《量子力学》第九章电子自旋（9.4）Zeeman 效应.doc_大学文库

1 §9.4 Zeeman 效应 1．带有自旋的电子在电磁场中的 Hamiltonian 实验证明，在外磁场中，原子的能级会发生分裂，结果是原子的特征谱线也发生分裂，这称为 Zeeman 效应。理论的解释是：电子的磁矩和外磁场产生了附加的相互作用能。我们在§6.1 中已经介绍过：在外磁场中运动的电荷的 Hamiltonian 是（先不考虑电场） 1 ˆ 2 ˆ ( ) , 2 H P e A  = + 其中已经代入了电子的 q e = − 。在原子的范围内，外磁场可以认为是均匀的，所以 A r =  / 2 ，如果 z  = e ，那么 A y x = −  ( / 2, / 2, 0) ，代入得（参见§6.2） 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ). 2 2 2 2 2 8 x y z z e e e e H P y P x P P L x y               = − + + + = + + +               考虑了电子带自旋以后，Hamiltonian 应该修改为 ( ) 2 1 ˆ ˆ ( ) . 2 H P e A   = +  回忆公式（见§9.1） ( )( ) i ( ) , a b a b a b   =  +      ˆ 所以 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ˆ ( ) . 2 2 H P e A e P A A P P e A e A e P e A        = + +  +   = + +    = + +   注意到 ( / 2) , z S e =  =   以及上面 ˆ 2 ( ) P e A + 展开的结果，它又可以写为 2 2 ˆ 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 2 8 z z e e H P L S x y      = + + + + 所以与无自旋电子的 Hamiltonian 的不同之处只是用 ˆ ˆ 2 L S z z + 代替了 ˆ Lz 。再把电场对电荷的作用以及自旋-轨道耦合加上去，最后得到 2 2 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( 2 ) ( ) ( ). 2 2 8 z z e e H P V r L S r L S x y       = + + + +  + + 在这里，  的线性项可以做这样的物理解释：我们在§5.4 中证明了 / 2 L − = eL M  是电子的轨道磁矩，在§9.1 中又说明了 / S − = eS M  是电子的自旋磁矩，所以实际上 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 z z L S e L S M M   + = −  + 这正是磁矩与磁场的相互作用能量的经典表达式。 2．正常 Zeeman 效应现在我们来估计一下 H ˆ 中增加的那些项的大小。设原子的尺度为 a （Bohr 半径的量级），那么 2 2 0 , ( / ) e A a a P h e    其中 15 0 h e/ 4.135667 10 V s −  = =  是磁通量子（见§6.2）。由于 10 a 10 m − ，且通常来说  10 T ，所以 2 4 0 a / 10−    。这样一来在 H ˆ 中的 2  项就可以略去。再进一步，如果磁场比较强，那么自旋- 轨道耦合项相对于磁矩-磁场相互作用项又可以略去，所以我们有 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ), 2 2 z z e H P V r L S    = + + +

2 因而 Schrödinger 方程成为： 2 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ) . 2 2 z z e     V r L S E    −  + + + = 当然，现在的  应该是二分量波函数。先考虑磁场 = 0 的情形。这时候守恒量的完备集可以选为 2 ˆ { , , , } H L L S z z ，对应的能量本征态用 ml ms n,l, , 四个量子数来表征，记为 nlmlms  ，能量本征值和 nl , 都有关，所以我们有以下的 4 个同时本征方程： 2 2 2 2 ( ) , 2 ( 1) , ˆ , ˆ , l s l s l s l s l s l s l s l s nlm m nl nlm m nlm m nlm m z nlm m l nlm m z nlm m s nlm m V r E L l l L m S m              −  + =   = + = = 其中 l = 0,  ,n −1; m l, , l; l =  − ms =1/ 2, −1/ 2 。我们发现，即使把磁矩-磁场相互作用项添加进来， nlmlms  仍然可以使上面的 Schrödinger 方程得到满足，其中的能量本征值现在变成 ( 2 .) 2 l s nlm m nl l s e E E m m   = + + 所以能级发生了分裂和移动。注意到 ml 和 ms 的取值范围，能级的改变是（以 e /2 为单位）： E = l +1, nl l, l −1, l − 2, 等等，直到 − (l + 1) ，单态, 单态, 双态, 双态, 单态。但是谱线的分裂没有这么多。应用选择定则（见后） 1, 0, 1, 0, l s  =   =   = l m m 原来频率为 0 的一条谱线现在变成了三条，其频率分别为： 0 0 0 , , . 2 2 e e        + − 这就是实验观察到的正常 Zeeman 效应。 *3．反常 Zeeman 效应假如磁场不是很强，那么自旋-轨道耦合就不可忽略，所以 Hamiltonian 成为 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( 2 ) ( ) . 2 2 z z e H P V r L S r L S     = + + + +  在这种情况下， 2 ˆ { , , , } H L L S z z 不再是守恒量完备集， 2 2 ˆ ˆ { , , , } H L J Jz 也同样不是。但是如果我们把 H ˆ 重写为 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 2 z z e e H P V r r L S J S       = + + +  + + 那么 2 2 ˆ ˆ { , , , } H L J Jz 对于除最后一项以外的部分构成守恒量完备集。所以我们可以这样来分析：当我们完全忽略磁场的时候，这就是带自旋-轨道耦合的 Hamiltonian，所以它的能谱是带有精细结构的能谱，能级是 Enlj (见§9.3)，简并度是 2 1 j + 。加上 ˆ ( / 2 ) z e J  这一项以后，能量本征态还是原来的，只不过能量变成了 , 2 j nljm nlj j e E E m   = + 所以原来的能级 Enlj 现在分裂成 2 1 j + 条，简并度完全被去除。再加上 ˆ ( / 2 ) z e S  这一项，注意到

