《量子力学》第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换（7.1）态和力学量的表象和表象变换

第七章量子力学的矩阵形式和表象变换 §71态和力学量的表象和表象变换 1.态的表象 在量子力学中,描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前 面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下,用(x,1)描写量子态是坐标表象,用Φ(p,1)描写 量子态是动量表象,它们之间是 Fourier变换的关系。这两种表象都是连续表象 现在介绍一般的离散表象。取一个力学量O( Hermitian算符),假设它的本征值集是离散的,记为 q12q2…},本征函数系记为{(x),u2(x)…}。为简单起见,先设所有的本征值都是非简并的。那么 这个本征函数系的正交归一性就是 (um,(x), u, (x))=8 而它的完备性是(假设它是完备的) ∑un(x)u2( 所以,任意一个波函数H(x,1)都可以对{un(x)}展开,得到 (x,1)=∑an()un(x) 其中 an()=(un(x),平H(x,) 我们称这样做是变换到了Q表象,{an(1),n=1,2,…}也可以称为Q表象中的“波函数”。 更方便的记法是把{an()}排成矩阵 a1(1) (1) an(1) 它称为O表象中的态矢量,而 平(O)=(ai(a(O)…,(.) 称为 Hermitian共轭的态矢量。显然我们有 H(HO)=∑|a()2=((x.),(x) 这里第一个式子的中运算是矩阵乘法,即行乘以列,最后一个式子表示(x,D)的内积 在这里,{un(x)}又称为Q表象的基矢量或基底,{an(1)}又称为态矢量的分量或投影。之所以采 这些术语,在本质上是由于量子态满足叠加原理,所以在数学上它们构成一个线性空间,或者称为矢 空间,这个空间称为给定算符的(或给定系统的)Hbet空间 如果算符Q的本征值是连续谱,以上各式就要做相应的改变。设Q的本征值记为q∈(-∞,+∞) 本征函数系记为{4(x)},那么它的正交归一性是 (4(x),n(x)=∫n(x)n(x)x=6q-9 完备性是 ∫n(x)c(x)d=b(x-x) 任意波函数H(x,D1)对{(x)的展开式是 H(x,D)=「=q)x1(xd 其中

1 第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换 §7.1 态和力学量的表象和表象变换 1. 态的表象 在量子力学中，描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前 面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下，用 (x,t) 描写量子态是坐标表象，用 ( , ) p t 描写 量子态是动量表象，它们之间是 Fourier 变换的关系。这两种表象都是连续表象。 现在介绍一般的离散表象。取一个力学量 Q ˆ （Hermitian 算符），假设它的本征值集是离散的，记为 { , , } q1 q2  ，本征函数系记为 { ( ), ( ), } u1 x u2 x  。为简单起见，先设所有的本征值都是非简并的。那么 这个本征函数系的正交归一性就是 (u x u x m n mn ( ), ( ) , ) =  而它的完备性是（假设它是完备的） ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x      = − 所以，任意一个波函数 (x,t) 都可以对 {u (x)} n 展开，得到 ( , ) ( ) ( ), n n n  = x t a t u x  其中 a t u x x t n n ( ) ( ), ( , ) . =  ( ) 我们称这样做是变换到了 Q ˆ 表象，{ ( ), 1, 2, } n a t n = 也可以称为 Q ˆ 表象中的“波函数”。 更方便的记法是把 { ( )} n a t 排成矩阵 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1                  =   a t a t a t t n 它称为 Q ˆ 表象中的态矢量，而 ( ) ( ( ), ( ), , ( ),) 1 2 t a t a t a t n +     = 称为 Hermitian 共轭的态矢量。显然我们有 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , ), ( , ) , n n t t a t x t x t +   = =    这里第一个式子的中运算是矩阵乘法，即行乘以列，最后一个式子表示 ( , ) x t 的内积。 在这里， {u (x)} n 又称为 Q ˆ 表象的基矢量或基底，{a (t)} n 又称为态矢量的分量或投影。之所以采 用这些术语，在本质上是由于量子态满足叠加原理，所以在数学上它们构成一个线性空间，或者称为矢 量空间，这个空间称为给定算符的（或给定系统的）Hilbert 空间。 如果算符 Q ˆ 的本征值是连续谱，以上各式就要做相应的改变。设 Q ˆ 的本征值记为 q  − +  ( , ) ， 本征函数系记为 { ( )} q u x ，那么它的正交归一性是 (u x u x u x u x dx q q q q q q ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), )     = = −   完备性是 ( ) ( ) ( ). q q u x u x dq x x     = −  任意波函数 (x,t) 对 { ( )} q u x 的展开式是 ( , ) ( , ) ( ) , q  =  x t q t u x dq  其中

