量子力学 (基科41,42班,2006年春) 教材 曾谨言,量子力学教程,科学出版社,2003年第一版 参考书 1) Dirac P A.M., The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press, 1958 (2)Kramers, H A, Quantum Mechanics, North-Holland Publishing Co, 1957 (3)Schiff L I, Quantum Mechanics, 3rd edition, McGraw-Hill, 1968 4)Landau L D. and Lifshitz E.M., Quantum Mechanics(Non-relativistic Theory), 3rd edition, Pergamon Press, 1977 (5)Cohen-Tannoudji C, Diu B and Laloe F, Quantum Mechanics, Vol. I& ll, John-Wiley sons (6) Sakurai JJ, editor Tuan S F, Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings, 1985 (7)Greiner W, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1989 (8)Liboff, R L, Introductory Quantum Mechanics, 3d edition, Addison-Wesley, 1998 (9) Griffiths, D.J., Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition, Pearson Prentice Hall, 2005 (中文参考书就不列举了) 量子力学是近代物理学的基础 量子力学改变了人们的物理观 经典物理的绝对性和近代物理的相对性 经典物理的决定性和近代物理的几率性 经典物理的直观性和近代物理的思辨性。 第零章量子力学的历史渊源 在历史上,量子力学的诞生来自三个方面的思想,即 Planck(普朗克)的光量子假说,Bohr(玻尔) 的原子结构模型和 de broglie(德布罗意)的物质波假说 1. Planck的光量子假说 1.1.黑体辐射的能量分布 黑体辐射的特征可以用“空窖辐射”的空间能量密度(单位体积中的辐射场能量)按频率(或波长) 的分布来描写。定义函数p(v)为 p(v)dv=空窖辐射的频率在v→v+dv内的空间能量密度 那么它只与温度有关,而与空腔的体积、形状、构成腔壁的物质种类等等都无关,所以一定是由基本物 理定律所决定的。Wien(维恩)、 Rayleigh(瑞利)和 Jeans(金斯)都曾经对p(v)的理论形式进行过 研究并提出了自己的公式,但是都和实验不符合。尤其是,从经典物理理论的角度看来, Rayleigh-Jea 公式是“无懈可击”的,但是它在高频(紫外)端却是发散的,这被称为“紫外灾难”。 提问:根据量纲分析,p(v)dv的经典表达式应该是什么样子?) 这个问题因 Planck提出了光量子假说而得以解决。 Planck假说(1900)是 频率为v的电磁辐射的能量以hv为单位(h是 Planck常数)不连续地变化。hv称为能量子或光 量子。 h的现代测量值( CODATA2002年的推荐值)是 h=66260693(11)×10-34Js, 或者 hc a(5/4)meV mm=(5/4)eV um
1 量 子 力 学 （基科 41，42 班，2006 年春） 教 材 曾谨言，量子力学教程，科学出版社，2003 年第一版 参 考 书 （1） Dirac P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press, 1958. （2） Kramers, H.A., Quantum Mechanics, North-Holland Publishing Co., 1957. （3） Schiff L.I., Quantum Mechanics, 3rd edition, McGraw-Hill,1968. （4） Landau L.D. and Lifshitz E.M., Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory), 3rd edition, Pergamon Press, 1977. （5） Cohen-Tannoudji