《量子力学》第七章量子力学的矩阵形式和表象变换（7.1）态和力学量的表象和表象变换.doc_大学文库

1 第七章量子力学的矩阵形式和表象变换 §7.1 态和力学量的表象和表象变换 1. 态的表象在量子力学中，描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下，用 (x,t) 描写量子态是坐标表象，用 ( , ) p t 描写量子态是动量表象，它们之间是 Fourier 变换的关系。这两种表象都是连续表象。现在介绍一般的离散表象。取一个力学量 Q ˆ （Hermitian 算符），假设它的本征值集是离散的，记为 { , , } q1 q2  ，本征函数系记为 { ( ), ( ), } u1 x u2 x  。为简单起见，先设所有的本征值都是非简并的。那么这个本征函数系的正交归一性就是 (u x u x m n mn ( ), ( ) , ) =  而它的完备性是（假设它是完备的） ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x      = − 所以，任意一个波函数 (x,t) 都可以对 {u (x)} n 展开，得到 ( , ) ( ) ( ), n n n  = x t a t u x  其中 a t u x x t n n ( ) ( ), ( , ) . =  ( ) 我们称这样做是变换到了 Q ˆ 表象，{ ( ), 1, 2, } n a t n = 也可以称为 Q ˆ 表象中的“波函数”。更方便的记法是把 { ( )} n a t 排成矩阵 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1                  =   a t a t a t t n 它称为 Q ˆ 表象中的态矢量，而 ( ) ( ( ), ( ), , ( ),) 1 2 t a t a t a t n +     = 称为 Hermitian 共轭的态矢量。显然我们有 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , ), ( , ) , n n t t a t x t x t +   = =    这里第一个式子的中运算是矩阵乘法，即行乘以列，最后一个式子表示 ( , ) x t 的内积。在这里， {u (x)} n 又称为 Q ˆ 表象的基矢量或基底，{a (t)} n 又称为态矢量的分量或投影。之所以采用这些术语，在本质上是由于量子态满足叠加原理，所以在数学上它们构成一个线性空间，或者称为矢量空间，这个空间称为给定算符的（或给定系统的）Hilbert 空间。如果算符 Q ˆ 的本征值是连续谱，以上各式就要做相应的改变。设 Q ˆ 的本征值记为 q  − +  ( , ) ，本征函数系记为 { ( )} q u x ，那么它的正交归一性是 (u x u x u x u x dx q q q q q q ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), )     = = −   完备性是 ( ) ( ) ( ). q q u x u x dq x x     = −  任意波函数 (x,t) 对 { ( )} q u x 的展开式是 ( , ) ( , ) ( ) , q  =  x t q t u x dq  其中

2 ( , ) ( ) ( , ) . q q t u x x t dx   =   以坐标表象为例。记算符 x ˆ 的本征值为 0 x  − +  ( , ) 的本征函数是 0 ( ) x u x ，那么我们有本征方程 0 0 0 ˆ ( ) ( ), x x x u x x u x = 它的解显然是 0 0 ( ) ( ), x u x x x = −  函数系 0 0 { ( ) | ( , )} x u x x  − +  的正交归一条件是 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x u x u x dx x x x x dx x x     = − − = −   完备性是 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x u x u x dx x x x x dx x x        = − − = −   所以任意波函数 (x,t) 对 { ( )} q u x 的展开式是 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) . x  =  =  − x t x t u x dx x t x x dx    这样看来，我们也不妨把 ( , ) ( ) x    x t t 称为“矩阵元”，只不过它的矩阵的“指标”是连续变量，但是毕竟这种语言还不如函数的语言更直接，所以此后我们在量子力学的矩阵形式中主要用离散表象。这些方法和概念不难推广到多自由度情形。对于多自由度系统，我们需要取它的完备力学量集的同时本征函数系作为 Hilbert 空间的基底，以构成一个表象。所以，一个“完备力学量集”和一个“表象” 实际上是相同的含义。同时也不难推广到多自由度连续本征值谱的情形。 2. 算符的矩阵表示一个算符表为 ˆ ( , i ) F x − x 是它的坐标表象，这意味着 ˆ ( ) ( , i ) ( ). x   x F x x = −  现在把  ( ) x 和 ( ) x 都变换到 Q ˆ 表象中， ( ) ( ), n n n  x a u x = ( ) ( ), n n n  x b u x = 代入上面的方程得： ˆ ( ) ( ), n n n n n n   b u x a Fu x = 左乘以 u (x) m  并积分， ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) , n m n n m n n n b u x u x dx a u x F u x dx    =   即是 ˆ ( , ) ( )( , ), n m n n m n n n   b u u a t u Fu = 利用 {u (x)} n 的正交归一性得到： ˆ ( , ) . m m n n n b u Fu a =  现在记 ˆ ( , ), F u Fu mn m n = 那么就有 . m mn n n b F a =  它也可以写成矩阵形式

3 1 11 12 1 2 21 22 2 , b F F a b F F a           =                所以，若记 , 21 22 11 12           =      F F F F F 则方程就成为   = F , 其中等式的右方再次理解为矩阵乘法。这告诉我们，在离散表象中，算符用（方）矩阵代表。算符的 Hermitian 性在矩阵形式中的表现是 ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) , F u Fu Fu u u Fu F mn m n n m n m nm   = = = = 即是 , ( ) ( ) . F F F F mn nm + +  = = 矩阵 + F 称为矩阵 F 的 Hermitian 共轭矩阵。不难发现：一个算符在其自身的表象中是对角矩阵，各对角元素就是各本征值。恒等算符（即单位算符） I ˆ 定义为 I ˆ  =,  . 所以它在任何离散表象中的矩阵都是单位矩阵。 3. 表象变换仍以一维情形为例。设我们再取另一个与算符 Q ˆ 函数独立的算符 R ˆ ，求出它的本征值集 { }n r 和本征函数系 { ( )} n v x ，我们就构造了 R ˆ 表象。原来的基底 {u (x)} n 也可以用新的基底 { ( )} n v x 来展开，得到 ( ) ( ) , n m mn m u x v x S = 其中 ( , ). mn m n S v u = 如果一个态  在 Q ˆ 表象中的矩阵元是 { }n a ，在 R ˆ 表象中的矩阵元是 { }n a  ，那么 , , n n mn n m m m n m n m  = = =    a u S a v a v 所以 , m mn n n a S a  = 把 { }n a 和 { }n a  都排成矩阵，就有    = S , 其中 ( ). mn S S = 注意，基底的变换和矩阵元的变换用的是互相转置的矩阵。这些关系就称为（从 Q ˆ 表象到 R ˆ 表象的）表象变换。那么矩阵 ( ) mn S S = 应该满足什么条件？考虑到量子力学里的基本可观察量是态矢量的内积，我们应该要求在表象变换下内积保持不变。设态  和态  在 Q ˆ 表象中的矩阵元分别是 { }n a 和 { }n b ，在 R ˆ 表象中的矩阵元分别是 { }n a  和 { }n b ，那么 , , ( , ) , n n l l lm m ln n n l l m n   b a b a S b S a     = = =      所以

《量子力学》第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换（7.1）态和力学量的表象和表象变换

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