《量子力学》第四章 守恒量与对称性（4.1）量子力学里的守恒量

第四章守恒量与对称性 §4.1量子力学里的守恒量 力学量的平均值随时间的演化 力学量A在态屮上的平均值是(设平与时间有关,然而已经归一) A=(平,Ay 而平满足 Schrodinger方程 H 在一般情况下,H和A都可能与时间有关。现在我们观察A随时间的演化。 ap ayp AP+., A dt 甲,Ay+9,A甲 HI 其中注意H是 Hermitian算符。这就是(广义的) Ehrenfest定理。通常来说,我们考虑的算符A是不显 含时间的,即aA/Ot=0,所以 H dt ih 如果取 A=p=-1hV,分。p+V/) 2 那么 B+F(F)|=-V,(=-V() 所以 d dt 这是 Ehrenfest定理的最初形式(1927年) 我们看到,量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程 d41 H dt ih 和经典力学里的“正则”运动方程 {A,H}1 非常类似,其中{A,B}PB是力学量A(q13P1)和B(q1,P)的 Poisson(泊松)括号,定义为 (A, BpB aA aBaB aA B,A}1 aqi api aqi ap 而{A,H}pB中的H(q1,P)就是经典的 Hamiltonian。所以,在形式上,量子力学里的对易括号除以ih

1 第四章 守恒量与对称性 §4.1 量子力学里的守恒量 1．力学量的平均值随时间的演化 力学量 A ˆ 在态  上的平均值是（设  与时间有关，然而已经归一） ˆ A A =   ( , ). 而  满足 Schrödinger 方程 1 ˆ . i H t   =   在一般情况下， H ˆ 和 A ˆ 都可能与时间有关。现在我们观察 A 随时间的演化。 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ , , , ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , i i ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , i i ˆ 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A A A dt t t t A H A A H t A HA AH t A A H t          =   +  +                          =   +   +                     =   −   +             = +        其中注意 H ˆ 是 Hermitian 算符。这就是（广义的）Ehrenfest 定理。通常来说，我们考虑的算符 A ˆ 是不显 含时间的，即 ˆ   = A t / 0 ，所以 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A H dt = 如果取 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ i , ( ), 2 p A p H V r m = = −  = + 那么 ˆ 2 1 ˆ , ( ) [ , ( )] ( ), i 2 p p V r V r V r m     + = −  = −     所以 ( ) ( ). d p V r f r dt = − = 这是 Ehrenfest 定理的最初形式（1927 年）。 我们看到，量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程 1 ˆ ˆ [ , ]. i dA A H dt = 和经典力学里的“正则”运动方程 P.B. { , } dA A H dt = 非常类似，其中 P.B. { , } A B 是力学量 ( , ) A q p i i 和 ( , ) B q p i i 的 Poisson（泊松）括号，定义为 P.B. P.B. { , } { , } , i i i i i A B B A A B B A q p q p       = − = −          而 P.B. { , } A H 中的 ( , ) H q p i i 就是经典的 Hamiltonian。所以，在形式上，量子力学里的对易括号除以 i

与经典力学里的 Poisson括号的地位是一样的 2.量子力学里的守恒量 我们发现:如果 A,H]=0, 那么就有 0 实际上我们还可以证明:在[A,H]=0的时候,不仅A不随时间而改变,而且A的几率分布也不随时 间而改变。所以我们称力学量A是(在量子力学意义上的)守恒量。这时,描写力学量A的本征值的那 个量子数被称为“好量子数”。 但是关于 Hamiltonian本身的“守恒”需要多说几句。首先,我们在量子力学里所考虑的算符通常 都是不显含时间的,只有 Hamiltonian是个例外,所以在 Ehrenfest定理的普遍形式中,OH/ot是不可随 意省去的。其次,乍看起来我们总有[A,的=0,但是当与时间有关的时候,[H(,B(t)x却未 必=0。幸亏,如果与时间无关,那么这两个问题都不存在,所以本身也是个守恒量。我们知道, 在这个时候 Hamiltonian就是能量(换句话说,如果 Hamiltonian与时间有关它就不能被解释为能量了), 所以H的平均值不记为H而记为E 还有几个问题要强调一下 (1)“有确定值”和“守恒”有不同的含义。力学量A有确定值意味着系统处于A的本征态,但是 这个性质并不涉及状态如何随时间演化。反之,力学量A守恒意味着它的测量结果不随时间而改变,然 而系统并不一定处于它的本征态。当然,在A是守恒量的时候,如果系统在初始时刻处于A的本征态, 那么此后它在任意时刻都处于A的本征态 (2)一个量子系统可能有许多守恒量,但是他们未必都彼此对易,也就是说,未必同时都能有确 定值。这与它们都守恒并不矛盾 (3)“定态”与“守恒”也有不同的含义。我们在前面已经指出:如果系统处于定态,那么任何力 学量的测量结果都不随时间而改变,但是这只是系统的一种特殊状态,我们不能因此就说任何力学量都 是守恒的。力学量A守恒的意思是它的测量结果对于满足 Schrodinger方程的任何状态都不随时间而改 变,不管这个状态是不是定态。 *3.能级简并与守恒量 定理:若系统有两个彼此不对易的守恒量F和G,即[F,H]=[G,H=0但是[F,G]≠0,那么 系统的能级一般说是简并的 证明:由于[F,H]=0,所以F和H可以有同时本征函数,记为v,即Hv=Ev 再考虑到[G,H]=0,所以 HGy=GHy=GEy= EGy, 即Gv也是属于同一能量的本征态。但[F,G]≠0,所以一般说来FGy≠GFv=Gfv=fGv(例外 情形见教材),即Gv不是F的本征态,所以Gv不同于v,所以v=Ev有简并。■ 推论:如果F是一个守恒量,能量本征态vg不简并,那么vg也一定是F的本征态。 VE= FEy 所以Fvg也是属于能量E的能量本征态。既然能量E不简并,Fvg就只能和vg相差常数。■ 事实上,我们已经在一维问题中看到了这样的例子:在V(x)=V(-x)的情况下一维束缚定态也 定是宇称本征态 4. Virial(维里)定理 现在假设系统处于定态,考虑F·p=2+,+2随时间的变化,当然,它应该不随时间而改 变,而另一方面我们又有

