§33动量本征函数的归一化 动量本征函数在无穷空间中的归一化 动量算符是 p=-ihV 所以本征方程是 P 其中p是任何实矢量(如果p有虚部,则本征函数就不能满足有限性的要求),按分量写出是 Pry h y Pyy p-y 也就是说,是彼此对易的3个算符{Px,p,p3}的同时本征方程。容易发现,这些方程的解(即同时本 征函数)是 U()=Ce Cepr 在无穷空间中,它们是平方不可积的,所以要采用按δ函数归一化的方法。 考虑另一个本征函数vp()并计算“交叉积分”(或“重叠积分”) 「v((F)d=CcB[edcn在, 注意到 ei(P2-Pi)x/n dx=2rh8(p, -pr). 其中δ(p)是δ函数,所以 「v()vn()d=CF(2zh)(P2-)6(P,-p)(P2-P) 我们取 (2mh)3 那么就有 ∫v()w)d+=a(P-)(P,-n)P2-n)=6°(p-p 其中 Vp(r) p-r/n 这就是在无穷大三维空间中按δ函数归一化的动量本征函数。在一维空间中,它们简化为 vn()≈~1 ∫v(x)w(x)dk=p-p) 这样归一化的动量本征函数主要用于计算粒子的动量测量几率。 按δ函数归一化的方法可以用于任何有连续本征值谱的本征函数系。例如算符x的本征值谱是连续 谱。若记算符x的本征值为x∈的本征函数为vx(x),那么它们的正交归一性就是 Vr (x)yr(x)dx=8(x-x 显然,v(x)就是 V(x)=d(-xu)
1 §3.3 动量本征函数的归一化 1. 动量本征函数在无穷空间中的归一化 动量算符是 ˆ p = − i , 所以本征方程是 i , p p − = p 其中 p 是任何实矢量（如果 p 有虚部，则本征函数就不能满足有限性的要求），按分量写出是 i , i , i , x y z p x p y p z − = − = − = 也就是说，是彼此对易的 3 个算符 { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 的同时本征方程。容易发现，这些方程的解（即同时本 征函数）是 i( ) / i / ( ) e e . x y z p x p y p z p r p r C C + + = = 在无穷空间中，它们是平方不可积的，所以要采用按 函数归一化的方法。 考虑另一个本征函数 (r) p 并计算“交叉积分”（或“重叠积分”） 2 i( ) / 3 i( ) / i( ) / ( ) ( ) e e e , x x y y z z p p x p p y p p z p p r r d r C dx dy dz − − − = 注意到 i( ) / e 2 ( ), x x p p x x x dx p p − = − 其中 ( p) 是 函数，所以 3 3 2 ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ). p p x x y y z z r r d r C p p p p p p = − − − 我们取 , (2 ) 1 3 C = 那么就有 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), p p x x y y z z r r d r p p p p p p p p = − − − − 其中 i / 3 1 ( ) e . (2 ) p r p r = 这就是在无穷大三维空间中按 函数归一化的动量本征函数。在一维空间中，它们简化为 1 i / ( ) e , 2 p x p x = ( ) ( ) ( ). p p x x dx p p = − 这样归一化的动量本征函数主要用于计算粒子的动量测量几率。 按 函数归一化的方法可以用于任何有连续本征值谱的本征函数系。例如算符 x ˆ 的本征值谱是连续 谱。若记算符 x ˆ 的本征值为 1 x 的本征函数为 1 ( ) x x ，那么它们的正交归一性就是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ). x x x x dx x x = − 显然， 1 ( ) x x 就是 1 1 ( ) ( ). x x x x = −
