第二节透镜的傅立叶变换性质和成像性质 在夫琅合费衍射中,透镜的作用是将衍射光 聚,在透镜的后焦面上观察夫琅和费衍射图样。 天夫琅和费衍射 津与傅立叶变换 透镜Lens 大”的对应关系说 Gratin 学 明:透镜可以 光栅 精 Image 实现傅立叶变 像 学换。 院 焦平面 衍射级 Focal plane 透镜还具有 Diffraction 天津大学作 成像的性质 level 24
1 第二节 透镜的傅立叶变换性质和成像性质 在夫琅合费衍射中，透镜的作用是将衍射光会 聚，在透镜的后焦面上观察夫琅和费衍射图样。 夫琅和费衍射 与傅立叶变换 的对应关系说 明：透镜可以 实现傅立叶变 换。 透镜还具有 成像的性质 Lens Focal plane Diffraction level Grating Image
过 1.透镜的透射函数 (The lens's function of transmission) 设:E1(x,y)是入射光波 E2(x,y)是透射光波。 E2(r,y) W 天津大学精仪学院 E(, y (r, y)=e,(, explo (x, y)l E1(x,y) 2(x,y 在透镜的入射与出射面上,光波的 复振幅可以分别写为 天害大学顺华 E(x,y)=A(x, y)expli(p, (x, y)] E,(x,y)=A,(x, y)expliop2 (,y) 24
2 1. 透镜的透射函数 (The lens's function of transmission) ( , ) ( , ) exp[ ( , )] ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) 1 2 t x y E x y x y E x y E x y t x y L t L L = = 设： ( , ) ~ 1 E x y ( , ) ~ 2 E x y 是入射光波 是透射光波。 ( , ) ( , ) exp[ ( , )] ~ ( , ) ( , ) exp[ ( , )] ~ 2 2 2 1 1 1 E x y A x y i x y E x y A x y i x y = = 复振幅可以分别写为 在透镜的入射与出射面上，光波的 z D1 D2 d0 E ( x, y ) ~ 1 E ( x, y ) ~ 2
透镜的透射函数(x,y) E,(x, y) E,(x,y) x,y X,) exp/i(2(x,y)-p(x,y)/ A(x, y) 透镜对光波的位相变化是 卯1(x,y)=2(x,y)-1(x,y) 天津大学精仪学院 假定透镜是薄透镜(冬怒略复振幅影响) 2丌 d 卯1(x,y)==4+42 +nd(x, y E,(xy) E2(x,y) 2丌 /4+42+n(do-41-42力 2兀ndo 2丌 (n-1)(4+42) 速大学顺作 可以略去」 24
3 透镜的透射函数 n d ( n )( ) [ n( d )] ( x, y ) [ n d( x, y )] ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) exp[i( ( x, y ) ( x, y ))] A ( x, y ) A ( x, y ) t ( x, y ) L 0 1 2 1 2 0 1 2 L 1 2 L 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 D D D D D D D D = − − + = + + − − = + + = − = − 假定透镜是薄透镜（忽略复振幅影响） 透镜对光波的位相变化是 z D1 D2 d0 ( , ) ~ E1 x y ( , ) ~ E2 x y d(x,y) 可以略去 ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) 1 2 E x y E x y t x y L =
过 透镜的透射函数a1(xy)=-2(n-1)(A1+A2 由图中可以得出 △1=R1-VR2-(x2+y2) R2-VR2-(x2+y2) 2 将√展开△1=-2R1 x+y 2R 天津大学精仪学院 2丌 代入得:1(x,y) )x2+y2) 2R?12R2 (x,y) C2 R CI 天害大学顺华 24
4 代入得： （ 〕 将 展开 由图中可以得出 2 2 1 2 L 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ) 2 1 2 1 ( 1)( 2 ( , ) 2 , 2 ( ), ( ) x y R R x y n R x y R x y R R x y R R x y = − − − + + D = − + D = D = − − + D = − − − + (x,y) (x,y) －R2 R 1 1 D 2 D C1 ( ) 2 2 2 1 R − x + y C2 ( 1)( ) 2 ( , ) L = − n − D1 + D2 x y 透镜的透射函数
过 P(x,y) (n-1)( ) x-+ y RR 薄透镜的焦距计算公式为、2011 r R2 因而:q1(x,y)= 2πx2+y k x ty 天津大学精仪学院 入2f 2f 透镜的透射系数: E(,y[<x+p2 E2(x,y) 2 或写为E2(x,y)=t1(x,y)E1(x,y)=E1(x,y)exp[-i 天害大学顺华 24