(m1m)=(两b2+21=12 所以能级又成为 1+(1/2) Ben 2j+2 j=l-(1/2)(≠0) 分裂的条数并没有改变,只是位置又稍微移动了一下。这就是实验上看到的反常 Zeeman效应。自旋电子学现在我们知道了,电子是既带有电荷又带有自旋的,服从Ferm- Dirac统计的微观粒子。这是量子力学诞生以后人们对电子的不同于经典物理学的新认识。但是到目前为止,传统的电子学仍然只利用了电子带有电荷这个性质,而没有利用电子还带有自旋这个性质传统的电子学以超大规模集成电路为主要的支持硬件。如果我们想继续提高芯片的集成度,在原则上将面临两大困难。第一,当芯片上的线宽小到可以和电子的 de broglie波长相比的时候,电子的量子力学效应(波动效应)就不可以忽略了。这时候,集成电路已经不再能够简单地等效为分立(可隔离) 元件构成的网络,而应当看作是一个量子力学系统。这样一来,对它进行分析的方法就要复杂多了。第二,芯片集成度的提高必然伴随着芯片单位面积上功耗的增加,也就是说芯片散热的问题会变得非常严重。在利用电子带有电荷这个特点对它进行操控的情况下,这个问题是无法避免的,因为电场力推动电荷运动的时候一定会做功,而这个功最后就会变成热量。理论分析和工程实践的结果都表明,在目前的芯片制造的工艺水平上(线宽~0.1pm),前一个问题还不会产生明显的影响,而后一个问题倒是需要认真对待的。为了解决这个问题,必须有一个基本上不消耗能量就可以对电子进行操控的办法,而这就是控制电子的自旋。通过控制电子的自旋状态使之携带、加工和传输信号的方法称为自旋电子学( Spintronics)a在自旋电子学里经常出现的术语是“自旋流 “自旋池”,“自旋输运”,“自旋进动”,“自旋翻转”等等。我们在前面介绍的自旋-轨道耦合效应和 Zeeman效应为自旋电子学的实现提供了物理的基础,因为前者通过电场、后者通过磁场影响电子的自旋状态。这些效应的最大特点就是基本上不需要付出能量的代价,而这正是我们要追求的目标。自旋电子学是一门新兴的学科,目前仍然处于基础研究的阶段,暂时还谈不上付诸工程实践,但是它的发展前景是十分远大的。这里我们还想强调一点:量子力学是研究自旋电子学的基本出发点作业:习题8.11

3 / 2 , (1/ 2) /(2 2), (1/ 2) ( 0) j j z j j m j j l l jm S l jm m j j l l  = + =  − + = −   所以能级又成为 1 1 , (1/ 2) 2 2 1 1 . (1/ 2) ( 0) 2 2 j j nljm nlj j m j l e j E E m j l l j        + = +     = +       − = −     +  分裂的条数并没有改变，只是位置又稍微移动了一下。这就是实验上看到的反常 Zeeman 效应。 4．自旋电子学现在我们知道了，电子是既带有电荷又带有自旋的，服从 Fermi-Dirac 统计的微观粒子。这是量子力学诞生以后人们对电子的不同于经典物理学的新认识。但是到目前为止，传统的电子学仍然只利用了电子带有电荷这个性质，而没有利用电子还带有自旋这个性质。传统的电子学以超大规模集成电路为主要的支持硬件。如果我们想继续提高芯片的集成度，在原则上将面临两大困难。第一，当芯片上的线宽小到可以和电子的 de Broglie 波长相比的时候，电子的量子力学效应（波动效应）就不可以忽略了。这时候，集成电路已经不再能够简单地等效为分立（可隔离）元件构成的网络，而应当看作是一个量子力学系统。这样一来，对它进行分析的方法就要复杂多了。第二，芯片集成度的提高必然伴随着芯片单位面积上功耗的增加，也就是说芯片散热的问题会变得非常严重。在利用电子带有电荷这个特点对它进行操控的情况下，这个问题是无法避免的，因为电场力推动电荷运动的时候一定会做功，而这个功最后就会变成热量。理论分析和工程实践的结果都表明，在目前的芯片制造的工艺水平上（线宽 0.1μm ），前一个问题还不会产生明显的影响，而后一个问题倒是需要认真对待的。为了解决这个问题，必须有一个基本上不消耗能量就可以对电子进行操控的办法，而这就是控制电子的自旋。通过控制电子的自旋状态使之携带、加工和传输信号的方法称为自旋电子学 (Spintronics)。在自旋电子学里经常出现的术语是“自旋流”， “自旋池”，“自旋输运”，“自旋进动”，“自旋翻转”等等。我们在前面介绍的自旋-轨道耦合效应和 Zeeman 效应为自旋电子学的实现提供了物理的基础，因为前者通过电场、后者通过磁场影响电子的自旋状态。这些效应的最大特点就是基本上不需要付出能量的代价，而这正是我们要追求的目标。自旋电子学是一门新兴的学科，目前仍然处于基础研究的阶段，暂时还谈不上付诸工程实践，但是它的发展前景是十分远大的。这里我们还想强调一点：量子力学是研究自旋电子学的基本出发点。作业：习题 8.11

《量子力学》第九章 电子自旋（9.4）Zeeman 效应

《量子力学》第九章电子自旋（9.4）Zeeman 效应