S72量子力学的矩阵形式 1.离散表象中的量子力学诸方程 坐标表象与离散表象的关系和对比如下表 坐标表象 离散表象 波函数(x,t) 列矢量屮(t 复共轭波函数Y”(x,D) 行矢量里(t) 算符 F(x,-i0,) 矩阵F=(Fm) 算符作用于态Φ(x,) d()=FH(1) FO (x, -inha )p(x, t) (矩阵乘法) 态的内积j@:(x)(x)d (矩阵乘法) 因此,在离散表象中量子力学的诸方程的形式如下 (1)态的归一:平平=1,两态正交:ΦV=0, (2)力学量的平均值(若已归一):F=FP, (3)本征方程 Fy=ny (4)含时间的 Schrodinger方程 d dHY(O), 以上各式中的乘法均理解为矩阵(包括列、行矢量)乘法 2.离散表象中本征方程的解法 设 1 F1F12 那么本征方程就是 F1F12 a F21F2 F F 简写为 )vy=0 Ⅰ代表单位矩阵。这是一个齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是 F1-F12 F21F2- 或简记为 F-A|=0 这个方程称为长期(久期)方程。如果F是n×n矩阵,则它是关于的n次代数方程。根据“代数基
1 §7.2 量子力学的矩阵形式 1. 离散表象中的量子力学诸方程 坐标表象与离散表象的关系和对比如下表。 坐标表象 离散表象 态 波函数 (x,t) 复共轭波函数 (x,t) 列矢量 (t) 行矢量 (t) + 算符 ˆ ( , i ) F x − x 矩阵 ( ) F = Fmn 算符作用于态 (x,t) = ˆ ( , i ) ( , ) F x x t − x = ( ) ( ) t F t (矩阵乘法) 态的内积 ( ) ( ) x x dx + (矩阵乘法) 因此,在离散表象中量子力学的诸方程的形式如下: (1) 态的归一: = 1 + ,两态正交: = 0 + , (2) 力学量的平均值(若 已归一): F F+ = , (3) 本征方程: F = , (4) 含时间的 Schrödinger 方程: i ( ), d H t dt = 以上各式中的乘法均理解为矩阵(包括列、行矢量)乘法。 2. 离散表象中本征方程的解法 设 1 11 12 2 21 22 , , a F F a F F F = = 那么本征方程就是 11 12 1 1 21 22 2 2 , F F a a F F a a = 或 11 12 1 21 22 2 0, F F a F F a − − = 简写为 ( ) 0, F I − = I 代表单位矩阵。这是一个齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是: 11 12 21 22 0, F F F F − − = 或简记为 | | 0. F I − = 这个方程称为长期(久期)方程。如果 F ˆ 是 n n 矩阵,则它是关于 的 n 次代数方程。根据“代数基
本定理”,在复数域内,n次代数方程一定有n个根(k重根算k个根),这些根就是本征值。矩阵F的 Hermitian性保证了长期方程的根都是实数。把这些本征值记为{41,2…,n}(假设没有重根),再代 回方程 F1-1F12 a1 F21F2-41 a2|=0.,(=1,2,…n)(i=12,…,n) 就可以对各个本征值求出{a1,a2,…,an},但有一个整体的常数因子未定,再利用归一化条件把它定出 就完全得到了归一化的本征矢量。有重根出现的情况稍微复杂一些,因为这时{a12a2,…,an}当中可以 自由选择的分量数目更多一些,我们不再细说 例子:完成矩阵 0 的“对角化” 首先不难验证这个F是 Hermitian矩阵 0-i)(0 F 为了求本征值,可以直接写下它的长期方程: 22-1=0 所以本征值是: A=1,A2=-1 对于A1=1,本征方程成为 1八(a2 所以 就是说,它的本征矢量是 归一化条件是 v1=a1P+a1F=2|a1F=1, 所以 la,i 可以取 所以归一化的本征矢量是 yI 类似地,对于A2=-1,归一化的本征矢量是
