作业13-16 证明:连接OP、OQ,设想在PQO 的闭合导体回路中,由于OP、 B OQ沿半径方向,于通过该处的感XXⅩ 应电场强度E处处垂直,故有:X×8 E●dl=0: ×0x 0 oQ E●dl=0 oQ 即OP、OP段均无电动势,由法拉第电磁感应定律求出 的闭合回路的总电动势,就是导体棒PQ上的电动势。 dbdB PQ △OPQ dt dt 2V R2-( 2
作业13—16 Q O P B l x dx O’ Ek r 证明:连接OP、OQ，设想在PQO 的闭合导体回路中，由于OP、 OQ沿半径方向，于通过该处的感 应电场强度Ek处处垂直，故有： = • = 0; E dl op op = E • dl = 0 OQ OQ 即OP、OP段均无电动势，由法拉第电磁感应定律求出 的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势。 2 2 ) 2 ( 2 l R l dt dB dt dB S d t d P Q = OPQ = = − = −
作业13-21 解:两平行长直导线可以看成是无限 长但宽度为d的矩形回路的一部分。设 在回路中通有逆时针方向的电流I,然 后计算图中阴影部分的磁通量。该区 域内的磁场可以看成两无限长直导线 分别在该区域产生的磁场的叠加 两平行导线间的磁感应强度为:B=0Lxm-r) 磁通量为:=∫B 41n 兀 则长为一对导线的自感为:L
作业13 —21 r d I I l O 解：两平行长直导线可以看成是无限 长但宽度为 d的矩形回路的一部分。设 在回路中通有逆时针方向的电流 I，然 后计算图中阴影部分的磁通量。该区 域内的磁场可以看成两无限长直导线 分别在该区域产生的磁场的叠加。 2 2 ( ) 0 0d r I rI B − = + 两平行导线间的磁感应强度为： a Il d a B dS Bldr d a a S − = • = = − l n 0 磁通量为： a l d a I l L − = = l n 0 则长为 的一对导线的自感为：
作业13-22 BIB 解:(1)当A和A连接时,AB 和AB线圈中的电流流向相反, 且由于两线圈紧密结合,通过 回路的磁通量也相反,故穿过x 大回路的总通量为:Φ1=0,故L1=0 (2)当A和B连接时,AB和AB线圈中的电流流向相同, 且由于两线圈紧密结合,通过回路的磁通量也相同,故穿 过大回路的总通量为: Φ2=2Φ+2Φ=4①,故L2=2=41=4L 可参阅赵凯华的《电磁学》下册第五章“两个线圈串连的 自感系数”内容
作业13—22 A B A B 解：（1）当A和A’连接时，AB 和A’B’线圈中的电流流向相反， 且由于两线圈紧密结合，通过 回路的磁通量也相反，故穿过 大回路的总通量为： 1 = 0，故L1 = 0 （2）当A’和B连接时，AB和A’B’线圈中的电流流向相同， 且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相同，故穿 过大回路的总通量为： L I I 2 2 4 L 4 4 2 2 2 = = = + = ，故 = 可参阅赵凯华的《电磁学》下册第五章“两个线圈串连的 自感系数”内容
补充 2 2 2 B A B BA’B B B 设线圈冲产生的感应电动势为; 设线圈i线圈广产生的互感电动势为E八 线圈中的电动势为:61+E21=-(L1,+M dt dt 线圈2中的电动势为:62+612=-(Mm)
补充 1 A B 2 A’ B’ 1 A B 2 A’ B’ 1 A B 2 A’ B’ 设线圈i中产生的感应电动势为 i ， 设线圈i对线圈j产生的互感电动势为 ji； 线圈 中的电动势为： （ ） dt dI M dt dI 1 1 + 21 = − L1 + 线圈 中的电动势为： （ ） dt dI M dt dI 2 2 + 12 = − L2 +
补充 2 如此图所示相联,两线圈中的电流流 向相同,则线圈中总的感应电动势为: A BABE=61+621+62+a2 =(+12+2M=-m→L=L+L2+2M 2 如此图所示相联,两线圈中的电流流 向相反,则线圈中总的感应电动势为: AB&=61-621+62-62 =(L1+L2-2M)m=-2→L=L1+L2-M
补充 1 A B 2 A’ B’ 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相同，则线圈中总的感应电动势为： dt dI L dt dI = −（L1 + L2 + 2M） = − 1 21 2 12 = + + + L = L1 + L2 + 2M 1 A B 2 A’ B’ 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相反，则线圈中总的感应电动势为： 1 21 2 12 = − + − dt dI L dt dI = −（L1 + L2 − 2M） = − L = L1 + L2 − 2M