5 透镜的透射函数 ' 2 2 ' 2 2 L 1 2 2 2 2 ( , ) ) 1 1 ( 1)( 1 f x y k f x y x y R R n f + = − + = − = − − 因而： 薄透镜的焦距计算公式为 ] 2 ( , ) exp[ ~ ( , ) ~ ( , ) t ( , ) ~ ] 2 exp[ ( , ) ~ ( , ) ~ t ( , ) ' 2 2 2 L 1 1 ' 2 2 1 2 L f x y E x y x y E x y E x y ik f x y ik E x y E x y x y + − + = = − 或写为 ＝ ＝ 透镜的透射系数： （ 2 2 〕 1 2 L ) 1 1 ( , ) ( 1)( x y R R x y = − n − − +
过 2、透镜的傅立叶变换性质 (The lens' s fourier transform quality) 1)当衍射屏紧靠透镜时 E(XY!e(xl yi E(x E(u,y) 天津大学精仪学院 Light beam LI E(x,y1)=t1(x12y1)E(x,y1) 天害大学顺华 expl-ik E(x1,y1)(1) 2f 24
6 2、透镜的傅立叶变换性质 （The lens's Fourier transform quality） 1）当衍射屏紧靠透镜时 f F ( , ) E x 1 y 1 ( , ) ( , ) E u v E x y L 1 Light beam ( ) ] ( , ) (1) 2 exp[ ( , ) , ( , ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ' E x y f x y ik E x y t x y E x y L + = − = ( ) ' E x1，y1
过 透镜的傅立叶变换性质 E(x,y)是E(x,y1)的菲涅耳衍射 E(x)、c"g i ∫∫E(x,y)exp{,【(x-x)+(y-y1)2]}dxd inf 天津大学精仪学院 津将E(x,y)=-认x+E(x,y)(1)代入得 E(x,y)=c∫E(x,y)exp- f 2 f exp{~[(x-x1)+(y DI)dx, dy 天害大学顺华 24
7 透镜的傅立叶变换性质 将 代入得: E(x, y)是 ( , ) 1 1 ' E x y 的菲涅耳衍射 1 1 2 1 2 1 1 1 ' [( ) ( ) ]} 2 ( , ) ( , )exp{ x x y y d x d y f ik E x y i f e E x y ikf = − + − − ] ( , ) (1) 2 ( , ) exp[ 1 1 2 1 2 1 1 1 ' E x y f x y E x y ik + = − 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 [( ) ( ) ]} 2 exp{ 2 ( , ) ( , )exp x x y y d x d y f ik f x y E x y ik i f e E x y ikf − + − + = − −
过 透镜的傅立叶变换性质 化简得: iklf e E(,y) ∫E(x,y)xp(x+m)d 天津大学精仪学院 设 nf E(u,v)=CE(x, y,)exp[-12 T(ux, + vy )],. e·e 天害大学顺华 {(x,y)(2) inf 8 24
8 化简得： ( , ) ( , )exp[ ( )] 1 1 1 1 1 1 ] 2 [ 2 2 xx yy d x d y f ik E x y i f e E x y f x y i k f = − + − + + ( ) ( ) ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , )exp[ 2 ( )] 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 E x y i f e e E x y i u x vy d x d y i f e e E u v ikf i f u v ikf i f u v = − + = + − + f y v f x u 设 = , = 透镜的傅立叶变换性质
透镜的傅立叶变换性质 E(u, v)=CSE(x, y) 天 津结论: 学 精 上式表明除一个位相因子外,透镜后焦面上 仪的复振幅分布是衍射屏平面复振幅分布的傅立 学叶变换。空间频率取值与后焦面的坐标关系为 院 Z- 天津大学作 24
9 结论： 上式表明除一个位相因子外，透镜后焦面上 的复振幅分布是衍射屏平面复振幅分布的傅立 叶变换。空间频率取值与后焦面的坐标关系为： ( , ) ( , ) 1 1 E u v = C E x y f y v f x u = , = 透镜的傅立叶变换性质
透镜的傅立叶变换性质 2)当衍射屏置于透镜前一定距离时 E(x2,y2)E(x1,y1) E(x, y) E(u,) Light 天津大学精仪学院 beam F LI 从P到L1是菲涅尔衍射,所以有: ikd E(x1yn)=,j∫E(x22xp(,[(x1-x2)2+(n-y2)2]ah2y2(3 天津大学作 10 24
10 2）当衍射屏置于透镜前一定距离时 从P到L1是菲涅尔衍射，所以有： f F ( , ) E x 1 y 1 ( , ) ( , ) E u v E x y L 1 Light beam d0 ( , ) E x 2 y 2 P [( ) ( ) ]} ( 3 ) 2 ( , ) ( , ) exp{ 2 2 2 1 2 2 1 2 0 2 2 0 1 1 0 x x y y dx dy d i k E x y i d e E x y ikd = − + − − 透镜的傅立叶变换性质
