:U=3×104ms,静止质量为m=1kg的 物体的质量变为 ≈1.00000005(kg) -(0/c)2 (质量变化极小,可视为不变) 2021225
2021/2/25 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 上式指出：一个物体的质量m 随其速率v按公式 变化，则经典的动量原理仍然有效。 2 0 1 ( ) c m m v − = 1 ( / ) ( ) 2 2 0 c m m v v − = 静止质量 运动质量 物体运动速度 当 v <<c 时 ，m m0 此时物体质量可视为不 变。如：v = 3 104 m/s ，静止质量为m0 = 1 kg 的 物体的质量变为： 1.00000005(kg) 1 ( / ) 2 0 − = c m m v （质量变化极小，可视为不变） ——相对论质、速关系式
当物体高速运动时就不同了,如当电子的速 度为=0.98c时,电子质量为: V1-(098)2=5m 0 相 相对论 对动 如果物体的速度m 论力达到光速c,则物体 mo 学的质量将变为无限大, 基所以物体的速度不可 础能达到光速 0.20.40.60.810/c 2021225
2021/2/25 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 当物体高速运动时就不同了，如当电子的速 度为 v = 0.98c 时，电子质量为： 0 2 0 5 1 (0.98) m m m = − = 如果物体的速度 达到光速c，则物体 的质量将变为无限大， 所以物体的速度不可 能达到光速。 m0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v/c m 2 0 1 ( ) c m m v − =
相对论力学的基本方程 以υ运动的物体的动量为: MoU Mv= 相 相对论 牛顿第二定律的形式: 对动 论力 Mv F=世=m+7 d t t dt dt 学基础 7<<c时有m=m则 C - Mol dt 0 dt 此即低速时的牛顿第二定律。 2021225
2021/2/25 二、相对论力学的基本方程 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 2 0 1 ( ) c v v v − = = m p m 此即低速时的牛顿第二定律。 ) 1 ( ) ( 2 0 c v v v v − = = + = m dt d dt dm dt d m dt dp F m a dt d m m dt d F 0 0 0 = ( ) = = v v 以 v 运动的物体的动量为： 牛顿第二定律的形式： v << c 时有 m = m0 则
经典力学观点 狭义相对论观点 力的作用:改变速度力的作用:改变速度 为相力的方向与h的方向力的方南与习和的矢量 对 论 对动(F=m (F=m+乙 dt 论力物体受力作用口→大物体受力作用→大 基永远受同一方向的力作不断受力n→c,→大 学 础用则 0→0 (0/c) 因为当U→c时m→ c是U的极限 2021225
2021/2/25 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 经典力学观点 狭义相对论观点 力的作用：改变速度 力的方向与 的方向 一致 物体受力作用v→ 大 永远受同一方向的力作 用 则 v → 力的作用 ：改变速度 改变质量 力的方向与 和 的矢量 和的方向一致 物体受力作用：v→ 大 m → 大 不断受力 v → c ， 因为当 v → c 时 m → ( ) dt d F m v = ( ) dt dm dt d F m v v = + v v d 2 0 1 ( / c) m m − v = c 是 v 的极限 v d
三、质量和能量的关系 由狭义相对论可以推导出另一个重要的关系 式质量和能量的关系 相 相对论 设有一自由质点,在某一惯性系中的静止质 量为m,当质点在外力F的作用下位移时,由 质点的动能定理,动能的增量为: 对动 E,=F·d=F.tt 论力 由动量定理:Ft=d(m) 学基一 Ek=d(m)·0=d(m)·7+m(l)o 础又因为()7=24()=2(2)=dho 所以: 动能的增量为:EA=02dm+m 2021225
2021/2/25 三、质量和能量的关系 由狭义相对论可以推导出另一个重要的关系 式——质量和能量的关系。 设有一自由质点，在某一惯性系中的静止质 量为m0，当质点在外力F 的作用下位移ds时，由 质点的动能定理，动能的增量为： dE F ds F dt k v = = 由动量定理： ( v) Fdt = d m v v v v v v dE = d(m ) = d(m) + m(d ) k v v v v v v v 2 d = d = d( ) = d 2 1 ( ) 2 1 ( ) 又因为 所以： v v v 2 动能的增量为：dEk = dm + m d 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础
又已知 (/),可得:mle2-m2v2=nv t 两边求微分得:c2dm=u2dm+mdb 相即动能的增量为 相 对论 :dEk=c2 dm 代入初始条件积分: 对动 dE 论力 k c am, 得 学 E,=mc-m. 基 础在式中令: C2=E 物体的总能量 mc2=E-物体的静止能量 2021225
2021/2/25 相 对 论 相 对 论 动 力 学 基 础 又已知 , 1 ( / ) 2 0 c m m − v = 2 2 0 2 2 2 2 可得：m c − m v = m c 两边求微分得： 即动能的增量为：dEk = c 2 dm 代入初始条件积分： dE c dm，得： Ek m m k = 0 2 0 2 0 2 E mc m c k = − 在式中令： mc2 = E ——物体的总能量 m0c 2 = E0 ——物体的静止能量 c dm = v dm + mvdv 2 2