补充 (1)当线圈1和线圈之间无漏磁时,M=√L1L2 (2)当线圈1和线圈2之间完全无关时,若两线圈之 间离得很远,或者是它们之间相互无磁力线穿过时: M=0 (3)当线圈1和线圈2之间的“关联”介于以上二者 之间时,即两线圈之间相互有部分磁力线穿过时: 0<M<√L2 上面讲的问题中,L1=L2,且线圈1和线圈2之间无漏磁, 故M=√L1L=L1=L2
补充 （1）当线圈1和线圈2之间无漏磁时， M = L1 L2 （2）当线圈1和线圈2之间完全无关时，若两线圈之 间离得很远，或者是它们之间相互无磁力线穿过时： M = 0; （3）当线圈1和线圈2之间的“关联”介于以上二者 之间时，即两线圈之间相互有部分磁力线穿过时： 1 2 0 M L L 上面讲的问题中，L1=L2，且线圈1和线圈2之间无漏磁， 故M = L1 L2 = L1 = L2
作业13-24 解:设线圈A中有电流通过,它 在线圈C所包围的平面内各点产 生的磁感应强度近似为: C IR B 2(R2+d 2、3/2 穿过C线圈的磁链为:y=C2(R2+4)32公3 则两线圈的互感为: M-y uozr2r2 2(R2+d 2、3/2 若线圈C的匝数为N匝,则互感为上述值的N倍
作业13—24 A C d R r 解：设线圈A中有电流I通过，它 在线圈C所包围的平面内各点产 生的磁感应强度近似为： 2 2 3/ 2 2 0 2(R d ) IR B + = 穿过C线圈的磁链为： 2 2 2 3/ 2 2 0 2( ) r R d IR BSC + = = 则两线圈的互感为： 2 2 3/ 2 2 2 0 2(R d ) r R I M + = = 若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍
作业13-25 解:建立如图所示的坐标系, 则通有电流I的长直导线在线圈 R入 平面内磁感应强度的分布为: de B 10 2丌(d+x) 穿过面元Ds的磁通量为: dx c=B●dS 2Rcos edx 2丌(d+x) 又由于x= Sing,dx=Rcos 代入上式,得
作业13—25 解：建立如图所示的坐标系， 则通有电流I的长直导线在线圈 平面内磁感应强度的分布为： 2 ( ) 0 d x I B + = x I R y d dx d O 穿过面元Ds的磁通量为： R dx d x I d B dS 2 cos 2 ( ) 0 + = • = 又由于 x = Rsin,dx = Rcos 代入上式，得
作业13-25 如如0l,P2 +d-rsin od8 n d+rsin e 因此穿过圆形回路的磁通量为: ①=如b=为,n,R-4 +d-Rsin g]de n d+Sine 2 d+r d-R [-2√d2-R2(arcg d-R +actg d+R+dz ① =pld-yd2-R2]→M d-vd-Rfl 注:rcg4 actg a2“/+m)d-R_z Vd-R Vd+r 2
作业13—25 d R d d R I R d d sin ] sin [ 2 2 0 + − + − = 因此穿过圆形回路的磁通量为： − + − + − = = 2 2 2 2 0 sin ] sin [ d R d d R I R d d [ 2 ( ) ] 0 2 2 d d R d R arctg d R d R d R arctg I + + − + − + = − − [ ] 2 2 = 0 I d − d − R [ ] 2 2 0 d d R I M = − − = 2 2 1 = + − + − + + = d R d R arctg d R d R arctg A 注：arctgA arctg
作业13-29 解:取长度为单位长度,半径为r,厚为dr的薄 柱壳为体积元dV,则该体积元内储存的能量为 B2内2mlr 根据安培环路定理,知内·=Ar por →2m=n2I→B2mn IR 故单位长度导线内储存的磁能为: Wm=dw R HoUr 瓜0 m urdr= m-02402zR 16兀
作业13—29 解：取长度为单位长度，半径为r，厚为dr的薄 柱壳为体积元dV，则该体积元内储存的能量为： dWm B rdr 2 2 1 2 0 = 内 B dl I l • = 根据安培环路定理，知 内 0 2 0 2 2 0 2 2 R rI I B R r B r 内 = 内 = 故单位长度导线内储存的磁能为： 16 ) 2 2 ( 2 1 2 0 0 2 2 0 0 I rdr R Ir W dW R m = m = =