《量子力学》第一章波函数与 Schrödinger 方程（1.2）Schrödinger 方程.doc_大学文库

2 2 i 1 , 2 i V t m  =   +   并且（注意 V V  = ）， 2 i 1 , 2 i V t m     = −   −   所以 2 2 i i ( ) ( ). t m m 2 2      =    −   =     −   记 i 1 ˆ ˆ ( ) ( ), 2 2 J p p m m −     =   −  =   −   则 J 0, t  +   =  这表示了一种守恒定律。因为，对任何体积 V ， 3 3 ( ) , V V d r J d r t  = −      等式右方用 Gauss 定理，得 , V S d W J dS dt = −   WV 是在体积 V 内发现粒子的总几率，而 S J dS     （矢量 dS  指向 V 的外边）是矢量  J 穿过封闭曲面 S 向外的总通量。所以  J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。如果 ( , )  r t 是一个一般的函数，则 2 (r,t)   的积分可能与时间有关，所以它的归一化就变成了一个不可能随着时间的推移一直被满足的要求。但若它满足 Schrödinger 方程，则 2 3 | ( , ) | 0, d r t d r J dS dt    = −  =   即 W 与时间无关，所以波函数的归一是可以永远保持下去的。由此还可以看出：几率守恒也就是粒子数守恒，因为它表示：一个粒子既不可能凭空产生，也不可能凭空消失。几率流密度还可以写成另外的样子，其物理意义可能更清楚一些。 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 J p p v v v v v m         =   +   =   +   =  +  =   其中 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p v p m v p m v v v = −  =  = = = + i , i , / , / , ( ) / 2 。代入 de Broglie 波 i( ) / e Et p r A − −   = ，我们发现 2 2 | | | | . p p J A v m m = =  =  所以上面的表达式还是有点道理的。（提问：如果 V 是复函数，还有几率守恒定律吗？由此你怎样理解 V 的虚部的物理意义？） 3. 初值问题，*自由粒子的传播子对于时间变量而言，Schrödinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻（ t = 0 ）的波函数，那么以后任何时刻的波函数都能够完全决定。以下我们以自由粒子的情形为例，说明这样的初值问题可以如何求解。前面已经指出：波函数 i( ) / 3 3 1 ( , ) ( )e ( / 2 ) (2 ) Et p r r t p d p E p m   − −    = =  满足自由粒子的 Schrödinger 方程。它的初值是

3 i / 3 3 1 ( ,0) ( )e , (2 ) p r r p d p      =  所以 ( ) p 是 ( ,0) r 的动量几率振幅，可以如下地求出： i / 3 3 1 ( ) ( ,0)e , (2 ) p r  p r d r  −   =  代入即得 i[ ( )]/ 3 3 3 1 ( , ) ( ,0)e . ( / 2 ) (2 ) Et p r r r t r d r d p E p m  − −  −   =  =    一般地说，我们还可以把初始时刻取为 t ，那么 i[ ( ) ( )]/ 3 3 3 1 ( , ) ( , )e . ( / 2 ) (2 ) E t t p r r r t r t d r d p E p m  − − −  −    =  =     这个式子又可以写为 3  =  ( , ) ( , ; , ) ( , ) , r t G r t r t r t d r       其中 i[ ( ) ( )]/ 3 3 1 ( , ; , ) e , ( / 2 ) (2 ) E t t p r r G r t r t d p E p m  − − −  −     = =  并且可以完全积分出来，其结果为 3/ 2 2 ( ) ( , ; , ) i exp i . 2 ( ) 2 m m r r G r t r t  t t t t     −    = −    − −       G r t r t ( , ; , )   称为自由粒子的“传播子”（propagator），因为在 r t   , 点的波函数通过它对 r t , 点的波函数做出贡献。不难发现， G r t r t ( , ; , )   满足 2 2 ( , ; , ) i ( , ; , ), 2 r G r t r t G r t r t t m    = −     以及 3 ( , ; , ) ( ). t t G r t r t r r  =     = − 注意，这个传播子只适用于自由粒子，而不同系统的传播子是不同的。用数学的语言来说，传播子就是 Green（格林）函数。 4. 定态 Schrödinger 方程，能量本征方程若 V r( ) 与时间无关，则 Schrödinger 方程可以分离变量求解，即设 ( , ) ( ) ( ),   r t = f t  r 代入 Schrödinger 方程中得 2 2 i 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) 2 df V r r f t dt r m       = −  +           此式必须等于常数，记为 E，则第一个方程成为 i ( ), df E f t dt = 它可以容易地解出，得 i / ( ) e , E t f t − = 而第二个方程成为 2 2 ( ) ( ) ( ), 2 V r r E r E E m       −  + =   这个方程称为定态 Schrödinger 方程。对应地，波函数成为 i / ( , ) e ( ). E t E r t r  −  =

