三维空间中的 Schrodinger hithe wings加om近似 1.Gren函数方法和 Lippman-Sch 2 2uE (F)=() 它又可以写为 y=Uy. 方程 V-+k 称为 Helmholtz(亥姆霍兹)方程,而方程 )U=S() 称为非齐次的 Helmholtz方程,或带源项的 Helmholtz方程,S(F)称为源项。 解这种方程可以用 Green(格林)函数方法,那就是先解方程 )G(r,)=62(F-) 其中G(,P)称为Gren函数。注意:这里被微分的变量是,而在其中是参量。把G(7,P)求出来 以后,它就(借助于积分)给出了原方程的一个特解: )=∫G(,r)S(r)dr, 所以原方程的一般解是: ()=%6()+∫G(,r)S()dr, 其中v(F)是齐次 Helmholtz方程的一般解 那么Gre函数G(7,r是什么样的函数呢?不难证明:对于 Helmholtz方程, 4丌 事实上,我们只要验证 4丌 满足 k2)G()=6(7) 就够了。在r≠0时,直接的微分就可证明G()满足 +k2)G()=0.(r≠0) 计算如下: 然后需要再验证一下 ∫(2+k2)G()d=1 其中E代表一个以O点为球心,半径E→>0的球体的内部。计算中需要利用Gaus定理
*§11.3 Born 近似 1．Green 函数方法和 Lippman-Schwinger 方程 三维空间中的 Schrödinger 方程是 2 2 ( ) . 2 V r E − + = 记 2 2 2 2 , ( ) ( ), E k U r V r = = 它又可以写为 ( ) 2 2 + = k U . 方程 ( ) 2 2 0 + = k 0 称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，而方程 ( ) 2 2 + = k S r ( ) 称为非齐次的 Helmholtz 方程，或带源项的 Helmholtz 方程， S r( ) 称为源项。 解这种方程可以用 Green（格林）函数方法，那就是先解方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 + = − k G r r r r , , 其中 G r r ( , ) 称为 Green 函数。注意：这里被微分的变量是 r ，而 r 在其中是参量。把 G r r ( , ) 求出来 以后，它就（借助于积分）给出了原方程的一个特解： ( ) ( ) ( ) 3 r G r r S r d r = , , 所以原方程的一般解是： ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 r r G r r S r d r = + , , 其中 0 ( )r 是齐次 Helmholtz 方程的一般解。 那么 Green 函数 G r r ( , ) 是什么样的函数呢？不难证明：对于 Helmholtz 方程， ( ) i 1 e , . 4 k r r G r r r r − = − − 事实上，我们只要验证 ( ) ( ) i 1 e 4 k r G r r r r = − = 满足 ( ) ( ) 2 2 3 + = k G r r ( ) 就够了。在 r 0 时，直接的微分就可证明 G r( ) 满足 ( ) ( ) ( ) 2 2 + = k G r r 0. 0 计算如下： ( ) ( ) i i 2 2 i i 2 2 i i 2 i i 2 2 e 1 e 1 i e e 1 e i e e i e . k r k r k r k r k r k r k r k r r kr r r r r r r r k k r k k r r = = − = − − = − 然后需要再验证一下 ( ) ( ) 2 2 3 k G r d r 1, + = 其中 代表一个以 O 点为球心，半径 →0 的球体的内部。计算中需要利用 Gauss 定理：
(2+k2)G()dF=v()d 4丌 ds 2 4 然后我们再来看 Schrodinger方程。容易看到,此时 S(=U()v(), 所以我们有 v()=v6()+∫G()U()w()dr =v0(7) U/()v(7)dF 这个方程称为 Lippman- Schwinger方程。注意,这并不意味着我们“解出”了v(行),因为右边的积分 中仍含有v(),所以这是一个关于v()的积分方程,它与微分形式的 Schrodinger方程是等价的 2.Born近似 积分方程这种形式的好处在于它含有v6(),而这一项可以用来体现边界条件,所以它等于是把微 分方程和边界条件集于一身表现出来了。对于散射问题。我们要求v()的边界条件是 v(G)=→e*+fe 所以,我们应该在积分方程中令 它确实是齐次 Helmholtz方程的解,而且在U(F)=0时f(O,q)=0。