《粘性流体力学》第六讲 无量纲方程

从动量方程得来的无量纲参数 Pmx+px=mx-+[(x+一) X ox +[(x+)+[(+)

从动量方程得来的无量纲参数 [ ( )] [ ( )] [ ( )] x v y u x y u x u x y v x u x x p f y u v x u u x   +     +   +     +   +     +   = −   +        

在方程(2-6-1)里p,up,xy都是有量纲的参数,比如 [pl=kg/m2 让我们一如以下的无量纲量 p'=p/p u=wuo v=v/v t'=t/t o p=p/p f =f /fyoA' X=X y=y/C 其中pa,u∞2p∞,μaf以及都是参照值,比如可以 取自由流。的值 t0是一个给定的参照时间长, L是参照长度,如对翼型来说就是玄长 ·把上式中的各项用无量纲量代替并除以pwV2/

• 在方程(2-6-1)里,u,p,x,y都是有量纲的参数,比如 []=kg/m2 • 让我们一如以下的无量纲量:  ’ =/ u’ =u/u v’ = v / v t’ = t / t  p’ = p / p  • f x ’ = f x /f x ’ =/ x’ =x/C y’ = y /C • 其中 , u  , p  , , f 以及都是参照值,比如可以 取自由流  的值. • t 0是一个给定的参照时间长, • L是参照长度,如对翼型来说就是玄长. • 把上式中的各项用无量纲量代替并除以v 2 /L 

u(p o 0 oy

           = =   +     +   = −   +   Re 1 1 [ ( )] ( ) 2 2 2 2          u C u M p x v y u C y u x p C p y u v x u u C u

t ou tpv )2+ toyo at )X [A(x,+) ax a 0″0 00∠× ax 子× ax a 式中的特征物理量组成了几个重要的无量纲量 Pn=Re雷诺数( Reynolds number) St 斯特劳哈数( Strouhal number F 弗劳德数( fround number)

• 式中的特征物理量组成了几个重要的无量纲量 • 雷诺数(Reynolds number) • 斯特劳哈数(Strouhal number) • • 弗劳德数(Fround number)         +     +   +     + +   +     +   = −   +   +   ( ) [ ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ' ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 0 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 0 ' ' 0 0 0 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 0 0 2 2 2 2 y v x u x y u x u V L x y v x u V L x x p V P f V f L y u v x u u t u t V L x           St tV L = 0 Fr tV V = 0 0 Re 0 0 0 0 =   V L

M是马赫数定义为 用无量参纲数壁表示的动量方程就可以写成 1 ou St-+ +pv Frf. at ax Mo ax 丌0,uov (x+-) Re ox ox a1 10.0ou + (x+。)+ (x+)}

M0是马赫数,定义为: M 0=V0 / a0 用无量参纲数壁表示的动量方程就可以写成 [ ( )]} { [ ( )] Re 1 [ ( )] Re 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x v y u y x u x u x y v x u x x p M Frf y u v x u u t u St x   +     +   +     +   +     +   = − −   +   +         

考察方程可以得到许多重要知识,如果对 两个不同形状的物体的绕流进行互相比 较 ·一个是比热比,马赫数, 另一个相应参数为雷诺数, ·方程对两种流动都成立.应当无量纲数相 等

• 考察方程可以得到许多重要知识,如果对 两个不同形状的物体的绕流进行互相比 较, • 一个是比热比,马赫数, • 另一个相应参数为雷诺数, • 方程对两种流动都成立.,应当无量纲数相 等

能量方程得来的无量纲参数 Pρ=ρRI于是对于绕实物的流动也好,对绕模型 的流动也好把它们满足的状态方程无量纲化(除 以上面特征量满足的方程)都可以得到 T 对于完全气体热焓h=CpT 我们在改写能量方程式(2-26)时根据传热计算 的经验,采用下式来把温度T无量纲化 T-T=Tbm -TOT' 式中T为参考温度,例如可取为自由流温度, Tbm为壁面特征温度。这样,当两个流动的粘性 系数比值相等时;对于绕实物的流动.方程改写 成

能量方程得来的无量纲参数 • P0 =0RT0, 于是对于绕实物的流动也好,对绕模型 的流动也好,把它们满足的状态方程无量纲化(除 以上面特征量满足的方程)都可以得到: • p’ = ’ T’ • 对于完全气体,热焓h=CpT, • 我们在改写能量方程式(2—26)时.根据传热计算 的经验，采用下式来把温度T无量纲化 • T-T=(Tbm-T0 )T’ • 式中T0为参考温度，例如可取为自由流温度， Tbm为壁面特征温度。这样，当两个流动的粘性 系数比值相等时；对于绕实物的流动．方程改写 成

PoCo (Tm -to)d(,T' 中k(m-了)+

' ( ) ( ) ' ' 0 0 0 0 dt d C T t  Cp Tb m −T p ( ' ) ' ( ) 2 ' ' ' ' 2 0 0 ' ' 0 0   L k T L k T T dt dp t p b m  •  + − = +

上方程两边除以表示能量的量 纲2并乘以t CpO(Tm -o) d(C T) 010(1bm0 Polo dt Pool Cp(Tm-7)称为艾克特数( Eckert v2 number

上方程两边除以表示能量的量 纲V0 2并乘以t0 ' ( ) ( ) ' ' 2 0 0 0 dt d C T V Cp Tbm −T p ' 2 ' ' ' ' 0 2 2 0 0 0 0 0 0 ' ' 2 0 0 0 ( ) ( )      L t k T v L t k T T dt dp v p b m  •  + − = + 2 0 0 0 0 ( ) v Cp Tbm −T 称为艾克特数(Eckert number)

右边第二项的系数 Lok)=( 6m0-1o)CpLo.Ho. K.=Ec. St Re-l.ko L LYoPo HoL k o称为普朗特数Pr( Prandtl| Number) 相似参数的定义有一定的任意性,例如,也 可以把普朗特数和雷诺数相乘来定义一个贝克莱( Peclet)数 e: Pool c

右边第二项的系数 L k Ec St L k L LV t V v T T Cp v L t k Tb m T b m 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 Re ) ( )         =    − = − − − − L k 0 0  称为普朗特数 Pr (Prandtl Number) 相似参数的定义有一定的任意性，例如，也 可以把普朗特数和雷诺数相乘来定义一个贝克莱(Peclet)数 Pe： 0 0 0 0 k  v L Cp