这样的波函数称为定态波函数,它所描写的粒子状态称为定态。由于 hr 正是粒子的总能量(动能加势能)算符,所以常数E的物理意义就是粒子的能量,而定态就是体系的能量有确定值的状态形如算符作用于波函数=常数乘以这波函数的方程称为该算符的本征方程,常数称为本征值,方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数由于定态 Schrodinger方程就是 VE(=EVE( 所以它也就是能量本征方程,而波函数vE(F)也就是能量值为E的能量本征函数可以证明:在定态(也就是波函数具有y(F,1)=etbv(F)的形式)时,体系的各种力学性质都不随时间而改变,这是“定态”这个名词的本来含义。 5.非定态必须注意,定态波函数只是(含时间的) Schrodinger方程的特解。不难证明: Schrodinger方程的般解是定态波函数的线性组合,即平,1)=∑cEvE(F)e 其中C是复常数(直接代入方程即可验证),这样的状态称为非定态。记得对于任何状态,能量的平均值是(如果(F,1)是归一化的) E=∫Y(,n)甲()d 代入上面的解,我们就发现(如果vg(F)已经归一化) E=∑|cEPE 所以|c是在状态甲(F,1)下任意时刻能量值E出现的几率。虽然甲(F,1)与时间有关,这个几率却是不随时间而改变的。所以我们可以说,在V(F)与时间无关的情况下,求出了定态 Schrodinger方程的全部解,其实也就求出了含时 Schrodinger方程的全部解 6.一般系统的 Schrodinger方程从经典力学(采用正则形式,即 Hamiltonian形式)的角度来说,一个系统的物理特征完全由它的 Hamiltonian(哈密顿量)来描写,在这个系统中发生的动力学过程也完全由它来决定(请回忆经典力学中的正则运动方程)。这一点在量子力学中也类似,也就是说,任何量子系统都有一个 Hamiltonian算符 H,这个系统的含时间的 Schrodinger方程就是 y 平这就是 Schrodinger方程的一般形式。如果H不显含时间,那么它就有定态解 Y=e-IEtIn 其中v与时间无关并且满足定态 Schrodinger方程 y=Ey 比如多粒子系统的 Hamiltonian算符是 =2(+U)+P v2+U()+(,… 其中m是第i个粒子的质量,V2是对第i个粒子的坐标的 Laplace(拉普拉斯)算符,U()是第;个粒子受到的外部作用势能,V(,…)是各个粒子之间的相互作用势能。由此就不难写出它的

4 这样的波函数称为定态波函数，它所描写的粒子状态称为定态。由于 2 2 ˆ ˆ ˆ ( ) 2 H T V V r m  + = −  + 正是粒子的总能量（动能加势能）算符，所以常数 E 的物理意义就是粒子的能量，而定态就是体系的能量有确定值的状态。形如算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为（该算符的属于该本征值的）本征函数。由于定态 Schrödinger 方程就是 ˆ ( ) ( ), H r E r   E E = 所以它也就是能量本征方程，而波函数 ( ) E  r 也就是能量值为 E 的能量本征函数。可以证明：在定态（也就是波函数具有 i / ( , ) e ( ) E t r t r  −  = 的形式）时，体系的各种力学性质都不随时间而改变，这是“定态”这个名词的本来含义。 5. 非定态必须注意，定态波函数只是（含时间的）Schrödinger 方程的特解。不难证明：Schrödinger 方程的一般解是定态波函数的线性组合，即 i / ( , ) ( )e , E t E E E r t c r  −  = 其中 E c 是复常数（直接代入方程即可验证），这样的状态称为非定态。记得对于任何状态，能量的平均值是（如果 ( , ) r t 是归一化的） 3 ˆ E r t H r t d r ( , ) ( , ) ,   =    代入上面的解，我们就发现（如果 ( ) E  r 已经归一化） 2 | | , E E E c E = 所以 2 | | E c 是在状态 ( , ) r t 下任意时刻能量值 E 出现的几率。虽然 ( , ) r t 与时间有关，这个几率却是不随时间而改变的。所以我们可以说，在 V r( ) 与时间无关的情况下，求出了定态 Schrödinger 方程的全部解，其实也就求出了含时 Schrödinger 方程的全部解。 6. 一般系统的 Schrödinger 方程从经典力学（采用正则形式，即 Hamiltonian 形式）的角度来说，一个系统的物理特征完全由它的 Hamiltonian（哈密顿量）来描写，在这个系统中发生的动力学过程也完全由它来决定（请回忆经典力学中的正则运动方程）。这一点在量子力学中也类似，也就是说，任何量子系统都有一个 Hamiltonian 算符 H ˆ ，这个系统的含时间的 Schrödinger 方程就是 ˆ i . H t  =   这就是 Schrödinger 方程的一般形式。如果 H ˆ 不显含时间，那么它就有定态解 i / e , E t  −  = 其中  与时间无关并且满足定态 Schrödinger 方程 ˆ H E   = . 比如多粒子系统的 Hamiltonian 算符是 ( ) 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ( ) ( , , ), 2 N N i i i i i N i i i H T U V U r V r r = = m   = + + = −  + +       其中 mi 是第 i 个粒子的质量， 2 i 是对第 i 个粒子的坐标的 Laplace（拉普拉斯）算符， ( ) U r i i 是第 i 个粒子受到的外部作用势能， 1 ( , , ) V r rN 是各个粒子之间的相互作用势能。由此就不难写出它的