所以我们现在要解方程 y(= 4zl|-产 U(y()d'r 严格地解它还是困难的,我们来利用微扰近似。既然在U()=0时v=Wo=e“,我们就在方程右方 的积分中用v(F)代替v(r),得到 w() ()e-dp 对于散射问题,我们还需在其中令r→∞并且和渐近形式进行对比。在r→∞时可以取 → 但是在指数上我们不能这样近似,因为e是x的振荡函数。这时我们应取 r'cosb=r-r 所以 4z=P()“7-→4e()F 注意到 k’=ke:P'=k·P,(k=ke) k·r=k’·r 其中k是入射粒子波矢量,k是出射粒子波矢量,再对比散射振幅的一般定义,我们就得到
( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 0 0 i 2 3 2 3 0 0 2 2 0 0 1 e 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 1 1. 4 k r k G r d r G r d r d r d r r r ds r d r r d → → → → → → + = = − = − = − = − − = = 然后我们再来看 Schrödinger 方程。容易看到，此时 S r U r r ( ) = ( ) ( ), 所以我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 i | | 3 0 , 1 e . 4 | | k r r r r G r r U r r d r r U r r d r r r − = + = − − 这个方程称为 Lippman-Schwinger 方程。注意，这并不意味着我们“解出”了 (r) ，因为右边的积分 中仍含有 (r) ，所以这是一个关于 (r) 的积分方程，它与微分形式的 Schrödinger 方程是等价的。 2．Born 近似 积分方程这种形式的好处在于它含有 0 (r) ，而这一项可以用来体现边界条件，所以它等于是把微 分方程和边界条件集于一身表现出来了。对于散射问题。我们要求 (r) 的边界条件是 ( ) ( ) i i e e , . k r r k z r f r ⎯⎯⎯→ + → 所以，我们应该在积分方程中令 ( ) i 0 e . k z r = 它确实是齐次 Helmholtz 方程的解，而且在 U r( ) = 0 时 f ( , ) = 0 。所以我们现在要解方程 ( ) ( ) ( ) i | | i 3 1 e e . 4 | | k r r k z r U r r d r r r − = − − 严格地解它还是困难的，我们来利用微扰近似。既然在 U r( ) = 0 时 i 0 e k z = = ，我们就在方程右方 的积分中用 0 (r) 代替 (r) ，得到 ( ) ( ) i | | i i 3 1 e e e . 4 | | k r r k z k z r U r d r r r − = − − 对于散射问题，我们还需在其中令 r → 并且和渐近形式进行对比。在 r → 时可以取 1 1 . | | r r r r ⎯⎯⎯→→ − 但是在指数上我们不能这样近似，因为 i e x 是 x 的振荡函数。这时我们应取 | | cos .r r r r r r r e − − = − 所以 ( ) ( ) i | | i 1 e e 1 i 3 i 3 i e e e . 4 | | 4 r k r r k r k z k z r k r e U r d r U r d r r r r − → − − ⎯⎯⎯→− − 注意到 , ( ) , ( ) z z r r k z k e r k r k ke ke r k r k ke = = = = = 其中 k 是入射粒子波矢量， k 是出射粒子波矢量，再对比散射振幅的一般定义，我们就得到：
f(9)=--∫ 2 U 这里已经把积分变量从换记为F,所以(,q)就变成了k相对于k的方向角。上式就是散射振幅的 Bon近似公式 这个公式可以应用于任何形式的位能函数(P)。但如果F与方向无关,那么公式还可以再简化 k-k.(he 那么 =|q 其中θ正是散射角。hg称为“动量传输”。所以我们得到 f(6) 这个积分以为参数,但实际上只是q=q=2ksiO/2)的函数,所以它也就是的函数。为了计算 它的值,我们可以取任何坐标系。为方便起见,选q沿着新的Z轴,所以 f(0)=-e"U(r)dF=-Ae'grcoseU(r)r'drsin e'de'do 2 grcose')/e=r 9/()2 2 hg Jo sin(gr)v(r)rdr 2uE 总之,现在f(6)=F(q)q=2ksin,k= θ是散射角。