2 本定理”,在复数域内, n 次代数方程一定有 n 个根( k 重根算 k 个根),这些根就是本征值。矩阵 F ˆ 的 Hermitian 性保证了长期方程的根都是实数。把这些本征值记为 { , , , } 1 2 n (假设没有重根),再代 回方程 11 12 1 21 22 2 0, ( 1, 2, , ) i i F F a F F a i n − − = = (i = 1,2, , n) 就可以对各个本征值求出 { , , , } a1 a2 an ,但有一个整体的常数因子未定,再利用归一化条件把它定出, 就完全得到了归一化的本征矢量。有重根出现的情况稍微复杂一些,因为这时 { , , , } a1 a2 an 当中可以 自由选择的分量数目更多一些,我们不再细说。 例子:完成矩阵 − = i 0 0 i F 的“对角化”。 首先不难验证这个 F 是 Hermitian 矩阵: . i 0 0 i i 0 0 i F = F − = − = + + 为了求本征值,可以直接写下它的长期方程: 1 0, i i 2 = − = − − − 所以本征值是: 1, 1. 1 = 2 = − 对于 1 =1 ,本征方程成为 1 2 1 i 0, i 1 a a − − = − 所以 i , a2 = a1 就是说,它的本征矢量是 , i 1 1 1 = a 归一化条件是: | | | | 2 | | 1, 2 1 2 1 2 1 1 = 1 + = = + a ia a 所以 , 2 1 | | 2 a1 = 可以取 , 2 1 a1 = 所以归一化的本征矢量是: . i 1 2 1 1 = 类似地,对于 2 = −1 ,归一化的本征矢量是: . i 1 2 1 2 − =
现在我们把v1和v,排成一个方矩阵,记为S: i/2-i/2丿 那么它的 Hermitian共轭 l/√2i/√2 我们发现 S l/2-i/21/21/2 1/i/2人i/2-/2 1, 事实上这就是v1和v2的正交归一性。所以S是幺正矩阵。进一步我们发现 STES= √2i/ 1/2-i/21/2-1/2 所以这个幺正变换恰好把矩阵F对角化了,对角元素正是它的本征值。这给了我们关于算符(矩阵)的 本征函数的意义更多理解。所以,求解本征方程的问题又被称为算符(矩阵)的对角化问题,换句话说, 这个步骤使我们找到了从某个矩阵的一般表象(在这个表象中矩阵不是对角的)变到它自身表象的那个 幺正变换。 作业:补充题:求矩阵 A -0.1 的本征值,归一化本征矢量和把它对角化的幺正变换
3 现在我们把 1 和 2 排成一个方矩阵,记为 S : 1/ 2 1/ 2 , i / 2 i / 2 S = − 那么它的 Hermitian 共轭是: 1/ 2 i / 2 , 1/ 2 i / 2 S + − = 我们发现: 1/ 2 i / 2 1/ 2 1/ 2 1 0 , 1/ 2 i / 2 i / 2 i / 2 0 1 S S I + − = = = − 事实上这就是 1 和 2 的正交归一性。所以 S 是幺正矩阵。进一步我们发现, 1/ 2 i / 2 0 i 1/ 2 1/ 2 1/ 2 i / 2 i / 2 i / 2 i 0 S FS + − − = − − − = i / 2 i / 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 i / 2 1/ 2 i / 2 1 0 . 0 1 = − 所以这个幺正变换恰好把矩阵 F 对角化了,对角元素正是它的本征值。这给了我们关于算符(矩阵)的 本征函数的意义更多理解。所以,求解本征方程的问题又被称为算符(矩阵)的对角化问题,换句话说, 这个步骤使我们找到了从某个矩阵的一般表象(在这个表象中矩阵不是对角的)变到它自身表象的那个 幺正变换。 作业:补充题:求矩阵 0 i 0 i 0 i 0 i 0 A − = − 的本征值,归一化本征矢量和把它对角化的幺正变换