第四节光波的叠加 (Superposition of waves) 一、波的叠加原理 1、波的叠加现象 天津大学精仪学院 2、波的叠加原理: 几个波在相遇点产生的合振动是各个在 该点产生振动的矢量和。(p201) E(p)=E1(p)+E2(p) 天津大学制作一 24
第四节 光波的叠加 (Superposition of waves) 2、波的叠加原理： 几个波在相遇点产生的合振动是各个在 该点产生振动的矢量和。（p201) E( ) E ( ) E ( ) 1 2 p p p = + 1、波的叠加现象 一、波的叠加原理
3、注意几个概念: 叠加结果为光波振的矢量和,而不是光 强的和 光波传播的独立性:两个光波相遇后又分 天津大学精仪学院 开,每个光波仍然保持原有的特性(频率 波长、振动方向、传播方向等)。 叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解, 式(10-20)。一个实际的光场是许多个简 皆波叠加的结果。 天津大学作 24
3、注意几个概念： 叠加结果为光波振幅 的矢量和，而不是光 强 的和。 光波传播的独立性：两个光波相遇后又分 开，每个光波仍然保持原有的特性（频率、 波长、振动方向、传播方向等）。 叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解， 式（10－20）。一个实际的光场是许多个简 谐波叠加的结果
两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加 (一)三角函数的叠加 Era, cos(kr-at) E2=a2C0s(k2-0) 天津大学精仪学院 令:k=α1,kz2=α2 E=E1+E2=a1cos(1-0)+a2cos(o2-01) 得到的合振动:E=Acos(-0) 式中:A2-a2+a2+2a1a2c0s(ax1-ax2) a, sin a+a sin o tga 天津大学作 a, cos a t a, cos a, 24
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加 （一）三角函数的叠加 cos( ) cos( ) E a k r t E a k r t − − 2 2 2 1 1 1 ＝ ＝ E E E a cos( t) a cos( t) k r k r 1 2 1 1 − 2 2 − 1 1 2 2 ＝ ＋ ＝ ＋ 令： ＝ ， ＝ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 cos cos sin sin cos( ) cos( ) a a a a t g A a a a a E A t + + = + + − − 式中： ＝ 得到的合振动： ＝ S1 S2
(二)复函数的叠加 Ea, expli(a, -oot)l E2=a2expl(2-01) E=EtE=a, expli(a, -)Ha2 expli(a,-ot) 天津大学精仪学院 得到的合振动:E=Aexp[(a-o)=Ae(=m) 式中:A2=a2+a2+2a4a2cos(a1-a2) a sin a,+a sin a tga a cos a t a2 cos a2 天津大学作 24
（二）复函数的叠加 exp[ ( )] exp[ ( )] E a i t E a i t − − 2 2 2 1 1 1 ＝ ＝ E E E a exp[i( −t)] a exp[i( −t)] ＝ 1＋ 2 ＝ 1 1 ＋ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) cos cos sin sin 2 cos( ) exp[ ( )] a a a a t g A a a a a E A i t Aei t + + = + + − − = − 式中： ＝ 得到的合振动： ＝
(三)对叠加结果的分析:(主要对象为合成的光强) =A=a2+a2+2a1a2c0s(x1-a2) 合成光强的大小取决于位相差δ δ 2 2兀 天 2丌 6=a1-a H(1-n2) △ 津 大 学 光程差:△=1(1-1);分析叠加结的重要物理量 精 仪 学 当6=2md时,△=m时,有cosa1-a2)=1|=1x=(+a) 院当(2m+1)x,A=(m+1x,有cs(x-a2)=-11=1m=a-a2) 天害大学(m=0,±1,±2, 24
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强） cos( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 I＝A＝a + a + 2a a − 1 2 ＝ － 合成光强的大小取决于位相差 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 ) ) cos 1 2 1 (2 1) ( 2 cos 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 （ ， ， ， 当 ＝ ， ＝ ，有 ＝ 当 ＝ 时， 时，有 ＝ ； = + + − = − = − = − = = + m m m I I a a m m I I a a MIN MAX 1 2 1 2 2 n r r ( ) ＝ － = − = 2 光程差：＝n(r1 −r2 )；分析叠加结果的重要物理量
说明 =42=a12+a2+2aa2coS 2丌 =a+a2+2a1a2C0s=△ 天津大学精仪学院 1、因为δ=f(0),光强是位置的函数; 2、只要光源的初位相不变就会在光波叠加区域里 形成强弱稳定的光强分布一一干涉现象。 3、相干光波和相干光源 天津大学作 24
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 cos 2 2 cos I A a a a a I a a a a + + = + + ＝ ＝ 说明 1、因为 = f P( ) ，光强是位置的函数； 2、只要光源的初位相不变就会在光波叠加区域里 形成强弱稳定的光强分布－－干涉现象。 3、相干光波和相干光源
驻波( Standing Wave) 在波的传播路径上,对于介质不同点有不同振幅 两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色光波的叠加将形成驻波。垂直入射的光波和 它的反射光波之间将形成驻波。 天 津 大 E=EtE=acos(kz+ot)tacos(kz-ot+8) 学 精 式中:δ是反射时的位相差 仪 学 院叠加结果:E=E+E2=2ac0s(kz+)co(ot 天害大学频作 24
三、驻波(Standing Wave) 在波的传播路径上，对于介质不同点有不同振幅 两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色光波的叠加将形成驻波。垂直入射的光波和 它的反射光波之间将形成驻波。 式中： 是反射时的位相差 ＝ ＋ ＝ ＋ E E E acos(k z +t) acos(k z −t + ) 1 2 cos( )cos( ) 2 2 2 1 2 叠加结果：E＝E＋E ＝ a k z＋ t－
δ A-2a cos(kzt D262 腹的位置:k=+x=mnA=2a 天津大学精仪学院 节的位置:kz+=(m-)xA=O 2 入射波 2 2 反射波 天津大学作 24
cos( ) 2 2 A＝ a k z＋ ) 0 2 1 ( 2 2 2 + = = + = = k z m A k z m A a 波节的位置： － 波腹的位置： 入射波 反射波
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加 Er-a, cos(kr -at), Ev=a2 coS(kn2 -at) E=XoE +yoE,=Xoa, cos(a1-at)tyoa2 coS(a2-at 合振动的大小和方向 随时间变化,合振动 天津大学精仪学院 矢量末端运动轨迹方 程为: E EE cos(a,-a)=sin(a,-a,) aa 2aa 1g2=m2a2 cos S 6=a2-1 天津大学作 24
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加 cos( ) cos( ) 1 1 2 2 E a k r t E a k r t x ＝ − ， y ＝ − E x y x cos( ) y cos( ) ＝ 0 0 0 1 1 0 2 2 E E a t a t x y ＋ ＝ − − ＋ 合振动的大小和方向 随时间变化，合振动 矢量末端运动轨迹方 程为： cos( ) sin ( ) 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 + − 2 − = − a E a E a E a Ex y x y 2 2 1 2 2 1 1 2 cos 2 2 = − − = a a a a t g 2a 1 2a 2 Ey Ex
右旋光与左旋光 Ey顺时针:右旋 右旋光:迎着光的传 播方向观察,合矢量顺 时针方向旋转 E 天津大学精仪学院 此时:sima2-ax)0 天津大学作 24
右旋光与左旋光 1、右旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。 Ey Ex 顺时针：右旋 0 此时：sin(2 −1 ) 2、左旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。 0 此时：sin(2 −1 ) Ey Ex 逆时针：左旋