(q,1)=(x)(x)dx 以坐标表象为例。记算符的本征值为x∈(-,+∞)的本征函数是u2(x),那么我们有本征方程 xu,(x)=xu,(x) 它的解显然是 (x)=6(x-x0) 函数系{1(x)|x∈(-∞,+∞)的正交归一条件是 「(x)u2(xlx=∫o(x-x)(x-x)=6(x-x 备性是 (x)u(x')dx= 8(x-x)6(x-xo)dx=8(x-x), 所以任意波函数(x,1)对{un(x)}的展开式是 平(x0)=平(x1)n2(x)b=J(x1) 这样看来,我们也不妨把屮(x,D)≡1(1)称为“矩阵元”,只不过它的矩阵的“指标”是连续变量,但 是毕竟这种语言还不如函数的语言更直接,所以此后我们在量子力学的矩阵形式中主要用离散表象 这些方法和概念不难推广到多自由度情形。对于多自由度系统,我们需要取它的完备力学量集的同 时本征函数系作为 Hilbert空间的基底,以构成一个表象。所以,一个“完备力学量集”和一个“表象” 实际上是相同的含义。同时也不难推广到多自由度连续本征值谱的情形。 2.算符的矩阵表示 个算符表为F(x,-ih)是它的坐标表象,这意味着 P(x)=F(x, -iha y(x) 现在把v(x)和d(x)都变换到Q表象中 d(x)=∑b,(x) 代入上面的方程得 ∑bnln(x)=∑ a fu(x) 左乘以um(x)并积分, ∑b∫nx)n(x)ax=∑a(x)Fu1(x), 即是 ∑bn(unm,un)=∑an()(um,FLn) 利用{un(x)}的正交归一性得到 现在记 Fu 那么就有 bn=∑ 它也可以写成矩阵形式

2 ( , ) ( ) ( , ) . q q t u x x t dx   =   以坐标表象为例。记算符 x ˆ 的本征值为 0 x  − +  ( , ) 的本征函数是 0 ( ) x u x ，那么我们有本征方程 0 0 0 ˆ ( ) ( ), x x x u x x u x = 它的解显然是 0 0 ( ) ( ), x u x x x = −  函数系 0 0 { ( ) | ( , )} x u x x  − +  的正交归一条件是 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x u x u x dx x x x x dx x x     = − − = −   完备性是 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x u x u x dx x x x x dx x x        = − − = −   所以任意波函数 (x,t) 对 { ( )} q u x 的展开式是 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) . x  =  =  − x t x t u x dx x t x x dx    这样看来，我们也不妨把 ( , ) ( ) x    x t t 称为“矩阵元”，只不过它的矩阵的“指标”是连续变量，但 是毕竟这种语言还不如函数的语言更直接，所以此后我们在量子力学的矩阵形式中主要用离散表象。 这些方法和概念不难推广到多自由度情形。对于多自由度系统，我们需要取它的完备力学量集的同 时本征函数系作为 Hilbert 空间的基底，以构成一个表象。所以，一个“完备力学量集”和一个“表象” 实际上是相同的含义。同时也不难推广到多自由度连续本征值谱的情形。 2. 算符的矩阵表示 一个算符表为 ˆ ( , i ) F x − x 是它的坐标表象，这意味着 ˆ ( ) ( , i ) ( ). x   x F x x = −  现在把  ( ) x 和 ( ) x 都变换到 Q ˆ 表象中， ( ) ( ), n n n  x a u x = ( ) ( ), n n n  x b u x = 代入上面的方程得： ˆ ( ) ( ), n n n n n n   b u x a Fu x = 左乘以 u (x) m  并积分， ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) , n m n n m n n n b u x u x dx a u x F u x dx    =   即是 ˆ ( , ) ( )( , ), n m n n m n n n   b u u a t u Fu = 利用 {u (x)} n 的正交归一性得到： ˆ ( , ) . m m n n n b u Fu a =  现在记 ˆ ( , ), F u Fu mn m n = 那么就有 . m mn n n b F a =  它也可以写成矩阵形式

F b=F2 F a2 所以,若记 F1F12 F=FF 则方程就成为 P= Fy 其中等式的右方再次理解为矩阵乘法。这告诉我们,在离散表象中,算符用(方)矩阵代表。 算符的 Hermitian性在矩阵形式中的表现是 u l 即是 F,(Fmm=(Fm) 矩阵F+称为矩阵F的 Hermitian共轭矩阵 不难发现:一个算符在其自身的表象中是对角矩阵,各对角元素就是各本征值。 恒等算符(即单位算符)Ⅰ定义为 ly=y, y 所以它在任何离散表象中的矩阵都是单位矩阵 3.表象变换 仍以一维情形为例。设我们再取另一个与算符Q函数独立的算符R,求出它的本征值集{rn}和本征 函数系{v(x)},我们就构造了R表象。原来的基底{un(x)}也可以用新的基底{vn(x)}来展开,得到 41(x)=∑vn(x) 其中 Sm=(vm,u,) 如果一个态v在Q表象中的矩阵元是{an},在R表象中的矩阵元是{an},那么 所以 an=∑Smn 把{an}和{an}都排成矩阵,就有 其中 S=(Smm) 注意,基底的变换和矩阵元的变换用的是互相转置的矩阵。这些关系就称为(从Q表象到R表象的)表 象变换。那么矩阵S=(Sm)应该满足什么条件?考虑到量子力学里的基本可观察量是态矢量的内积, 我们应该要求在表象变换下内积保持不变。设态v和态φ在Q表象中的矩阵元分别是{an}和{bn},在R 表象中的矩阵元分别是{an}和{bn},那 (v)=∑ban=∑ba=∑ Simbmsima 所以