C., Diu B. and Laloë F., Quantum Mechanics, Vol. I & II, John-Wiley & sons with Hermann, 1977. （6） Sakurai J.J., editor Tuan S.F., Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings, 1985. （7） Greiner W., Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1989. （8） Liboff, R.L., Introductory Quantum Mechanics, 3 rd edition, Addison-Wesley, 1998. （9） Griffiths, D.J., Introduction to Quantum Mechanics, 2 nd edition, Pearson Prentice Hall, 2005. （中文参考书就不列举了） 量子力学是近代物理学的基础。 量子力学改变了人们的物理观。 经典物理的绝对性和近代物理的相对性。 经典物理的决定性和近代物理的几率性。 经典物理的直观性和近代物理的思辨性。 第零章 量子力学的历史渊源 在历史上，量子力学的诞生来自三个方面的思想，即 Planck（普朗克）的光量子假说，Bohr（玻尔） 的原子结构模型和 de Broglie（德布罗意）的物质波假说。 1. Planck 的光量子假说 1.1. 黑体辐射的能量分布 黑体辐射的特征可以用“空窖辐射”的空间能量密度（单位体积中的辐射场能量）按频率（或波长） 的分布来描写。定义函数 ( ) 为： ( ) d = 空窖辐射的频率在 → + d 内的空间能量密度 那么它只与温度有关，而与空腔的体积、形状、构成腔壁的物质种类等等都无关，所以一定是由基本物 理定律所决定的。Wien（维恩）、Rayleigh（瑞利）和 Jeans（金斯）都曾经对 ( ) 的理论形式进行过 研究并提出了自己的公式，但是都和实验不符合。尤其是，从经典物理理论的角度看来，Rayleigh-Jeans 公式是“无懈可击”的，但是它在高频（紫外）端却是发散的，这被称为“紫外灾难”。 （提问：根据量纲分析， ( )d 的经典表达式应该是什么样子？） 这个问题因 Planck 提出了光量子假说而得以解决。Planck 假说 (1900) 是： 频率为 的电磁辐射的能量以 h 为单位（ h 是 Planck 常数）不连续地变化。 h 称为能量子或光 量子。 h 的现代测量值（CODATA 2002 年的推荐值）是 6.626 069 3(11) 10 J s −34 h = , 或者 hc (5/ 4) meV mm = (5/ 4) eV m
由此可以导出 Planck公式(参见任何一本统计物理教科书): 8丌hv3 其中c是光速,k是 boltzmann常数,T是绝对温度。它与实验完全符合。 kB的现代测量值是 kB=1.3806505(24)×10-23JK-1 或者,当T=300K(室温)时 kaT≈(1/40)eV 1.2.光电效应 光电效应的特征:存在临界(最低)光频率:光电子能量只与光频率有关;光的强度只影响光电子 数目:没有可观察的延迟现象 Einstein的解释(1905) K=hv-n K:光电子动能,W:电子在金属中的脱出功(或称功函数)。 意义:证明电磁场的能量子hv可以和单个的电子相互作用,从而它本身也可以看成是一种粒子 称为光子 光子的静止质量是零,所以它的能量一动量关系是 E=hv 所以光子的动量是 (A=-是光的波长) 1.3. Compton(康普顿)效应 Compton实验(1923)是观察光在自由电子上的散射,或者说是光子和自由电子的碰撞。在散射角 b≠0的时候,散射后的光子波长变长(也就是能量变小),同时出现反冲电子。这个结果在经典电动 力学中是完全无法解释的 如果假设在碰撞过程中系统(光子加电子)的总能量和总动量守恒(光子的能量是hv,动量的大 小是h/,动量的方向和光子的运动方向相同),那么理论计算和实验的结果就完全一致。在这里 人们引入了 h 称为电子的 Compton波长。 Compton实验的意义:证明了在光子和电子(或其它粒子)相互作用的单个事件中,能量守恒和动 量守恒是被严格遴守的。 总之,实验证明了光是一种既具有波动性又具有粒子性的物质,这称为光的波粒二象性。 但是量子理论在1900年以后的十余年中并未得到很大的发展。从现在看来,这是由于光量子假说 涉及的是场(属于无穷多自由度系统)的量子化问题,这在当时根本不具备从理论上解决的条件。幸而 此后Bohr把问题转向了少自由度系统,这才使得量子理论又获得了长足的进步 2.Bohr的原子结构模型 1.氢原子光谱和 Franck-Herz(弗兰克-赫兹)实验 氢原子特征谱线的频率为( Rydberg(黎德堡),1890) (n1<n2=1,2,3,…) 其中的R称为 Rydberg常数。谱线公式中的每一项称为“光谱项