这个结果不难推广到高维空间 2.动量本征函数的箱归一化 所谓的“无穷大空间”不是物理的现实空间。实际的物理情况是:问题所涉及的空间虽然很大却仍 然是有限的,然而这个空间的边界的影响又可以忽略不计。在这个时候,我们可以采用这样的办法:先 让粒子在有限的空间体积中运动,然后再让这个体积趋近于无穷。这就是所谓的箱归一化方法 这里的问题主要是如何处理空间的边界。可以证明:为了保证动量算符是 Hermitian算符,应该提 出周期性边界条件。或者从另一个角度来讲,周期性边界条件实际上意味着这个有限的体积可以扩展到 无穷,所以边界对内部空间不产生影响 下面先以一维空间为例说明动量本征函数的箱归一化。假设x∈[-L/2,L/2],并且vp(x)满足 p(-L/2)=v2(L/2, 其中 y,(x) 那么我们首先发现:这时本征值p变成离散的了,因为它必须满足 i pL/h 所以 L/h=2n丌,(n=0,±1,±2,…) 即是 注意到 de broglie关系p=h/λ,所以它也就是L=|nλ。其次,现在我们只在x∈[-L12,L/2]中把 波函数归一化,所以 Un(x) i P. x/h 1i2nzx/L L 而正交归一条件成为 (x)u(x)dx 用vn(x)也可以构造在x∈[-L/2,L/2]上的δ函数 ∑v(x)Vn(x)=0(x-x)(x,x∈[-L/2,L/2]) 推广到三维情形,箱归一化的动量本征函数是 其中 h h P:in,Py-Im, P: L,(n, m, /=0,*1,#2 所以 d3=b.6 其中 F∈[-L/2,L/2 ∑v()v()=δ(-f)(F,F∈V) 当然,在处理实际的物理问题(做实际计算)的时候,最后要让L→∞,所以要仔细地处理可观察的 物理量的定义,使得它们在L→∞的时候与L无关。 关于箱归一化方法,一个直观的物理图象也很有用。在动量空间中,动量的本征值都出现在以h/L 为晶格常数的立方晶格上,所以一个晶胞的体积(也就是一个量子态平均占有的体积)是h3/3,而坐
2 这个结果不难推广到高维空间。 2. 动量本征函数的箱归一化 所谓的“无穷大空间”不是物理的现实空间。实际的物理情况是：问题所涉及的空间虽然很大却仍 然是有限的，然而这个空间的边界的影响又可以忽略不计。在这个时候，我们可以采用这样的办法：先 让粒子在有限的空间体积中运动，然后再让这个体积趋近于无穷。这就是所谓的箱归一化方法。 这里的问题主要是如何处理空间的边界。可以证明：为了保证动量算符是 Hermitian 算符，应该提 出周期性边界条件。或者从另一个角度来讲，周期性边界条件实际上意味着这个有限的体积可以扩展到 无穷，所以边界对内部空间不产生影响。 下面先以一维空间为例说明动量本征函数的箱归一化。假设 x L L −[ / 2, / 2] ，并且 ( ) p x 满足 ( / 2) ( / 2), p p − = L L 其中 i / ( ) e . p x p x 那么我们首先发现：这时本征值 p 变成离散的了，因为它必须满足 i / e 1, pL = 所以 p L n n / 2 , ( 0, 1, 2, ) = = 即是 2 . n nh p L L = = 注意到 de Broglie 关系 p h = / ，所以它也就是 L n =| | 。其次，现在我们只在 x L L −[ / 2, / 2] 中把 波函数归一化，所以 1 1 i / i 2 / ( ) e e , n n p x n x L p x L L = = 而正交归一条件成为 / 2 / 2 ( ) ( ) . n m L p p nm L x x dx − = 用 ( ) n p x 也可以构造在 x L L −[ / 2, / 2] 上的 函数： ( ) ( ) ( ). , [ / 2, / 2] ( ) n n p p n x x x x x x L L + =− = − − 推广到三维情形，箱归一化的动量本征函数是 i / 3/ 2 1 ( ) e , p r p r L = 其中 , , , ( , , 0, 1, 2, ) x y z h h h p n p m p l n m l L L L = = = = 所以 3 ( ) ( ) , p p n n m m l l V r r d r = 其中 3 V r L L −[ / 2, / 2] , 而且 ( ) 3 , , ( ) ( ) ( ). , p p n m l r r r r r r V + =− = − 当然，在处理实际的物理问题（做实际计算）的时候，最后要让 L → ，所以要仔细地处理可观察的 物理量的定义，使得它们在 L → 的时候与 L 无关。 关于箱归一化方法，一个直观的物理图象也很有用。在动量空间中，动量的本征值都出现在以 h L/ 为晶格常数的立方晶格上，所以一个晶胞的体积（也就是一个量子态平均占有的体积）是 3 3 h L/ ，而坐
标空间的体积是V=L3,所以在相空间(坐标空间和动量空间共同构成的空间)中来看,一个量子态平 均占有的体积是h3,或者说,系统在它的相空间中的“态密度”是1/h3。这个结论在统计力学中有重 的应用。 作业:习题3.10,3.1
3 标空间的体积是 3 V L = ，所以在相空间（坐标空间和动量空间共同构成的空间）中来看，一个量子态平 均占有的体积是 3 h ，或者说，系统在它的相空间中的“态密度”是 3 1/ h 。这个结论在统计力学中有重 要的应用。 作业：习题 3.10; 3.12