3 1 11 12 1 2 21 22 2 , b F F a b F F a           =                所以，若记 , 21 22 11 12           =      F F F F F 则方程就成为   = F , 其中等式的右方再次理解为矩阵乘法。这告诉我们，在离散表象中，算符用（方）矩阵代表。 算符的 Hermitian 性在矩阵形式中的表现是 ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) , F u Fu Fu u u Fu F mn m n n m n m nm   = = = = 即是 , ( ) ( ) . F F F F mn nm + +  = = 矩阵 + F 称为矩阵 F 的 Hermitian 共轭矩阵。 不难发现：一个算符在其自身的表象中是对角矩阵，各对角元素就是各本征值。 恒等算符（即单位算符） I ˆ 定义为 I ˆ  =,  . 所以它在任何离散表象中的矩阵都是单位矩阵。 3. 表象变换 仍以一维情形为例。设我们再取另一个与算符 Q ˆ 函数独立的算符 R ˆ ，求出它的本征值集 { }n r 和本征 函数系 { ( )} n v x ，我们就构造了 R ˆ 表象。原来的基底 {u (x)} n 也可以用新的基底 { ( )} n v x 来展开，得到 ( ) ( ) , n m mn m u x v x S = 其中 ( , ). mn m n S v u = 如果一个态  在 Q ˆ 表象中的矩阵元是 { }n a ，在 R ˆ 表象中的矩阵元是 { }n a  ，那么 , , n n mn n m m m n m n m  = = =    a u S a v a v 所以 , m mn n n a S a  = 把 { }n a 和 { }n a  都排成矩阵，就有    = S , 其中 ( ). mn S S = 注意，基底的变换和矩阵元的变换用的是互相转置的矩阵。这些关系就称为（从 Q ˆ 表象到 R ˆ 表象的）表 象变换。那么矩阵 ( ) mn S S = 应该满足什么条件？考虑到量子力学里的基本可观察量是态矢量的内积， 我们应该要求在表象变换下内积保持不变。设态  和态  在 Q ˆ 表象中的矩阵元分别是 { }n a 和 { }n b ，在 R ˆ 表象中的矩阵元分别是 { }n a  和 { }n b ，那么 , , ( , ) , n n l l lm m ln n n l l m n   b a b a S b S a     = = =      所以

记得矩阵S的 Hermitian共轭矩阵S+是 所以上式就是 SS=SS=/ 或者说 满足这个条件的矩阵称为幺正矩阵。所以表象变换是幺正变换。我们还不难发现:在表象变换下,一个 算符所对应的矩阵的变换是 F′=SFSt=SFS 事实上我们在前面已经谈到过:坐标表象和动量表象(这是两个连续表象)之间的变换,以及系统的对 称性变换,也都是幺正变换 现在我们总结一下表象变换即幺正变换的特点。幺正变换不改变任何量子力学方程,即,如果 O= Fy 那么也有 B=So= SFy= SFS" Sy= F'y' 幺正变换不改变态矢量的内积,因而算符的本征值、力学量的几率分布和平均值等等都保持不变。总而 言之一句话,幺正变换完全不改变量子力学理论的结构和理论对实验观察的预言。这称为量子力学理论 的幺正不变性,也就是量子力学理论的表象无关性。事实上我们应该说,幺正不变性(有时候也简称为 幺正性)是量子力学的最根本的不变性 作业:习题71;7.2

4 . lm ln mn l S S    = 记得矩阵 S 的 Hermitian 共轭矩阵 S + 是 ( ) , ml lm S S +  = 所以上式就是 S S S S I, + + = = 或者说 1 S S . + − = 满足这个条件的矩阵称为幺正矩阵。所以表象变换是幺正变换。我们还不难发现：在表象变换下，一个 算符所对应的矩阵的变换是 1 F S FS S FS . + −  = = 事实上我们在前面已经谈到过：坐标表象和动量表象（这是两个连续表象）之间的变换，以及系统的对 称性变换，也都是幺正变换。 现在我们总结一下表象变换即幺正变换的特点。幺正变换不改变任何量子力学方程，即，如果   = F , 那么也有 1      S SF SFS S F . −    = = = = 幺正变换不改变态矢量的内积，因而算符的本征值、力学量的几率分布和平均值等等都保持不变。总而 言之一句话，幺正变换完全不改变量子力学理论的结构和理论对实验观察的预言。这称为量子力学理论 的幺正不变性，也就是量子力学理论的表象无关性。事实上我们应该说，幺正不变性（有时候也简称为 幺正性）是量子力学的最根本的不变性。 作业：习题 7.1; 7.2