这是一级Born近似独有的特征 关于Born近似适用的条件,我们在此只是指出它是 其中a是势场的力程,V是势场的最大强度。由于k√E,所以这比值∝1/√E。这表明,能量越 高,Born近似越好。但是当势场为吸引势场时,Bon近似对于低能情况也是好的 3.屏蔽 Coulomb场的 Rutherford散射 设一个带电荷Ze的粒子(如a粒子)被一个原子散射。可以假设Ze受到的势场是屏蔽 Coulomb 场 Z'Zez 其中Z是核电荷数,e是屏蔽因子,a是某种原子半径。这时玻恩近似给出的是: f(q sin(gr)v(rrr 2k, ZZe f sin(ar)er-rladr 2山kz2e 所以微分散射截面是 h2(1+a2q2) 让我们观察高能(k很大)而且散射角也很大的情形,从而可以认为
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 3 2 1 2 , e . 4 k k r f U r d r U r V r − = − = 这里已经把积分变量从 r 换记为 r ，所以 ( , ) 就变成了 k 相对于 k 的方向角。上式就是散射振幅的 Born 近似公式。 这个公式可以应用于任何形式的位能函数 V r( ) 。但如果 V 与方向无关，那么公式还可以再简化。 这时记 q k k q p p = − = − , ( ) 那么 2 sin , 2 q q k = = 其中 正是散射角。 q 称为“动量传输”。所以我们得到 ( ) 1 i 3 ( ) e . 4 q r f U r d r = − 这个积分以 q 为参数，但实际上只是 q q k = = 2 sin( / 2) 的函数，所以它也就是 的函数。为了计算 它的值，我们可以取任何坐标系。为方便起见，选 q 沿着新的 Z 轴，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) i 3 i cos 2 i cos 2 0 0 2 0 1 1 ( ) e e sin 4 4 1 i 2 e 4 2 sin( ) ( ) . q r q r q r f U r d r U r r dr d d U r r dr qr qr V r r dr q = = = − = − = − = − 总之，现在 2 2 ( ) ( ), 2 sin , 2 E f F q q k k = = = ， 是散射角。这是一级 Born 近似独有的特征。 关于 Born 近似适用的条件，我们在此只是指出它是： 0 1, V ka E 其中 a 是势场的力程， V0 是势场的最大强度。由于 k E ，所以这比值 1/ E 。这表明，能量越 高，Born 近似越好。但是当势场为吸引势场时，Born 近似对于低能情况也是好的。 3．屏蔽 Coulomb 场的 Rutherford 散射 设一个带电荷 Ze 的粒子（如 粒子）被一个原子散射。可以假设 Ze 受到的势场是屏蔽 Coulomb 场 ( ) 2 / 1 e . Z Ze r a V r k r − = 其中 Z 是核电荷数， / e −r a 是屏蔽因子， a 是某种原子半径。这时玻恩近似给出的是： 2 0 2 f q qr V r r dr ( ) sin( ) ( ) q = − ( ) 2 / 2 1 0 2 sin e r a k Z Ze qr dr q − = − 2 2 1 2 2 2 2 . 1 k Z Ze a a q = − + 所以微分散射截面是 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) . (1 ) k Z Ze a f q a q = = + 让我们观察高能（ k 很大）而且散射角也很大的情形，从而可以认为
ag= 2ka sin->>1 这时 d(0): )- ,Z'ze21 h'9 4E 其中E是入射粒子的动能。这个公式称为 Rutherford公式。值得注意的是,它既不包含h,也不包含a, 这表明在上述条件下,Born近似与经典力学是一致的。但 Rutherford当时就发现,在b=0附近,这个 公式与实验是不符合的。这原因现在来看很明显,因为θ≈0时屏蔽效应不可以忽略
2 sin 1. 2 a q k a = 这时 ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 4 2 1 , 4 sin 2 k Z Ze k Z Ze q E = 其中 E 是入射粒子的动能。这个公式称为 Rutherford 公式。值得注意的是，它既不包含 ，也不包含 a ， 这表明在上述条件下，Born 近似与经典力学是一致的。但 Rutherford 当时就发现，在 = 0 附近，这个 公式与实验是不符合的。这原因现在来看很明显，因为 0 时屏蔽效应不可以忽略