第八章本征值问题的代数方法 §8.1线性谐振子的阶梯算符方法 1.线性谐振子的代数解法 现在我们介绍解谐振子能量本征方程的代数方法,采用 Dirac符号进行分析和推导。 线性谐振子的 Hamiltonian是(这里不涉及采用什么表示) 2m 令 山(m、m √ 那么不难验证 la,a=aaaa=l 反过来说, mhe (a-a), 所以 Hamiltonian可以重新表为 H=m(aa+aaho=a'a+ho 在所谓“二次量子化”的形式中,常记 N≡aa 并称为粒子数算符,所以 H=N 我们发现 IN,a=aa,a]=ala, a]=at [N,a][aa, a]=[a, aa=ra 记算符N的本征方程为 Nn=n/n) 那么 Nat n=(a'N+a))=(n+1)a'In) na a|n)∝|n+1), n-1 a+称为粒子的产生算符,a称为粒子的湮灭算符。在谐振子能量本征态的意义上,a+和a则分别称为 升级算符和降级算符,合称为阶梯算符
1 第八章 本征值问题的代数方法 §8.1 线性谐振子的阶梯算符方法 1．线性谐振子的代数解法 现在我们介绍解谐振子能量本征方程的代数方法，采用 Dirac 符号进行分析和推导。 线性谐振子的 Hamiltonian 是（这里不涉及采用什么表示） 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ . 2 2 H p m x m = + 令 1 1 ˆ ˆ i , ˆ 2 m a x p m = + 1 1 ˆ ˆ i , ˆ 2 m a x p m + = − 那么不难验证 [ , ] 1. a a aa a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + + − = 反过来说， ˆ ( ), ˆ ˆ 2 x a a m + = + ˆ i ( ), ˆ ˆ 2 m p a a + = − − 所以 Hamiltonian 可以重新表为 1 1 ˆ ( ) . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 H a a a a a a + + + = + = + 在所谓“二次量子化”的形式中，常记 N a ˆ a ˆ ˆ + , 并称为粒子数算符，所以 1 ˆ ˆ . 2 H N = + 我们发现： ˆ [ , ] [ , ] [ , ] , N a a a a a a a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + + + + + = = = ˆ [ , ] [ , ] [ , ] . N a a a a a a a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + = = = − 记算符 N ˆ 的本征方程为 ˆ N n n n = , 那么 ˆ ˆ N a n a N a n n a n ˆ ( ) ( 1) , ˆ ˆ ˆ + + + + = + = + ˆ ˆ N a n aN a n n a n ˆ = − = − ( ) ( 1) , ˆ ˆ ˆ 所以 a n n ˆ 1 , + + a n n ˆ −1 . + a ˆ 称为粒子的产生算符，a ˆ 称为粒子的湮灭算符。在谐振子能量本征态的意义上， + a ˆ 和 a ˆ 则分别称为 升级算符和降级算符，合称为阶梯算符
我们已经发现:m的允许值系列必是公差为1的等差数列。由于对任何态v)有 (INv=yla'aly)=(w'lv 20,(lv=alv) 所 ≥0, 因此必存在最小本征值n,满足 a 0 也就是说 N 这就导致 0=0 所以N的本征值系列是 n=0.1.2 而最小本征值态(基态)是|0) =C, n+ 那么 (n)=lcn P(n+ln+1=IcnI=(n((N+Dn=n+1, 所以可取 +1 因而 n+1 类似地可得 n)=m-1),or1m-1)==an) 然后利用数学归纳法就不难证明 n)=;(a)y|o 而H的本征方程的解就是 2.坐标表象 现在考虑坐标表象(x=x,p=-0x)。引入 那么a和a就变为 d √2dE 5 d √2d5
2 我们已经发现： n 的允许值系列必是公差为 1 的等差数列。由于对任何态 有 ( ) ˆ N a a a ˆ ˆ 0, ˆ + = = 所以 n 0, 因此必存在最小本征值 0 n ，满足 0 a n ˆ = 0, 也就是说 0 ˆ N n = 0, 这就导致 0 n = 0, 所以 N ˆ 的本征值系列是 n = 0,1, 2, 而最小本征值态（基态）是 0 。 设 ˆ 1 , n a n c n + = + 那么 2 2 ˆ ˆ ˆ | | 1 1 | | ( 1) 1, n n n aa n c n n c n N n n + = + + = = + = + 所以可取 1, n c n = + 因而 1 ˆ 1 1 , or 1 . ˆ 1 a n n n n a n n + + = + + + = + 类似地可得 1 a n n n n a n ˆ 1 , or 1 . ˆ n = − − = 然后利用数学归纳法就不难证明 1 ( ) 0 . ˆ ! n n a n + = 而 H ˆ 的本征方程的解就是 1 ˆ . 2 H n n n = + 2．坐标表象 现在考虑坐标表象（ ˆ , i ˆ x x x p = = − ）。引入 , m x = 那么 a ˆ 和 + a ˆ 就变为 , 2 1 ˆ = + d d a 1 ˆ . 2 d a d + = − +
记基态0)的波函数为v(5),那么它必须满足 av0(5) 1(d ds+5|w(5)=0 这个方程的解是 v0(5) oe 其中N是归一化常数,使得v(x)=1,这就不难求得 √z 所以 v0(5)= 212 ax= 这和我们在§24中得到的结果完全相同。依前所述还可以得到vn(5) n(5)=产(a)"v(5) 2"n! ds 而不难证明它们也和我们在§24中得到的结果完全相同,也就是说, Hermite多项式的下述表达式 d 和§24中给出的定义是完全等价的 阶梯算符方法还可以用在许多其它的方程上。人们还以这种方法为基础发展了所谓的“超对称量子 力学”,成为解决量子力学问题的有力工具。 *3.线性谐振子的相干态 作业:习题9.1;9.2;93
3 记基态 0 的波函数为 ( ) 0 ，那么它必须满足 0 0 1 ˆ ( ) ( ) 0, 2 d a d = + = 这个方程的解是： ( ) , e /2 0 0 2 − = N 其中 N0 是归一化常数，使得 2 0 | ( ) | 1 x dx + − = ，这就不难求得 0 N , = = 所以 2 / 2 0 ( ) . e x x − = = = 这和我们在§2.4 中得到的结果完全相同。依前所述还可以得到 ( ) n ： 2 / 2 0 1 ( ) ( ) ( ) . ˆ ! 2 ! e n n n n d a n n d + − = = − + 而不难证明它们也和我们在§2.4 中得到的结果完全相同，也就是说，Hermite 多项式的下述表达式： 2 2 / 2 / 2 ( ) , e e n n d H d − = − + 和§2.4 中给出的定义是完全等价的。 阶梯算符方法还可以用在许多其它的方程上。人们还以这种方法为基础发展了所谓的“超对称量子 力学”，成为解决量子力学问题的有力工具。 *3．线性谐振子的相干态 作业：习题 9.1; 9.2; 9.3