Schrodinger方程 7.量子力学的表象我们在上一节已经谈到,一个粒子的量子状态可以用波函数(F,1)来描写,而通过 Fourier变换 Φ(p,)=G,D n d3 (2mh)3 H(F,1)可以转换到Φ(p,1),反过来说,Φ(p,1)还可以再转换回(F,1): H(F,1)=Φ(p i.F/h 所以,我们应该说ΦO(p,1)和(r,1)包含同样多的信息,同样有“资格”描写粒子的状态。我们称用 H(F,)来描写粒子的状态是量子力学的“坐标表象”,而用Φ(p,1)描写粒子的状态是量子力学的“动量表象”,或者称Φ(p,1)是动量表象中的“波函数” 刚才我们又谈到了非定态情况下的一般波函数为 H(,1)=∑cEvE(T)eE1, 它是定态(即能量本征态)的线性组合。在全体能量本征函数vg(F)e1被解出以后,表征系统的状态的任务就是由那些系数cE来完成的。我们称这样做是采用了“能量表象”,而{cE}就是能量表象中的波函数”,或者“态函数”,或者“态矢量”。至于量子力学的更一般的表象的构成,我们会在以后做详细的介绍。 8.量子力学中的测量,波包坍缩任何物理理论都只有在得到了实验的验证以后才能被认为是正确的。所以,理论必须回答这样的问题:对于理论所预言的结果如何进行实验测量? 这个问题在经典物理中的回答几乎是不言自明的,而且经典物理中的测量具有两个特点:(1)测量过程的动力学遵循与经典物理本身相同的规律;(2)测量过程对于测量对象状态的干扰可以忽略不计但是量子力学中的测量具有完全不同的性质。首先,量子力学的测量结果是几率性的。比如,我们要测量一个非定态的能量,为明确起见,把该状态的波函数写为 H(F,1)=∑cnvn(F)e -iE/n 其中{En(n=1,2,3…)}是一系列分立的(离散的)能量值。那么,每一次测量能量所得的结果,都可能是E1,E2,E32…中的任何一个,对此我们无法准确预言。我们能够预期的只是在进行了足够多次的测量以后,测得能量值为E的几率是|c1P,测得能量值为E2的几率是|c2P,等等。所以,这个状态根本没有唯一的能量值。这种情形在经典物理中当然是不会出现的。其次,在进行测量以前,系统的状态是许许多多本征态的叠加,而进行一次测量只能给出其中的个本征值,所以,测量的过程就是从那许许多多的本征态中随机地提取出一个来把它的本征值显示为仪器读数的过程,换句话说,测量过程完成的时候,也就是系统的状态从线性组合态变成单一本征态的时 ∑cnne5l/-测量并读数→vel, 其中E;就是本次测量所得到的那个本征值。在量子力学里通常把前者称为“波包”(相对地,后者称为 “单色波”),而上述过程被称为“波包坍缩”( von neuman,1932年)。所以,量子测量的过程是波包坍缩的过程随之而来的问题是:既然测量(并且读出)必然导致波包坍缩,也就是说进行过测量之后的态已经不再是原来的态,那么再对它进行测量已经没有任何意义了。我们必须另拿一个“同样的”波包来进行另一次新的测量。而为了得到全部本征值的几率分布,这一次次重新开始的测量必须进行许许多多次所以,在原则上说,为了完成一个量子测量,我们必须制备对象系统的给定状态的无穷多个全同副本这些全同副本的集合称为一个“量子系综”( A. EJoxhHueB,1944年)。所以,量子测量是对量子系综的测量最后一个(也是最根本的一个)问题是:波包坍缩的实质是什么?换句话说,波包坍缩的动力学是