2 与经典力学里的 Poisson 括号的地位是一样的。 2．量子力学里的守恒量 我们发现：如果 ˆ ˆ [ , ] 0, A H = 那么就有 0. dA dt = 实际上我们还可以证明：在 ˆ ˆ [ , ] 0 A H = 的时候，不仅 A 不随时间而改变，而且 A 的几率分布也不随时 间而改变。所以我们称力学量 A 是（在量子力学意义上的）守恒量。这时，描写力学量 A 的本征值的那 个量子数被称为“好量子数”。 但是关于 Hamiltonian 本身的“守恒”需要多说几句。首先，我们在量子力学里所考虑的算符通常 都是不显含时间的，只有 Hamiltonian 是个例外，所以在 Ehrenfest 定理的普遍形式中， ˆ   H t / 是不可随 意省去的。其次，乍看起来我们总有 ˆ ˆ [ , ] 0 H H = ，但是当 H ˆ 与时间有关的时候， ˆ ˆ [ ( ), ( )] H t H t t t    却未 必 = 0 。幸亏，如果 H ˆ 与时间无关，那么这两个问题都不存在，所以 H ˆ 本身也是个守恒量。我们知道， 在这个时候 Hamiltonian 就是能量（换句话说，如果 Hamiltonian 与时间有关它就不能被解释为能量了）， 所以 H ˆ 的平均值不记为 H 而记为 E 。 还有几个问题要强调一下。 （1）“有确定值”和“守恒”有不同的含义。力学量 A 有确定值意味着系统处于 A 的本征态，但是 这个性质并不涉及状态如何随时间演化。反之，力学量 A 守恒意味着它的测量结果不随时间而改变，然 而系统并不一定处于它的本征态。当然，在 A 是守恒量的时候，如果系统在初始时刻处于 A 的本征态， 那么此后它在任意时刻都处于 A 的本征态。 （2）一个量子系统可能有许多守恒量，但是他们未必都彼此对易，也就是说，未必同时都能有确 定值。这与它们都守恒并不矛盾。 （3）“定态”与“守恒”也有不同的含义。我们在前面已经指出：如果系统处于定态，那么任何力 学量的测量结果都不随时间而改变，但是这只是系统的一种特殊状态，我们不能因此就说任何力学量都 是守恒的。力学量 A 守恒的意思是它的测量结果对于满足 Schrödinger 方程的任何状态都不随时间而改 变，不管这个状态是不是定态。 *3．能级简并与守恒量 定理：若系统有两个彼此不对易的守恒量 F ˆ 和 G ˆ ，即 ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] 0 F H G H = = 但是 ˆ ˆ [ , ] 0 F G  ，那么 系统的能级一般说是简并的。 证明：由于 ˆ ˆ [ , ] 0 F H = ，所以 F ˆ 和 H ˆ 可以有同时本征函数，记为  ，即 ˆ ˆ H E F f     = = , 。 再考虑到 ˆ ˆ [ , ] 0 G H = ，所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ HG GH GE EG     = = = , 即 G ˆ  也是属于同一能量的本征态。但 ˆ ˆ [ , ] 0 F G  ，所以一般说来 FG GF G f f G ˆ ˆ     ˆ ˆ ˆ ˆ  = = (例外 情形见教材)，即 G ˆ  不是 F ˆ 的本征态，所以 G ˆ  不同于  ，所以 H E ˆ   = 有简并。▌ 推论：如果 F ˆ 是一个守恒量，能量本征态  E 不简并，那么  E 也一定是 F ˆ 的本征态。 证明： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , HF FH FE EF     E E E E = = = 所以 ˆ F E 也是属于能量 E 的能量本征态。既然能量 E 不简并， ˆ F E 就只能和  E 相差常数。 ▌ 事实上，我们已经在一维问题中看到了这样的例子：在 V x V x ( ) ( ) = − 的情况下一维束缚定态也一 定是宇称本征态。 *4．Virial（维里）定理 现在假设系统处于定态，考虑 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z r p x p y p z p  = + + 随时间的变化，当然，它应该不随时间而改 变，而另一方面我们又有

ahaH Px ,们=,的+[=-3a,axm 所以 i‘B F vv+P 根据 Ehrenfest定理就有 FVV=P=2T 这个结果被称为 Virial定理。对于中心势场这个定理很有用。比如,假设V(r)∝r",那么r·VV=nV 所以n=2T。 作业:习题44;4.5

3 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i x x x x x x H H V p x p H x p H x H p x p x x p x m    = + = − + = − +    所以 2 1 ˆ ˆ ˆ [ , ] . i p r p H r V m  = −   + 根据 Ehrenfest 定理就有 2 2 . p r V T m   = = 这个结果被称为 Virial 定理。对于中心势场这个定理很有用。比如，假设 ( ) n V r r  ，那么 r V nV   = ， 所以 nV T = 2 。 作业：习题 4.4; 4.5