2 由此可以导出 Planck 公式（参见任何一本统计物理教科书）： e 1 8 1 ( , ) 3 / B 3 − = h k T c h T , 其中 c 是光速， B k 是 Boltzmann 常数， T 是绝对温度。它与实验完全符合。 B k 的现代测量值是 2 3 1 B 1.380 650 5(24) 10 J K − − k = , 或者，当 T = 300 K （室温）时 B k T (1/ 40) eV. 1.2．光电效应 光电效应的特征：存在临界（最低）光频率；光电子能量只与光频率有关；光的强度只影响光电子 数目；没有可观察的延迟现象。 Einstein 的解释（1905）： 0 , K h W e = − Ke ：光电子动能， W0 ：电子在金属中的脱出功（或称功函数）。 意义：证明电磁场的能量子 h 可以和单个的电子相互作用，从而它本身也可以看成是一种粒子， 称为光子。 光子的静止质量是零，所以它的能量－动量关系是 2 2 2 E p c = , 而 E = h , 所以光子的动量是 p h c h = = . （ = c 是光的波长） 1.3．Compton（康普顿）效应 Compton 实验 (1923) 是观察光在自由电子上的散射，或者说是光子和自由电子的碰撞。在散射角 0 的时候，散射后的光子波长变长（也就是能量变小），同时出现反冲电子。这个结果在经典电动 力学中是完全无法解释的。 如果假设在碰撞过程中系统（光子加电子）的总能量和总动量守恒（光子的能量是 h ，动量的大 小是 h / ，动量的方向和光子的运动方向相同），那么理论计算和实验的结果就完全一致。在这里， 人们引入了 c , e h m c = 称为电子的 Compton 波长。 Compton 实验的意义：证明了在光子和电子（或其它粒子）相互作用的单个事件中，能量守恒和动 量守恒是被严格遵守的。 总之，实验证明了光是一种既具有波动性又具有粒子性的物质，这称为光的波粒二象性。 但是量子理论在 1900 年以后的十余年中并未得到很大的发展。从现在看来，这是由于光量子假说 涉及的是场（属于无穷多自由度系统）的量子化问题，这在当时根本不具备从理论上解决的条件。幸而 此后 Bohr 把问题转向了少自由度系统，这才使得量子理论又获得了长足的进步。 2. Bohr 的原子结构模型 2.1. 氢原子光谱和 Franck-Hertz（弗兰克-赫兹）实验 氢原子特征谱线的频率为 (Rydberg（黎德堡），1890) 2 2 1 2 1 2 1 1 , ( 1,2,3, ) R c n n H n n = − = 其中的 RH 称为 Rydberg 常数。谱线公式中的每一项称为“光谱项”：
R 可以认为每个光谱项对应着氢原子的一种能量状态。这样,氢原子的能量就是不连续地变化的,其可能 的值为: En=-rHhc 这称为氢原子的能谱 经典理论的困难。在不考虑电子自身的电场时,氢原子的能量不可能是分立的(或称离散的)。如 果考虑到电子自身还带电并且在做加速运动,则连稳定的氢原子都不可能存在 Franck- Hertz实验(1914)也证明了原子能量的不连续性 22.Bohr模型(1913 Bohr模型的基本假设: (1)电子在原子中只能沿某些特殊的轨道运动,当电子在这些轨道上时,既不发出也不吸收光辐 射(定态假设)。 (2)当电子由一个定态“跳”(跃迁)到另一个定态时会发出或吸收光辐射,其频率为: E-E E1和E2为跃迁前、后的能量(跃迁假设) (3)电子在原子中的允许轨道满足下面的条件:它的轨道角动量是 h h 的整数倍(量孑化条件)。(在Bohr一开始的工作中假设的是“对应原理( correspondence principle)” 而轨道角动量的量子化是推论) 经典力学加Bohr假设导致氢原子能级为: En=-2e41 2h2n2,(n=12,3…) 其中是电子的约化质量,e是电子电荷绝对值, 1/4 (CGS) 从这个表达式可以知道 Rydberg常数是 k-e 4rh'c 这个数值与实验完全符合 23. Sommerfeld(索末菲)量子化条件(1915) Sommerfeld把Bohr的量子化条件推广为:对于周期运动的自由度(q,p) 手pd=m,(m=1,23…) 其中q是广义坐标,p是与之共轭的广义动量(按分析力学中的定义),积分对一个周期进行 利用 Sommerfeld量子化条件可以给出氢原子的电子轨道为椭圆时它的偏心率的量子化和轨道平面 取向的量子化(即所谓的“空间量子化”),但是在氢原子的情况下这两种量子化都不影响能谱。 (提问:根据 Sommerfeld量子化条件,一维无限深势阱中的粒子能级是什么?) Bohr模型(又称为“老量子论”)的缺点:不能解释比较复杂的原子(比如氦原子)的能谱,不能 解释谱线的强度,等等。 在量子力学诞生以后,人们证明了老量子论是量子力学的“半经典近似”,即WKB近似 在Bohr模型提出以后,人们一再追问这个模型的力学根据,但是Bohr无法回答。后来 de broglie 和 Heisenberg(海森堡)分别从两个不同的角度研究了这个问题,前者以及 Schrodinger(薛定谔)提出 “波动力学”,后者以及Born(玻恩)和 Jordon(约登)提出了“矩阵力学”。后来人们发现,二者 其实是同一种力学一一量子力学—一的不同“表象”。由于波动力学的语言比较容易被初学者接受,我
3 n RH c n = 1 2 . 可以认为每个光谱项对应着氢原子的一种能量状态。这样，氢原子的能量就是不连续地变化的，其可能 的值为： E R hc n n = − H 1 2 , 这称为氢原子的能谱。 经典理论的困难。在不考虑电子自身的电场时，氢原子的能量不可能是分立的（或称离散的）。如 果考虑到电子自身还带电并且在做加速运动，则连稳定的氢原子都不可能存在。 Franck-Hertz 实验 (1914) 也证明了原子能量的不连续性。 2.2. Bohr 模型 (1913) Bohr 模型的基本假设： （1）电子在原子中只能沿某些特殊的轨道运动，当电子在这些轨道上时，既不发出也不吸收光辐 射（定态假设）。 （2）当电子由一个定态“跳”（跃迁）到另一个定态时会发出或吸收光辐射，其频率为： = E − E h 1 2 , E1 和 E2 为跃迁前、后的能量（跃迁假设）。 （3）电子在原子中的允许轨道满足下面的条件：它的轨道角动量是 2 h 的整数倍（量子化条件）。（在 Bohr 一开始的工作中假设的是“对应原理 (correspondence principle)”， 而轨道角动量的量子化是推论）。 经典力学加 Bohr 假设导致氢原子能级为： 2 4 1 2 2 1 , ( 1,2,3, ) 2 n k e E n n = − = 其中 是电子的约化质量， e 是电子电荷绝对值， = 1. 1/ 4 , 0 1 k (CGS) (SI) 从这个表达式可以知道 Rydberg 常数是 . 4 3 2 4 1 c k e RH = 这个数值与实验完全符合。 2.3. Sommerfeld（索末菲）量子化条件 (1915) Sommerfeld 把 Bohr 的量子化条件推广为：对于周期运动的自由度 (q, p), p dq nh n = = , ( 1,2,3, ) 其中 q 是广义坐标， p 是与之共轭的广义动量（按分析力学中的定义），积分对一个周期进行。 利用 Sommerfeld 量子化条件可以给出氢原子的电子轨道为椭圆时它的偏心率的量子化和轨道平面 取向的量子化（即所谓的“空间量子化”），但是在氢原子的情况下这两种量子化都不影响能谱。 （提问：根据 Sommerfeld 量子化条件，一维无限深势阱中的粒子能级是什么？） Bohr 模型（又称为“老量子论”）的缺点：不能解释比较复杂的原子（比如氦原子）的能谱，不能 解释谱线的强度，等等。 在量子力学诞生以后，人们证明了老量子论是量子力学的“半经典近似”，即 WKB 近似。 在 Bohr 模型提出以后，人们一再追问这个模型的力学根据，但是 Bohr 无法回答。后来 de Broglie 和 Heisenberg（海森堡）分别从两个不同的角度研究了这个问题，前者以及 Schrödinger（薛定谔）提出 了“波动力学”，后者以及 Born（玻恩）和 Jordon（约登）提出了“矩阵力学”。后来人们发现，二者 其实是同一种力学——量子力学——的不同“表象”。由于波动力学的语言比较容易被初学者接受，我