5 Schrödinger 方程。 7. 量子力学的表象我们在上一节已经谈到，一个粒子的量子状态可以用波函数 ( , ) r t 来描写，而通过 Fourier 变换 i / 3 3 1 ( , ) ( , ) e , (2 ) p r p t r t d r  −    =  ( , ) r t 可以转换到 ( , ) p t ，反过来说， ( , ) p t 还可以再转换回 ( , ) r t ： i / 3 3 1 ( , ) ( , ) e . (2 ) p r r t p t d p     =   所以，我们应该说 ( , ) p t 和 ( , ) r t 包含同样多的信息，同样有“资格”描写粒子的状态。我们称用 ( , ) r t 来描写粒子的状态是量子力学的“坐标表象”，而用 ( , ) p t 描写粒子的状态是量子力学的“动量表象”，或者称 ( , ) p t 是动量表象中的“波函数”。刚才我们又谈到了非定态情况下的一般波函数为 i / ( , ) ( )e , E t E E E r t c r  −  = 它是定态（即能量本征态）的线性组合。在全体能量本征函数 i / ( )e Et E  r − 被解出以后，表征系统的状态的任务就是由那些系数 E c 来完成的。我们称这样做是采用了“能量表象”，而 { }E c 就是能量表象中的 “波函数”，或者“态函数”，或者“态矢量”。至于量子力学的更一般的表象的构成，我们会在以后做详细的介绍。 8. 量子力学中的测量，波包坍缩任何物理理论都只有在得到了实验的验证以后才能被认为是正确的。所以，理论必须回答这样的问题：对于理论所预言的结果如何进行实验测量？这个问题在经典物理中的回答几乎是不言自明的，而且经典物理中的测量具有两个特点：（1）测量过程的动力学遵循与经典物理本身相同的规律；（2）测量过程对于测量对象状态的干扰可以忽略不计。但是量子力学中的测量具有完全不同的性质。首先，量子力学的测量结果是几率性的。比如，我们要测量一个非定态的能量，为明确起见，把该状态的波函数写为 i / ( , ) ( )e , E t n n n n r t c r  −  = 其中 { ( 1, 2, 3, )} E n n = 是一系列分立的（离散的）能量值。那么，每一次测量能量所得的结果，都可能是 1 2 3 E E E , , , 中的任何一个，对此我们无法准确预言。我们能够预期的只是在进行了足够多次的测量以后，测得能量值为 E1 的几率是 2 1 | | c ，测得能量值为 E2 的几率是 2 2 | | c ，等等。所以，这个状态根本没有唯一的能量值。这种情形在经典物理中当然是不会出现的。其次，在进行测量以前，系统的状态是许许多多本征态的叠加，而进行一次测量只能给出其中的一个本征值，所以，测量的过程就是从那许许多多的本征态中随机地提取出一个来把它的本征值显示为仪器读数的过程，换句话说，测量过程完成的时候，也就是系统的状态从线性组合态变成单一本征态的时候，即 i / i / e e , E t E t n i n n i n c    − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ 测量并读数其中 Ei 就是本次测量所得到的那个本征值。在量子力学里通常把前者称为“波包”（相对地，后者称为 “单色波”），而上述过程被称为“波包坍缩”（von Neumann，1932 年）。所以，量子测量的过程是波包坍缩的过程。随之而来的问题是：既然测量（并且读出）必然导致波包坍缩，也就是说进行过测量之后的态已经不再是原来的态，那么再对它进行测量已经没有任何意义了。我们必须另拿一个“同样的”波包来进行另一次新的测量。而为了得到全部本征值的几率分布，这一次次重新开始的测量必须进行许许多多次。所以，在原则上说，为了完成一个量子测量，我们必须制备对象系统的给定状态的无穷多个全同副本。这些全同副本的集合称为一个“量子系综”（Д.И.Блохинцев，1944 年）。所以，量子测量是对量子系综的测量。最后一个（也是最根本的一个）问题是：波包坍缩的实质是什么？换句话说，波包坍缩的动力学是

《量子力学》第一章 波函数与 Schrödinger 方程（1.2）Schrödinger 方程

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