们还是沿着 de broglie开创的路子引导大家进入量子力学的大门。但是平心而论, Heisenberg对量子力 学的诞生所做的贡献是非常重要的。 3. de broglie的物质波假说 1. de broglie假说(1923) Planck的“光量子假说” h p=h/a, 或者写为 E=hO,O是园频率=2丌v D=hk,k是波矢量,k=2x 是由波动性决定粒子性 de broglie假说:微观粒子也有波动性 E 称为 de broglie关系。是由粒子性决定波动性 它适用于自由粒子和平面浪之间的关系。平面波是 p(r, O=Ae 代入 de broglie关系成为: Y(r, t)=Ae-i(Er-p-r)/n 这称为 de broglie波。可以“证明” de broglie波一定是复数波,但是指数上取正号或负号是一个约定。 对质量为m的非相对论粒子, E 所以 p=√2mE, 所以 de broglie波的波长是 p√2mE 对于电子 150 E 其中E的单位是电子伏特(eV),4的单位是埃( Angstrom,即10-0m,这是原子的尺度) (提问: de broglie波的相速度是多大?群速度是多大?) 3.2.微观粒子波动性的实验 波动性的体现就是衍射、干涉等等。通过观察这些现象还可以测量波长 Davisson- Germer(戴维孙-革末)电子衍射实验(1927)的结果证实了电子确实有波动性,而且波 长与 de broglie的预言完全一致。 此后,各种不同形式的以及使用不同粒子(电子、原子、分子、原子核、核子等,最近(1999年) 还使用了原子团簇C60)的粒子波动性实验都证实了 de broglie假说 所以,实验证明了在经典物理中被看作是“粒子”的那些微观客体,其实也有波粒二象性。 总之,我们应该说:波粒二象性是微观客体的共性,不论在经典物理中它们被看作是粒子(比如电 子)还是波(比如光辐射)。但是,二者在经典极限下显然有完全不同的表现,所以即使在微观世界中 它们也应该有一些本质的差别。我们以后将会看到:从量子力学的角度看来,这二者的差别在于所服从
4 们还是沿着 de Broglie 开创的路子引导大家进入量子力学的大门。但是平心而论，Heisenberg 对量子力 学的诞生所做的贡献是非常重要的。 3. de Broglie 的物质波假说 3.1. de Broglie 假说 (1923) Planck 的“光量子假说” = = / , , p h E h 或者写为 E = , 是园频率 = 2, p k = , k 是波矢量， k = 2 / , 是由波动性决定粒子性。 de Broglie 假说：微观粒子也有波动性， E = , p k = , 称为 de Broglie 关系。是由粒子性决定波动性。 它适用于自由粒子和平面波之间的关系。平面波是： ( , ) e , i( t k r) r t A − − = 代入 de Broglie 关系成为： ( , ) e , i( )/ Et p r r t A − − = 这称为 de Broglie 波。可以“证明”de Broglie 波一定是复数波，但是指数上取正号或负号是一个约定。 对质量为 m 的非相对论粒子， 2 , 2 p E m = 所以 p mE = 2 , 所以 de Broglie 波的波长是 2 h h p mE = = . 对于电子， 150 , E 其中 E 的单位是电子伏特（eV）， 的单位是埃（Ångström，即 10−10 m，这是原子的尺度）。 （提问：de Broglie 波的相速度是多大？群速度是多大？） 3.2. 微观粒子波动性的实验 波动性的体现就是衍射、干涉等等。通过观察这些现象还可以测量波长。 Davisson-Germer（戴维孙-革末）电子衍射实验（1927）的结果证实了电子确实有波动性，而且波 长与 de Broglie 的预言完全一致。 此后，各种不同形式的以及使用不同粒子（电子、原子、分子、原子核、核子等，最近（1999 年） 还使用了原子团簇 C60）的粒子波动性实验都证实了 de Broglie 假说。 所以，实验证明了在经典物理中被看作是“粒子”的那些微观客体，其实也有波粒二象性。 总之，我们应该说：波粒二象性是微观客体的共性，不论在经典物理中它们被看作是粒子（比如电 子）还是波（比如光辐射）。但是，二者在经典极限下显然有完全不同的表现，所以即使在微观世界中 它们也应该有一些本质的差别。我们以后将会看到：从量子力学的角度看来，这二者的差别在于所服从
的统计不同一一服从 Fermi-Drac(费米狄拉克)统计的在经典极限下成为“粒子”,而服从 Bose-Einstein (玻色-爱因斯坦)统计的在经典极限下成为“波” 作业:无
5 的统计不同——服从 Fermi-Dirac（费米-狄拉克）统计的在经典极限下成为“粒子”，而服从 Bose-Einstein （玻色-爱因斯坦）统计的在经典极限下成为“波”。 作业：无
